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1、第三章 静定结构的受力分析1关键词：单跨静定梁、静定多跨梁、静定平面刚架、静定平面桁架、组合结构、三铰拱静力分析 的基本方法选取隔离体，建立平衡方程必须重视基本功的训练对于基本原理，困难不在于理解，而在于运用（驭）少讲多练静定结构的四方面提高1、21.由会算一根梁和简单桁架提高到会算复杂的静定结构系统2.了解静力分析与构造分析的内在联系，对静力分析要有一个规律性的认识(如何搭、如何拆）静定结构的四方面提高3、43.在静力分析的基础上进一步了解结构的受力性能和结构的合理形式（拱的合理轴线、桁架的合理形式）4.不仅要掌握在固定荷载作用下的静力分析，而且要学习在移动荷载作用下的静力分析一、单跨静定梁
2、静定结构的受力分析静定梁的内力计算：截面法荷载与内力的微分关系荷载与内力的增量关系荷载与内力的积分关系分段叠加法（作弯矩图）主要任务主要任务：要求要求灵活运用隔离体的平衡条件，灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定熟练掌握静定梁内力图的作法。梁内力图的作法。分析方法分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。问题转化为杆件的受力分析问题。3-1 3-1 单跨静定梁的内力分析单跨静定梁的内力分析一、截面上内力符号的规定：一、截面上内力符号的规定：轴力轴力截面上应力沿杆轴切线方向的截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使
3、杆产生伸长变形为正，画轴力图合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；要注明正负号；剪力剪力截面上应力沿杆轴法线方向的截面上应力沿杆轴法线方向的合力合力,使杆微段有顺时针方向转动趋势的使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；为正，画剪力图要注明正负号；弯矩弯矩截面上应力对截面形心的力矩截面上应力对截面形心的力矩之和之和,不规定正负号不规定正负号。弯矩图画在杆件受弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。拉一侧，不注符号。NNQQMM（二）截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面先计算左截面的内力，可取截面1以左以左隔离体进行分析。隔离体进行分析。PPPP1.5aM Z
4、1N Z1Q Z1M U1N U1Q U12Pa计算右截面的内力计算右截面的内力,也可取截面也可取截面1以左以左隔离体进行分析。在这个隔离体上有隔离体进行分析。在这个隔离体上有集中力矩集中力矩 2Pa，三个未知力为三个未知力为：P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面计算如图所示结构截面 1 的内力的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：根据静力平衡条件求截面未知力：aM 2N 2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN 2M 2Q2N 3PaPQ3M 3 现取截面现取截面 2 左边的隔离体进行左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条
5、件就可得出分析，根据三个平衡条件就可得出截面截面 2 上的三个未知力：上的三个未知力：此时应取截面此时应取截面 3 以上的隔离体进行以上的隔离体进行分析比较简单分析比较简单。计算截面计算截面 2 的内力的内力也可取截面也可取截面 2 右边隔离体计算右边隔离体计算计算截面计算截面 3 的内力的内力三、荷载、内力之间的关系三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）（平衡条件的几种表达方式）q(x)d xQ Q+d Q MM+d M（1）微分关系）微分关系q d x（2）增量关系）增量关系Q Q+Q MM+M d xPm（3）积分关系）积分关系q(x)QA QB MAMB由d Q=qd x由
6、d M=Qd x水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件绕杆件顺时转为正几种典型弯矩图和剪力图几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Pl q 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；Q 图有一突变，荷载向图有一突变，荷载向下突变亦向下。下突变亦向下。2、集中力矩作用点、集中力矩作用点M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为顺时针向下突变；为顺时针向下突变；Q 图没有变化。图没有变化。3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；Q 图为斜直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右
7、下斜下直线由左向右下斜3-2 3-2 分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：分段叠加法的理论依据：假定假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：图中：OA段即为线弹性阶段段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段段为非线性弹性阶段3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠
8、加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图的方法：分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩
9、值作出的矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF G例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析分析该梁为简支梁，弯矩控制截该梁为简支梁，弯矩控制截面为：面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值计算控制截面位置的弯矩值解：解：（1）先计算支座反力）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值取
10、取AC部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：取取GB部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：kNkN1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF GABCDEF GABCDEF G17A C1713P=8kNADm=16kN.mGB4267G B782315308M图图（kN.m）1797+_Q图图（kN）二、静定多跨梁多跨静定梁的几何组成特性多跨静定梁的几何组成特性分析与计算多跨静定梁的一般步骤分析与计算多跨静定梁的一般步骤3-3 3-3 多跨静定梁多跨静定梁一、多跨静定梁的几何组成特性一、多跨静定梁的几何组成特性 多跨静定梁常用于桥梁
