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1、第二章第二章有导体时的静电场有导体时的静电场2.12.1 静电场中的导体静电场中的导体 2.1.1 2.1.1 静电平衡静电平衡当自由电子不做宏观运动时的状态当自由电子不做宏观运动时的状态1.1.带电导体带电导体 中性导体中性导体 孤立导体孤立导体1)1)带电导体带电导体:总电荷不为零的导体总电荷不为零的导体2)2)中性导体中性导体:总电荷为零的导体总电荷为零的导体3)3)孤立导体孤立导体:与其他物体距离足够远的导体与其他物体距离足够远的导体 物理上说孤立导体之外没有其他导体物理上说孤立导体之外没有其他导体导体导体静电平衡条件：静电平衡条件：导体内任一点的电导体内任一点的电场强度都等于零场强度
2、都等于零2.2.导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件导体的内部和表面都导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观没有电荷作任何宏观定向运动的状态定向运动的状态.导体的导体的静电平衡状态：静电平衡状态：静电感应静电感应:在电场的作用下在电场的作用下,导体中的导体中的自由电荷将发生移动自由电荷将发生移动,结果使导体的结果使导体的一端带正电一端带正电,另一端带负电另一端带负电.推论推论 (静电平衡状态性质静电平衡状态性质)证：证：在导体上任取两点在导体上任取两点 p p,q q导体静电平衡条件：导体静电平衡条件：(1)(1)导体是等势体，导体表面是等势面导体是等势体，导体表面是等势面因为因为静电平衡静电平
3、衡,导体内任一点的电场强度都等于零导体内任一点的电场强度都等于零（2 2）导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布于导体的表面）导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布于导体的表面 当带电导体处于静电平衡状态时当带电导体处于静电平衡状态时,导体内部处处没有净电荷导体内部处处没有净电荷存在存在,电荷只能分布于导体的表面上电荷只能分布于导体的表面上.证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元由高斯定理由高斯定理导体带电只能在表面！导体带电只能在表面！dV体积元体积元 任取任取,只有只有（3 3）在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与表面）在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与表面垂直，场强大小与
4、导体表面对应的电荷面密度成正比垂直，场强大小与导体表面对应的电荷面密度成正比.证明：证明：p1p1导导体体外外紧紧靠靠表表面面处处任任取取一一点点P1P1，过过p1p1做做与与导导体体表表面面平平行行的的小小面面元元，以以小小面面元元为为底做与表面垂直的短柱体，其另一底面在导体内部。底做与表面垂直的短柱体，其另一底面在导体内部。2.1.22.1.2 带电导体所受的静电力带电导体所受的静电力是除是除 外所有电荷在外所有电荷在p p点贡献的场强点贡献的场强P P1 1是是P P沿沿表表面面法法向向稍稍作作外外移移之之点点,则则P P1 1点场强为点场强为分成两部分为分成两部分为导体表面导体表面其中
5、：其中：是是 在在P P1 1处产生的场强处产生的场强是除是除 之外的电荷在之外的电荷在P P1 1处产生的场强处产生的场强设设 是导体表面含是导体表面含P P点的小面元，则点的小面元，则 所受的静电场力为：所受的静电场力为：因因为为P P1 1可可任任意意靠靠近近P P，对对它它而而言言 可可视视为为均均匀匀带带电电无无限限大大平平面面，所以有所以有故故这这就就是是导导体体表表面面任任一一面面元元 的的受受力力公公式式，沿沿导导体体表面积分便可求得整个导体所受的静电力。表面积分便可求得整个导体所受的静电力。代入上式得代入上式得因为因为 在在P P点是连续的又相距极近，所以点是连续的又相距极近
