《实验数学十四：最速下降路线的确定(精品).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实验数学十四：最速下降路线的确定(精品).ppt（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、最速下降路线的确定最速下降路线的确定14.1 实验目的实验目的 本实验的目的为了培养根据实际问题建立微分方程模型的能力。学会根据实际问题提出猜想，然后通过数据实验验证猜想，最后得到正确结论的思维模式，为将来其他课程的学习打下基础。14.2 实验内容实验内容2.1 实验问题实验问题如图14.1所示，确定一条连接两个定点A、B的曲线，使得一个质点在该曲线上下滑最快，即质点在滑动过程中经历的时间最短（最速下降路线问题。下滑过程中的摩擦力和阻力都忽略不计）。12.2 问题分析 其实，我们很自然地想到质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是连接A和B两点的直线段。但事实并非如此。在很早以前牛顿就多次
2、作过这样的实验，在铅垂的平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A点滑到B点，另一个球则沿直线从A点滑到B点，结果发现沿圆弧的球先到达B点；伽利略也曾研究过这个问题，他研究的结果认为质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是圆弧线。下面我们先通过几个简单的实验来看看最速下降路线到底是什么，它属于哪一类曲线。2如图14.2所示，并选取相应的坐标系。图中P(x,y)表示下降中的质点坐标，途经曲线设为y=y(x)，质点的质量设为m，重力加速度设为g，质点下降的速度设为v(t)，t为质点的下降时间。则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知由此可得3若设质点下降路程为s(t)，则由可得这样质点沿曲线从
3、A点滑到B点所用的时间为4 由此可见，质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状，不同的曲线下滑所用的时间不同。下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。不妨假设B点的坐标为(1,1)，如图14.3所示。我们取g=9.8，将已知条件代入式（14.1）分别计算所用的时间。5（1）对于路径曲线y=x，有（2）对于路径曲线 由问题的实际意义可知该广义积分是收敛的，同时下面的式子亦说明该积分是收敛的。6我们可以算得上面积分的值为0.584395。（3）对于路径曲线我们用类似的方法可以算得积分值为0.592262。通过对上述三条不同路径的计算，发现沿直线路径并不是最快的下降路径，也不是圆弧。它应是其他形
4、式的一条上凹曲线。可以自己取几条其他的曲线计算质点在下降过程中的时间。7 我们设想质点（也像光线那样）能选择所需时间尽可能短的路径从点滑到点，如图9.4所示。2.3 建立数学模型因此按照史奈尔折射定律可得出 （常数）据能量守恒原理：质点下降某一高度后的速度，完全由其达到该高度处时所损失的势能确定，而与其所经历的路径无关。8 在假设质点下滑过程中经历的路径曲线为y=y(x)的情况下，质点从A下滑至P(x,y)点时速度v必满足下面的关系式 或 从几何的角度我们也可以得到 9由此得到其中，这就是质点下降时下降速度最快的路径曲线所满足的微分方程模型。2.4 模型求解（1）求数值解 我们可用MATLAB
5、软件求方程（14-2）的数值解，并画出初值问题（14-2）解的曲线。这里，我们假设史奈尔折射常数为0.07，那么。10用MATLAB软件提供的二三阶龙格-库塔法求其数值解。执行得方程（14-2）的数值解曲线如图16.5所示 若执行命令plot(xb,yb)即可画出没有“o”点的曲线如图14.6所示。这就是质点从A点开始下滑时最快的下滑路径曲线。11（2）求解析解可将方程（16-2）变形为再令，12两边积分得到 其中C为积分常数。将初值条件u=0时，x=y=0代入得C=0，此时有若令参数，则式（14-3）变为13这正是摆线的标准参数方程，参数a为摆线发生圆的半径。由此我们得出：质点自然地从A点滑
6、到B点时间最短的路径曲线是摆线。适当地选择参数a可使得该摆线经过指定B点，并且这样的参数a是唯一的。事实上，让摆线发生圆半径a从0逐渐增大到无穷大，这些摆线的第一拱将扫过整个第一象限。作为特殊情况：若B点的坐标为(1,1)，我们自然可以找到一条从(0,0)点出发经过(1,1)点的摆线，对此只要找到相应摆线发生圆的半径即可。14此时有我们可以做出函数的图形如图9.7所示。我们用牛顿切线迭代法可以算得该函数的一个非零零点2.4120，15那么摆线发生圆的半径就是。现在可以画出从(0,0)点到(1,1)点质点的最快下降路径如图16.8所示。思考：计算当质点下滑路径为图16.8所示的摆线时需时多少？1
7、6（3）变分法理论解法 瑞士数学家伯努利对最速下降曲线问题的解法非常奇妙，他利用变分法理论得到最速下降曲线的数学模型。可以说这是一项水平极高的艺术性工作，也充分表现出了他惊人的想象能力。在这里我们仅对此方法做简单介绍。以s表示曲线从A点到点P(x,y)的弧长，那么根据问题的实际意义，相当于求式（16-1）的极小值，即求，使得下式积分取得极小值。17这是一个泛函的极值问题，令，由变分法理论可得其解所满足的欧拉方程为18这可简化为与方程（16-2）是一致的。2.5 内容小结 本次实验我们首先通过几个简单曲线的计算，排除了直线是最快的下降曲线这一直觉结果，得出最快的下降曲线应该是一条上凹的曲线这一猜想。然后根据问题的实际意义得到相应的数学模型方程。先通过求数值解的方法得到最快下降路径曲线，然后求出它的理论解应是一条摆线。14.3 实验任务实验任务119