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1、 第七章第七章 第五节第五节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间直线及其方程空间直线及其方程二、两直线的夹角二、两直线的夹角一、直线方程一、直线方程三、直线与平面的夹角三、直线与平面的夹角四、过直线的平面束方程四、过直线的平面束方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线直线的一般式方程直线的一般式方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程其中其中 A1,B1,C1 与与 A2,B2,C2 不成比例。不成比例。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知如果一非零向
2、量平行于一条已知直线，则这个向量就称为这条直线直线，则这个向量就称为这条直线的的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有有直线的对称式方程直线的对称式方程 直线的一组直线的一组方向数方向数直线方向向量的余弦称为直线的直线方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 直线的对称式方程有时也称直线的直线的对称式方程有时也称直线的标准方程标准方程说明：说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 直线的两点式方程直线的
3、两点式方程 直线的参数方程直线的参数方程 （t 为参数）为参数）直线的参数方程直线的参数方程 （t 为参数）为参数）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于直线的参数方程，我们可以从另一个角度来看关于直线的参数方程，我们可以从另一个角度来看解：解：或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 还能怎么做？还能怎么做？解：解：只有这一种形式只有这一种形式！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 想想下面这个题能化成几种形式想想下面这个题能化成几种形式？例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解1 在直
4、线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解2在直线上找出两点在直线上找出两点取取解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 取取解得解得求出直线上的两点求出直线上的两点由两点式得由两点式得参数方程参数方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以对称式方程所以对称式方程解解:所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结
5、束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:说明说明:解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 直线直线直线直线定义：定义：两相交直线所成的锐角（包括直角）两相交直线所成的锐角（包括直角）称为两直线的称为两直线的夹角夹角。两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：（1 1）若两直线平行，则认为它们的夹角为零。）若两直线平行，则认为它们的夹角为零。（2 2）若两直线是异面直线，先将它们平
6、移至相）若两直线是异面直线，先将它们平移至相 交状态，这时两直线的夹角就称为异面直交状态，这时两直线的夹角就称为异面直 线的夹角。线的夹角。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两直线的位置关系：两直线的位置关系：/定义：定义：一直线与它在某平面上投影直线之间的夹一直线与它在某平面上投影直线之间的夹角角 称为该直线与此平面之间的夹角。称为该直线与此平面之间的夹角。四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/机动机动 目录目录 上页上
7、页 下页下页 返回返回 结束结束 五、点到直线的距离五、点到直线的距离点到直线的距离公式点到直线的距离公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1：直线的方向向量为直线的方向向量为由公式由公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在直线上找一点在直线上找一点解解2：直线的方向向量为直线的方向向量为直线与平面的交点为直线与平面的交点为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 六、过直线的平面束六、过直线的平面束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 过直线过直线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
8、结束结束 解解1：已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为已知平面的法向量为：已知平面的法向量为：显然，显然，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 取投影直线的方向向量为取投影直线的方向向量为则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 投影直线的方向向量投影直线的方向向量又投影直线过已知直线和平面的交点又投影直线过已知直线和平面的交点则所求投影直线方程为则所求投影直线方程为解解2：已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为直线在已知平面上的投影平面的法向量为直线在已知平面上的投影平面的法向量为则直线在已知平面上的投影平面方程为则直线在已知平面上的投影平面
9、方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则所求投影直线方程为则所求投影直线方程为在已知直线上找一点在已知直线上找一点解解3：过直线的平面束方程为过直线的平面束方程为其法向量为其法向量为由题意由题意解得解得则直线在已知平面上的投影平面方程为则直线在已知平面上的投影平面方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则所求投影直线方程为则所求投影直线方程为七、两直线共面的条件、异面直线之间的距离七、两直线共面的条件、异面直线之间的距离已知两直线已知两直线则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 已知两直线已知两直线机动机动 目录目录