6、，所以导体表面导体表面导体表面导体表面讨论：讨论：1.1.导体表面稍微往外的导体表面稍微往外的P1P1的总场强由两部分构成的总场强由两部分构成2 2.若考虑导体表面稍微往里的点若考虑导体表面稍微往里的点p2p2，场强在导体表面一点场强在导体表面一点p p的突变完全是的突变完全是由含由含p p的小面元的场强的突变造成的的小面元的场强的突变造成的 2.1.3 2.1.3 孤立导体孤立导体形状形状对对电荷分布电荷分布的影响的影响尖形导体的电荷分布尖形导体的电荷分布 孤立导体处于静电平衡时，它的表面各处的面孤立导体处于静电平衡时，它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，电荷密度与各处表面的曲率有
7、关，曲率越大（半径曲率越大（半径越小）的地方，面电荷密度越大越小）的地方，面电荷密度越大。反之越小。反之越小避雷针工作原理避雷针工作原理尖端放电尖端放电尖端放电尖端放电避雷针高耸于周围建避雷针高耸于周围建筑物之上，可看作大筑物之上，可看作大地这个导体的更为突地这个导体的更为突出的尖端，于是放电出的尖端，于是放电总在它与雷云之间发总在它与雷云之间发生。避雷针的良好接生。避雷针的良好接地装置引导强大的雷地装置引导强大的雷电流顺利入地。电流顺利入地。2.1.4 2.1.4 导体静电平衡问题的讨论方法导体静电平衡问题的讨论方法电像法、复变函数法、图解法等。电像法、复变函数法、图解法等。这里说明用场线讨
8、论问题的方法这里说明用场线讨论问题的方法注意：同一条场线不能起止于同一导体如图注意：同一条场线不能起止于同一导体如图B B B B-+等势体等势体(1)空腔原不带电，腔内电荷空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？(2)空腔原带电空腔原带电Q,腔内电荷腔内电荷q，腔内、外表面电量？，腔内、外表面电量？-2.1.5 2.1.5 平行板导体组例题平行板导体组例题例例1 1 长宽相等的金属平板长宽相等的金属平板A A和和B B在真空中平行放置（如图），板在真空中平行放置（如图），板 间距离比长宽小得多，分别令每板带间距离比长宽小得多，分别令每板带q qA A及及q qB B
9、的电荷。的电荷。求每板表面的电荷密度。求每板表面的电荷密度。解：由于板的长宽比距离大得多，可把板看成解：由于板的长宽比距离大得多，可把板看成无限大。四个无限大带电平面在无限大。四个无限大带电平面在P P1 1的合场强为的合场强为静电平衡时静电平衡时E E=0故在在B B板内取点板内取点P P2 2类似的有类似的有A AB Bp p1 1p p2 2故又两式相减，并考虑到上两式得讨论（1）时 （2）时 （3）时 A AB Bp p1 1p p2 2例例2 2 在上例两板间插入长宽相同的中性金属平板在上例两板间插入长宽相同的中性金属平板C C，求六个壁的电荷面密度。求六个壁的电荷面密度。解解：每每
10、板板内内取取一一点点可可列列三三个个方方程程，由由三三板板的的电电荷荷又又可可列列三三个个方程，联立求解得方程，联立求解得A Ac cB B说明中性板的插入不改变原来两板的电荷，说明中性板的插入不改变原来两板的电荷，但中性板的两壁出现等值异号电荷。但中性板的两壁出现等值异号电荷。2.2 2.2 封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场 2.2.12.2.1 壳内空间的场壳内空间的场 （1 1）.壳内空间无带电体的情况壳内空间无带电体的情况 1.用反证法可以证明，不论壳外带电情况如何，壳内空间用反证法可以证明，不论壳外带电情况如何，壳内空间各点场强必然为零。各点场强必然为零。设设壳壳内内有有
11、一一点点P的的场场强强不不为为零零，就就可可通通过过它它作作一一条条电电场场线线。这这条条场场线线既既不不能能在在无无电电荷荷处处中中断断，又又不不能能穿穿过过导导体体，只只能能起起于于壳壳内内壁的某点而终止于另一点。壁的某点而终止于另一点。这这两两点点既既然然在在同同一一场场线线上上，电电势势就就不不能能相相等等，而而与与导导体体是是等等势体矛盾。势体矛盾。在静电平衡状态下在静电平衡状态下,导体空腔导体空腔内各点的场强等于零内各点的场强等于零,空腔的空腔的内表面上处处没有电荷分布内表面上处处没有电荷分布.2.2.壳内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。壳内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