11、结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分为多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分为基本部分和附属部分。基本部分和附属部分。二、分析多跨静定梁的一般步骤二、分析多跨静定梁的一般步骤 对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析开始分析：将支座：将支座C 的支反的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向加的反力反向加在基本部分在基本部分AC 的的C 端作为荷载端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将再进行基本部分的内力分析和画内力图，将
12、两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图。CAE（a）（b）EACACE（c）如图所示梁，其中如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为几何不变部分，称它为基本部分基本部分；而；而CE部分就需要依靠基本部分部分就需要依靠基本部分AC才能保才能保证它的几何不变性，相对于证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为部分来说就称它为附属部分附属部分。ABCDEFGHPqABFGHqECDPDEFqCABPCABDEFPq分析下列多跨连续梁结构
13、几何构造关系，并确定内力计算顺序。分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。注意：注意：从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形。弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。的荷载的传力路线来决定。CDFBAEBAECDFM图+Q图0M图+Q图CDBAEM图Q图2m2m2m1m2m2m1
14、m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH80k Nm2020404040k NC2025520502020k N/mFGH1020405585255040k NCABFGH20k N/m80k Nm构造关系图构造关系图205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH2555585M 图（图（k Nm）2540k N5558520k N/m251520354540Q 图（图（k N）三、静定平面刚架平面刚架结构特点平面刚架结构特点常见的静定刚架类型常见的静定刚架类型静定刚
15、架支座反力的计算静定刚架支座反力的计算刚架的内力分析刚架的内力分析内力图的绘制内力图的绘制4-1 静定平面刚架的组成特点及类型 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c)(d)(e)下图是常见的几种刚架：图（下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，是多层多跨房屋，图（图（c）是具有部分铰结点的刚架。是具有部分铰结点的刚架
16、。刚架结构优点：刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。）内力分布均匀，受力合理。一、平面刚架结构特点：一、平面刚架结构特点：1 1、悬臂刚架、悬臂刚架2、简支刚架、简支刚架3、三铰刚架、三铰刚架4、主从刚架、主从刚架二、常见的静定刚架类型二、常见的静定刚架类型 下图所示两跨刚架可先建立投影方程 计算 ，再对 和 的交点O取矩，建立力矩方程 ，计算R A，最后建立投影方程 计算 。Y =0R CR CR BM O=0X=0RBxy0ABCO.刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制
17、刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。4-2 4-2 静定刚架支座反力的计算静定刚架支座反力的计算 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。如如图（图（a a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点平衡条件和中间铰结点C C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。个平衡方程就可以求出这四个支座反力。
18、XAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)YAYBXBXAqfl/2l/2ABC(b)YAYBXBfl/2C(c)YBXBBXCYC于是O对对O点取矩即得：点取矩即得：l/2l/2qABCfOABDCOO注意：注意：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。所在。通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的支座反力的静力平衡方程，可以大大
19、降低计算反力的复杂程度和难度。复杂程度和难度。XCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c)如右图如右图(a)是一个多是一个多跨刚架，具有四个支座跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分反力，根据几何组成分析：以右是基本部分、析：以右是基本部分、以左是附属部分，分析以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基顺序应从附属部分到基本部分。本部分。分段分段：根据荷载不连续点、结点分段。根据荷载不连续点、结点分段。定形定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。求值求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。由截面法或内
20、力算式，求出各控制截面的内力值。画图画图：画画M M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q Q，N N 图要标图要标，号；竖标大致成比例。，号；竖标大致成比例。4-3 4-3 刚架的内力分析及内力图的绘制刚架的内力分析及内力图的绘制 例例1.试计算图试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和和N图。图。2m2m4mABCD40 kN20 kN/m(1)支座反力支座反力(a)20 kN/mAB4m20 kN/mAB4m160 kNm(b