10、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 异面直线间的距离：异面直线间的距离：即公垂线上两垂足之间的距离。即公垂线上两垂足之间的距离。如图，公垂线长等于以如图，公垂线长等于以为棱的平行六面体的高为棱的平行六面体的高 异面直线间的距离异面直线间的距离解解1:故两直线异面。故两直线异面。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 又因为又因为所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由于公垂线与由于公垂线与都垂直都垂直故其方向向量为故其方向向量为过过 做平行于做平行于的平面的平面则点则点 上任一点到平面上任一点到平面的距离就是所求的异面直线间的距离。的距离
11、就是所求的异面直线间的距离。先来分析一下先来分析一下:解解2:同解同解1 1，可证两直线异面。，可证两直线异面。过过L1且平行于且平行于L2的平面的法向量为的平面的法向量为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 过过L1且平行于且平行于L2的平面方程为的平面方程为L2上任一点到上任一点到的上平面的距离即为两直线的距离的上平面的距离即为两直线的距离设两垂足的坐标分别为设两垂足的坐标分别为求异面直线公垂线的方法：求异面直线公垂线的方法：求得垂足求得垂足机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求得公垂线方程和公垂线长即异面直线的距离。求得公垂线方程和公垂线长即
12、异面直线的距离。例例1010：解解1 1公垂线公垂线 L 的方向向量为：的方向向量为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1010：解解2 2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即公垂线公垂线 L 的方向向量为：的方向向量为：即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1010：解解3 3公垂线公垂线 L 的方向向量为：的方向向量为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由题意，由题意，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
13、结束结束 由题意，由题意，一般式一般式对称式对称式参数式参数式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.空间直线方程空间直线方程八、内容小结八、内容小结直线直线2.2.线与线之间的关系线与线之间的关系直线直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面平面 :L L/直线与平面的夹角公式：直线与平面的夹角公式：3.3.线与面之间的关系线与面之间的关系直线直线 L L:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.距离距离直线直线直线直线机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.5.过直线的平面束方程过直线的平面束方程过直线过直线机动 目录 上页 下页 返回 结束 习
14、题习题6-5(P29)3，7，10，12，16，18 习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业习题习题6-4(P23)13 备用题备用题分析：分析：1 1、过点过点 作一直线作一直线 ，使其和，使其和 z 轴相交，轴相交，和直线和直线 垂直，求垂直，求 的方程。的方程。习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法1 1：1 1、过点过点 作一直线作一直线 ，使其和，使其和 z 轴相交，轴相交，和直线和直线 垂直，求垂直，求 的方程。的方程。习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2 2：1 1、过点过点
15、 作一直线作一直线 ，使其和，使其和 z 轴相交，轴相交，和直线和直线 垂直，求垂直，求 的方程。的方程。习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxyzB即即解法解法3 3：1 1、过点过点 作一直线作一直线 ，使其和，使其和 z 轴相交，轴相交，和直线和直线 垂直，求垂直，求 的方程。的方程。习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxyzB即即习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxyzB解解1先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点
16、N N,令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：求直线与平面的交点的方法说明：求直线与平面的交点的方法将将 L 化为参数方程：化为参数方程：代入平面方程，确定代入平面方程，确定 t 值，从而就可确定交点值，从而就可确定交点(x,y,z).注：注：当当 L 为一般方程时，需要解三元一次方程组。为一般方程时，需要解三元一次方程组。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2由题
17、意，有由题意，有已知直线的方向向量为：已知直线的方向向量为：所求直线方程为所求直线方程为:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解3：已知直线的方向向量为：已知直线的方向向量为：所求直线方程为所求直线方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解4：已知直线的方向向量为：已知直线的方向向量为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解5：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：设
18、所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4.4.求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解:直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为从而从而的方向向量为的方向向量为的方向向量为的方向向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解为所求夹角为所求夹角机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 半径为半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停其上一其上一定点的轨迹称为摆线定点的轨迹称为摆线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2a2 a0yx ataa机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 a解：解：故摆线的方程为故摆线的方程为