12、既然证明了壳内空间无电场，利用高斯定理可知壳的内壁处处既然证明了壳内空间无电场，利用高斯定理可知壳的内壁处处电荷密度电荷密度 。（2 2）.壳内空间有带电体的情况壳内空间有带电体的情况 在静电平衡状态下，导体的内表面所带电荷与腔内电荷在静电平衡状态下，导体的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零。例如腔内有一带电体带电的代数和为零。例如腔内有一带电体带电q q，则内表面，则内表面带电带电-q-q。证明：在导体壳内外表面之间作高斯面如图虚线证明：在导体壳内外表面之间作高斯面如图虚线即内表面带电即内表面带电-q-q2.2.2 2.2.2 壳外空间的场壳外空间的场 （1）壳外无带电体的情况）壳外无带电
13、体的情况AB壳外空间无带电体时仍然可能有电场。壳外空间无带电体时仍然可能有电场。壳不接地时壳外场强非零壳不接地时壳外场强非零壳接地时壳外壳接地时壳外场强场强为零为零q qq q（2 2）壳外有带电体的情况）壳外有带电体的情况1.1.封闭导体壳（不论接地与否）内部静电场不受壳外电封闭导体壳（不论接地与否）内部静电场不受壳外电场影响场影响2.2.接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电场影响接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电场影响这种现象叫静电屏蔽这种现象叫静电屏蔽即：空腔提供了一个静电屏蔽的条件即：空腔提供了一个静电屏蔽的条件在静电平衡状态下在静电平衡状态下(1)空腔导体空腔导体,外面的带电体不会影响
14、空腔内部的电场外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布分布;(2)一一个个接接地地的的空空腔腔导导体体,空空腔腔内内的的带带电电体体对对空空腔腔外外的的物物体体不产生影响不产生影响.ACBAB 小结小结静电屏蔽静电屏蔽2.2.3 2.2.3 范德格拉夫起电机范德格拉夫起电机 让电荷进入壳的内壁，可让金属壳获得大量电让电荷进入壳的内壁，可让金属壳获得大量电荷，这种装置叫范德格拉夫起电机荷，这种装置叫范德格拉夫起电机 它的重要用途之一是：金属壳与大地之间的强它的重要用途之一是：金属壳与大地之间的强电场可以加速带电粒子电场可以加速带电粒子静电加速器静电加速器电压可达几万伏特电压可达几万伏特 在无限大的
15、带电平面的场中，平行放置一不带电在无限大的带电平面的场中，平行放置一不带电的无限大金属平板。求：金属板两面电荷面密度的无限大金属平板。求：金属板两面电荷面密度解解:设金属板面电荷密度分别为设金属板面电荷密度分别为 、由由电量守恒电量守恒定律定律例例金属板金属板带电平面带电平面导体静电平衡条件时体导体静电平衡条件时体内内任一点任一点P P 场强为零场强为零.导体静电平衡条件体内导体静电平衡条件体内任一点任一点 P P 场强为零场强为零2.3 2.3 电容器及其电容电容器及其电容 2.3.1 2.3.1 孤立导体的电容孤立导体的电容注意：注意：C C 的值只与导体的形状，大的值只与导体的形状，大小
16、及周围的环境决定，而与其带电小及周围的环境决定，而与其带电量的多少无关。量的多少无关。电容的单位电容的单位:法拉法拉 F F、微法微法 、皮法皮法 pFpF一个带有电荷为一个带有电荷为Q Q 的孤立带电导体球的孤立带电导体球,电荷分布于球面上，电荷分布于球面上，其电势为其电势为V V(无穷远处为电势零点无穷远处为电势零点)则有则有:先来看孤立导体的电势与电荷的关系先来看孤立导体的电势与电荷的关系孤立导体电容的物理意义：孤立导体电容的物理意义：使导体电势升高一个单位所使导体电势升高一个单位所需的电荷。需的电荷。2.3.2.2.3.2.电容器及其电容电容器及其电容1.电容器电容器两个带有等量异号的
17、导体组成的系统两个带有等量异号的导体组成的系统.2.2.电容电容 对对于于导导体体组组A A、B B，若若A A带带电电q q，则则由由静静电电感感应应，导导体体B B在在其其内内表表面面上上有有-电电量量-q-q正正比比于于 ，二二者者之之比比恒恒值值，反反映映导导体体组组的的属性，称之为属性，称之为电容器的电容（量）电容器的电容（量）2.几种常见电容器电容的计算几种常见电容器电容的计算 1)平板电容器平板电容器的电容的电容AB-+Q-Q-2)2)同轴柱形电容器的电容同轴柱形电容器的电容（金属圆柱和与它同轴的金属圆柱壳）（金属圆柱和与它同轴的金属圆柱壳）解：设长为解：设长为L,带电量为带电量
18、为q,内半径为内半径为 ,外半径为外半径为 RALRB3 3）同心球形电容器的电容）同心球形电容器的电容（金属球和与它同心的金属球壳）（金属球和与它同心的金属球壳）解：设内球面半径解：设内球面半径RA，外球面半径外球面半径RB，带电量为，带电量为q-q-+q+-由高斯定理可知两球间的场强由高斯定理可知两球间的场强3、电容器的串联和并联、电容器的串联和并联 A 电容器的串联电容器的串联-q+qUUnU2U1CnC2C1-q-q+q+qB 电容器的并联电容器的并联UC1q1C2Cnq2qn-q+qUUnU2U1CnC2C1-q-q+q+qA A 电容器的串联电容器的串联B B 电容器的并联电容器的
19、并联UC1q1C2Cnq2qn4.4.静电演示仪静电演示仪 67671 1、感应起电机、感应起电机2 2、静电计、静电计2.5 2.5 带电体系的静电能带电体系的静电能2.5.1 2.5.1 带电体系的静电能带电体系的静电能1.1.静电势能概念的引入静电势能概念的引入静电体系也可引入静电势能的概念，考虑由两个点电静电体系也可引入静电势能的概念，考虑由两个点电荷荷q1q1、q2q2构成的的静电体系以及这一体系所处的两个构成的的静电体系以及这一体系所处的两个静电状态静电状态(1)(1)q1q1和和q2q2分别静止于分别静止于1 1、2 2两点两点(2)(2)q1q1和和q2q2分别静止于分别静止于
20、11、22两点两点设设体体系系从从第第一一状状态态运运动动到到第第二二状状态态，则则电电场场力力在在这这个个过过程程中中做做了了功功。仿仿照照电电势势概概念念的的定定义义方方法法，我我们们把把这这个个功功定定义义成成体体系系在在新旧两种状态中的静电能之差。新旧两种状态中的静电能之差。约约定定q1q1和和q2q2处处于于无无限限远远离离的的静静电电状状态态时时的的静静电电能能为为零，则他们处于任意静电状态的静电能便有明确值。零，则他们处于任意静电状态的静电能便有明确值。自能：带电物体分成无限多个小块，每一小块无限远离时电场力做的功自能：带电物体分成无限多个小块，每一小块无限远离时电场力做的功互能
21、：各个带电体之间的互能，定义为各个带电体无限远离时电场力做的功互能：各个带电体之间的互能，定义为各个带电体无限远离时电场力做的功以两个点电荷系统为例以两个点电荷系统为例设设 q q1 1，q q2 2 初始时相距初始时相距r r令令q q1 1不动而不动而q q2 2从从B B点移至无限远，求出这一过程中电场力的功点移至无限远，求出这一过程中电场力的功ABAB写成对称形式写成对称形式2.n2.n个点电荷体系的互能公式个点电荷体系的互能公式若令若令q q2 2 不动而不动而q q1 1从从A A点移至无限远，又得点移至无限远，又得令令推广到推广到n n个点电荷体系的互能公式个点电荷体系的互能公式
22、q qi i是第是第i i个点电荷的电荷，个点电荷的电荷，V Vi i是除是除qiqi 外所有电荷在外所有电荷在qiqi处激发的电势。处激发的电势。3 3个点电荷时个点电荷时1）电荷系）电荷系2）带电体）带电体V 为所有电荷在体积元为所有电荷在体积元dV所在处激发的所在处激发的电势电势Vi 除除qi 以外的所有电荷在以外的所有电荷在qi处产生的电势处产生的电势2.5.3 2.5.3 电容器的静电能电容器的静电能这个功这个功A A的值等于体系静电能的增量的值等于体系静电能的增量W W例例 一均匀带电一均匀带电球体球体，半径为，半径为R R，带电量为，带电量为q q 求带电球体求带电球体 的静电能。的静电能。解解:场强分布场强分布Rr0