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1、n例4.兔子的繁殖n由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？n假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每一个月可以生一对兔子，n并且兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力。n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12na(n)1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 n a(n+1)=a(n)+a(n-1)n 斐波那契数列(黄金数)n假设：n 1.每对兔子每一个月定生一对兔子。n 2.兔子出生两个月后都具有繁殖能力。n 3.兔子每经过一个月底就增加一个月令。n平衡关系n 本月初(一月令)的幼兔是上月成兔繁殖的后代。n 本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月令)的
2、幼兔发育结果的总和。n变量、参量n 月份：n，幼兔：a0(n)，成兔:a1(n)n模型n a0(n)=a1(n-1)n a1(n)=a0(n-1)+a1(n-1)n 令 a(n)=(a0(n),a1(n),则n a(n)=A a(n-1)n其中n分析n 1.模拟.a0(1)=1,a1(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12na0(n)1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 a1(n)0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89na(n)1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144n n2.证明 a(n+1)=a(n)+a(
3、n-1)n a0(n+1)=a1(n)a1(n+1)=a(n)n 3.模型的作用机理n a11幼兔的繁殖能力，n a12成兔的繁殖能力，n a21幼兔的发育为成兔的比例，n a22成兔存活的比例。n 4.群体的渐近性质n A 有主特征值=1.618 和右、左特征向量n R=L=(0.382 0.618),.n a(n)=Ana(0)=RnLa(0)+o(n)n发展n 一对兔子每月可生一对幼兔，n 幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，n 三个月后就离开群体。n问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？n假设：n参量、变量n 月份:n,幼兔:a0(n),成兔:a1(n),老兔:a2(n)n平衡关系n 本月初的幼
4、兔是上月成兔老兔繁殖的后代。n 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果n 本月初的老兔是上月成兔发育的结果n模型n a0(n+1)=a1(n)+a2(n)n a1(n+1)=a0(n)n a2(n+1)=a1(n)n令 a(n)=(a0(n),a1(n),a2(n),则n a(n)=A a(n-1)n其中 n分析n 1.模拟.a0(1)=1,a1(1)=0,a2(1)=0n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12na0(n)1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9na1(n)0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7na2(n)0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4
5、5na(n)1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21n 2.证明 a(n+1)=a(n-1)+a(n-2)n a(n+1)=a(n)+a(n-4)n Padovan 数列(塑料数)n例5.录音机的运行n 建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的读数与运行时间的关系)。n 数据：I.读数与时间nt 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 31 -nn 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 n 数据：II.读数与转数k 2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 1 2 5 7 9 11 13 15 17 20 29
6、 n背景n 1.磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮。放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上。n 2.计数器只记录某个磁带轮转动的转动情况。n计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。n 3.磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速。n假设 1.计数器记录了送带轮的转数。2.计数器的读数与送带轮的转数成正比。3.磁带运行的线速度定常。4.磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙。5.磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长。n参量、变量n 计数器读数：n，带轮转数：k,运行时间：t(k)，n 磁带厚度：d，带芯轮半径：r，磁带速度：v,磁带最多圈数：Nn 第 k 圈磁带的半径：Rk，第圈磁带长度：Lk
7、 n平衡关系n 运行k圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商。n模型：t=0时n=0，送带轮缠满磁带并开始转动。n 由假设1，送带轮计数从外圈数起。n 由假设5，Lk=2Rkn 由假设4，Rk=r+(N-k+1)dn 平衡原理与机理模型 n 由假设2,k=c n则有n得模型t(n)=a n+b n2,其中 n参数 a,b,c 的估计n 1.最小二乘法估计 a,bn 正规方程组平衡原理与机理模型n方程n 290942 a+83322472 b=25827n 83322472 a+2.591711010 b=7237447n有解 a=0.11095，b=-7.744510-5n模型 t(n)=0
8、.11095 n 7.4475 10-5 n2n检验 n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 t .99 1.97 3.05 4.00 5.04 10.03 14.99 19.96 24.99 n分析n 根据假设2：k=c n,利用数据II可以给出参数 c 的最小二乘估计。n可得 c=2.04。又可测得 r=1.1 cm，N=3852.04n由n可以求出d=0.001628cm，v=2.75m/min，L=85.25m。n问题一.证明PADOVAN数列的递推公式。n问题二.根据录音机运行的数学模型及观测数据 I 给出模型参数最小二乘估计的正规方程组。n问题三.在数据 I、II 的基础上，使用MATLAB 给出录音机运行模型的数值分析。