21、)(c)解解。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。求杆端力并画杆单元弯矩图。40160AB(d)M图图2m2m40kNBD602m2mBD40kN160kNm16040BD40160AB160D4020kN/mAB4m802060Q图（图（kN)M图图(kNm）M图图2m2m4mABCD40kN20kN/m602080802060Q图（图（kN)200B20N图（图（kN)40160AB160D40M 图图(kNm）作刚架作刚架Q、N图的另一种方法图的另一种方法 首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。aaqAB
22、Cqa2/2qa2/8M图qa2/2QCBQCBCBqa2/2MCqa2/2+QCBa=0 QBC=QCB=qa/2QCAQACqa2/2qMCqa2/2+qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+qa2/2）/a =qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2）/a =0qa/20NCBNCAX0，NCB 0Y0，NCAqa/26QDCQ CDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5N图（kN）M图（kN.m）2 33m3m 3mABq=4kN/m1.5mCDE2 1.79 Q图（kN）MD=6QCD3.350QCD=1.79(kN)=QDCMC=6+3 41.5+3.35Q
23、EC0QEC=7.16kNME=6 3 4 1.5+3.35QCE0QCE=3.58kNQCEQ EC4kN/mCE3.35m3.58 7.16 9321.79NDC3.13927.16NEC5.8205279.1558.3=-=45.0-=kNNCE0sin)79.158.3(cos)13.3(=+-+=aaNXCEcos)58.379.1(sin)45.013.3(-+aa=Y校核NCE3.583.131.790.451、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。LLqLqLqqL2q2m2mq2q6q二、弯矩图的绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出与杆
24、轴线垂直的反力。2、简支型刚架弯矩图简支型刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。qL2/2qaqa2/2qa2/2ql注意：BC杆和CD杆的剪力等于零，相应的弯矩图与轴线平行ql2/2qlqll/2l/2DqABCaaaqa2/81 反力计算 1）整体对左底铰建立矩平衡方程 MA=qa2+2qa2-2aYB=0 (1)2）对中间铰C建立矩平衡方程 MB=0.5qa2+2aXB-aYB=0 (2)解方程(1)和(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 3）再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa2 绘制弯矩图qa2注意
25、：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！1/2qa20qqaXAYAYBXBACBaaaaqa2/2qa2/23、三铰刚架弯矩图、三铰刚架弯矩图1/2qa2YBXBRAOM/2MM/2画三铰刚架弯矩图画三铰刚架弯矩图注意：注意：1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，对O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！Mo=m2aXB=0,得 XB=M/2aACBaaaMABCqL2/4qL2/43/4qLAO整体对O点建立平衡方程得 MO=qL1
26、.5L2LXA=0 得 XA=3qL/4qLLLBC三铰刚架弯矩图！RBYAqaaaa2aaaaqqaqaqqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.m）ABHCDEFG4、主从结构绘制弯矩图、主从结构绘制弯矩图 可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。q=20kN/m2m2m3m4m2m5m绘制图示刚架的 弯矩图ABCDEF20kN80kN20kN120901206018062.5M图kM.m 仅绘M图,并不需要求出全部反力.然后先由A.B支座开始作弯矩图.先由AD Y=0 得 YA=80kN再由整体平衡方程 X=0 得 XB=20kNMEA=8
27、06-206=12012060180AaaaaaaqBYB=0YA=0XB=1.5qa4.5qa2 5qa2M图 haP2P2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qaXA=4.5qa5、对称性的利用、对称性的利用对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。hl/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8作刚架作刚架Q、N图的另一种方法图的另一种方法 首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。aa
28、qABCqa2/2qa2/8M图qa2/2QCBQCBCBqa2/2MCqa2/2+QCBa=0 QBC=QCB=qa/2QCAQACqa2/2qMCqa2/2+qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+qa2/2）/a =qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2）/a =0qa/20NCBNCAX0，NCB 0Y0，NCAqa/2静定刚架的静定刚架的 M 图正误判别图正误判别利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查 M 图的轮廓是否正确。M图与荷载情况不符。M图与结点性质、约束情况不符。作用在结点
29、上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。内力图形状特征1.无何载区段 2.均布荷载区段3.集中力作用处平行轴线斜直线 Q=0区段M图 平行于轴线Q图 M图备注二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。q P ABCDE（a）q P ABCDE（b）
30、ABC（e）ABC（f）ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm（3）（）（5）（）（2）（）（4）（）（1）（）（6）（）（9）（）题2-1图（10）（）（11）（）（12）（）（7）（）（8）（）m m速绘弯矩图PaPaaalPaP P PPaPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/2mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/20 0 0m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20 0 02P2P2PP P PPa2PaPaPaaaa aaPPmaaaaPPPh0 0 0 0P P P PPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh