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1、STOCHASTIC PROCESSSun Yingfei孙孙 应应 飞飞 课程的主要内容随机过程的基本概念Markov链纯不连续Markov过程(Poission)平稳过程及谱分析Gauss过程（Wiener过程）随机过程通过线性系统的分析教材及主要参考书教材：陆大金随机过程及其应用清华大学出版社，1986主要参考书：（1）林元烈应用随机过程，清华大学出版社，2002 （2）复旦大学编，概率论第三册：随机过程，高等教育出版社，北京，1995Chapter 1预备知识与随机过程的基本概念预备知识与随机过程的基本概念 预备知识预备知识1.1概率1.2随机变量、分布函数及数字特征1.3矩母函数、特
2、征函数和拉普拉斯变换1.4条件数学期望随机过程的基本概念1.5随机过程的概念1.6随机过程的分类1.1 概率概率 随机试验随机试验：一个试验（或观察），若它的结果预：一个试验（或观察），若它的结果预 先无法确定，则称之为随机试验，简称试验；先无法确定，则称之为随机试验，简称试验；样本空间样本空间：所有试验的可能结果组成的集合，称：所有试验的可能结果组成的集合，称为样本空间，记作为样本空间，记作 ；样本点样本点：中的元素称为样本点，用中的元素称为样本点，用 表示；表示；集集 类类：由由 中的某些元素构成的子集合，常用大中的某些元素构成的子集合，常用大写字母写字母A、B、C等表示；由等表示；由 中
3、的若干子集构成的中的若干子集构成的集合称为集类，用花写字母集合称为集类，用花写字母 、等表示；等表示；-域的概念域的概念：概率的定义概率的定义：概率的基本性质概率的基本性质：概率的连续性概率的连续性：Borel-Cantelli 引理引理：事件的独立性事件的独立性：1.2 随机变量、分布函数及数字特征随机变量、分布函数及数字特征 随机变量随机变量：设（：设（,P）是一概率空间，是一概率空间，X()是定义在是定义在 上的单值实函数，如果对于任意的上的单值实函数，如果对于任意的 a R，有有 :X()a ，则称则称 X()为为随机随机变量变量（random variable）。）。简记：简记：:X
4、()a X a=X(-,a 容易证明：若容易证明：若 X()满足满足 :X()a ，则则 a,b R，Xa，Xa，X=a，aX b，a Xb，aXb，a X b 分布函数和概率密度函数分布函数和概率密度函数：联合分布函数及边缘分布联合分布函数及边缘分布：联合概率密度函数及独立性联合概率密度函数及独立性：数字特征数字特征：（1）数学期望数学期望(expectation or mean)（a）数学期望的定义数学期望的定义 （b）数学期望的性质数学期望的性质（2）方差方差(variable)（3）协方差）协方差(variance)（4）相关系数相关系数(correlation coefficient
5、)（5）矩矩(moment)（6）方差、协方差及相关系数的主要性质方差、协方差及相关系数的主要性质 常用随机变量的分布常用随机变量的分布：（1）离散型随机变量离散型随机变量 （a）二项分布二项分布 （b）泊泊松松(Poisson)分布分布 （c）几何分布几何分布 （2）连续型随机变量连续型随机变量 （a）均匀分布均匀分布 （b）正态分布正态分布 （c）指数分布指数分布1.3 矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换 矩母函数矩母函数(moment generating function)：母函数母函数(generating function)：特征函数特征函数(char
6、acteristic function)：特征函数的性质特征函数的性质：拉普拉斯变换拉普拉斯变换：1.4 条件数学期望条件数学期望 离散型随机变量的情形离散型随机变量的情形：连续型随机变量（连续型随机变量（X,Y）的情形的情形：条件数学期望的基本性质条件数学期望的基本性质：1.5 随机过程的概念随机过程的概念 随机过程的定义随机过程的定义：随机过程定义的解释随机过程定义的解释：随机过程的例子随机过程的例子：（1）均值函数均值函数 随机过程的数字特征及有限维分布函数族随机过程的数字特征及有限维分布函数族：（2）方差函数方差函数 （3）协方差函数协方差函数 （4）相关函数相关函数 （5）有限维分布
7、函数族有限维分布函数族 （5）柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)存在性定理存在性定理 （4）特征函数特征函数1.5 随机过程的分类随机过程的分类 按按随机过程的概率特性分类随机过程的概率特性分类：（1）独立增量过程独立增量过程 （2）马氏过程马氏过程 （3）平稳过程及二阶矩过程平稳过程及二阶矩过程 （a）宽平稳过程（协方差平稳过程）宽平稳过程（协方差平稳过程）（b）二阶矩过程二阶矩过程 （c）严严平稳过程平稳过程 （3）鞅）鞅 （4）更新过程更新过程 （4）点过程（计数过程）点过程（计数过程）按参数集和状态集的特性分类按参数集和状态集的特性分类：（1）参数集可列：离散参数随机过程
8、或随机序列参数集可列：离散参数随机过程或随机序列 （2）参数集不可列：连续参数随机过程）参数集不可列：连续参数随机过程 （3）状态空间离散：离散型）状态空间离散：离散型 （4）状态空间连续：连续型）状态空间连续：连续型随机过程分为四类随机过程分为四类：1.离散参数离散型随机过程：离散参数离散型随机过程：Markov 链链2.连续参数离散型随机过程：连续参数离散型随机过程：Poisson 过程、纯不连过程、纯不连续续 Markov 过程过程3.离散参数连续型随机过程：离散参数连续型随机过程：4.连续参数离散型随机过程：连续参数离散型随机过程：Gauss过程、过程、Brown运动运动例子例子：1.一维随机游动一维随机游动 P 82.脉冲信号通信系统的一个例子脉冲信号通信系统的一个例子 P 10