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1、litylity 求曲线方程的基本步骤求曲线方程的基本步骤:1.1.建立坐标系建立坐标系,设动点坐标设动点坐标;2.2.写出动点满足的等量关系写出动点满足的等量关系;3.3.用坐标表示等量关系用坐标表示等量关系;4.4.化简方程化简方程;5.5.证明或检验所得的方程是否符合证明或检验所得的方程是否符合题意题意,作答作答.lity 建立坐标系的一般规律建立坐标系的一般规律:若条件中有若条件中有1.两条垂直的直线两条垂直的直线,2.对称图形对称图形,3.已知长度的线段已知长度的线段,以该二直线为坐标轴以该二直线为坐标轴.以对称图形的对称轴为坐标轴以对称图形的对称轴为坐标轴.以线段所在直线为对称轴以
2、线段所在直线为对称轴,端点或中点为原点端点或中点为原点.lity例题分析例题分析例题例题1:1:已知点已知点A(-1,0),B(2,0),A(-1,0),B(2,0),动点动点M M满满足足2MAB=MBA,2MAB=MBA,求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.归纳归纳:本题中本题中M点的位置有三种可能点的位置有三种可能,必须分类求解必须分类求解,才能避才能避免失根免失根.另外另外,在求轨迹方程的问题中在求轨迹方程的问题中,如果化简方程过程是同如果化简方程过程是同解变形解变形.则由此所得的最简方程就是所求曲线的方程则由此所得的最简方程就是所求曲线的方程;如果化简过程不是同解变形如果化简过程不是
3、同解变形,所求得的方程就不一定所求得的方程就不一定是所求曲线的方程是所求曲线的方程.此时此时,应该通过限制应该通过限制x,y的取值范围来的取值范围来去掉增根去掉增根,使得化简前后的方程的同解使得化简前后的方程的同解.lity练习练习1 11.1.到到F(2,0)F(2,0)和和Y Y轴的距离相等的动点的轴的距离相等的动点的 轨迹方程是轨迹方程是:_:_2.2.三角形三角形ABCABC中中,若若B(-2,0),C(2,0),B(-2,0),C(2,0),中线中线ABAB的长为的长为3,3,则则A A点的轨迹方程是点的轨迹方程是:_y y2 2=4(x-1)=4(x-1)x x2 2+y+y2 2
4、=9(y0)=9(y0)lity解答解答:1.到到F(2,0)和和Y轴的距离相等的动点的轴的距离相等的动点的 轨迹方程是轨迹方程是:_设动点为设动点为(x,y),则由则由平方平方,化简得化简得:y2=4(x-1)lity解答解答:2.三角形三角形ABC中中,若若B(-2,0),C(2,0),中线中线AD的的长为长为3,则则A点的轨迹方程是点的轨迹方程是:_设设A(x,y),A(x,y),则则D(0,0),D(0,0),所以所以即即 x2+y2=9 (y0)lity例题例题2:三角三角ABC中中,acb,且且c=(a+b)/2,若顶点若顶点A(-1,0),B(1,0),求顶点求顶点C的轨迹方程的
5、轨迹方程.例题分析例题分析归纳归纳:本题具有隐含条件本题具有隐含条件:x0,y0.解题中容易漏掉解题中容易漏掉.为此应注意以下几点为此应注意以下几点:防止忽略动点应满足的某些隐含条件防止忽略动点应满足的某些隐含条件;防止方程的不同解变形引起的增根或减根防止方程的不同解变形引起的增根或减根;图形可以有不同的位置图形可以有不同的位置,因分类讨论因分类讨论;字母系数可取不同值字母系数可取不同值,一定要讨论一定要讨论.lity练习练习21.已知定点已知定点A(0,-1),动点动点P在曲线在曲线y=2x2+1 上移动上移动,则线段则线段AP的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是:_.2.已知三角形三顶点坐
6、标为已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),C(0,2),则三角形的则三角形的AB边中线的方程是边中线的方程是:_已知已知M(1,0),N(-1,0),若若kpmkpn=-1,则动点则动点p的的轨迹方程为轨迹方程为:_y=4x2x=0(0y2)x2+y2=1(x1)lity解答解答:1.已知定点已知定点A(0,-1),动点动点P在曲线在曲线y=2x2+1 上移动上移动,则线段则线段AP的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是:_设中点设中点Q(x,y),P(xQ(x,y),P(x0 0,y,y0 0),),则则x0=2x,y0=2y+1,代入代入y0=2x02+1得得:y=4x2lit
7、y小小 结结正确地求曲线得轨迹方程正确地求曲线得轨迹方程,一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤,二要记住解题的二要记住解题的4 4条注意事项条注意事项,对自己的对自己的解得的结果作检验解得的结果作检验.lity求圆锥曲线方程的常用方法lity轨迹法轨迹法定义法定义法待定系数法待定系数法练习1练习2建系设点建系设点写集合写集合列方程列方程化简化简证明证明 静静lity例例1 动点动点P（x，y）到定点到定点A（3，0）的的距离比它到定直线距离比它到定直线x=-5的距离少的距离少2。求：动点求：动点P的轨迹方程。的轨迹方程。O3-5Axy m解法一解法一轨迹法轨迹法
8、思考：如何化去绝对值号？思考：如何化去绝对值号？P点在直线左侧时，点在直线左侧时，|PH|-5P如图，如图，PHlity例例1 动点动点P（x，y）到定点到定点A（3，0）的距的距离比它到定直线离比它到定直线x=-5的距离少的距离少2。求：动点求：动点P的轨迹方程。的轨迹方程。3-5Axym解法一 轨迹法轨迹法解法二定义法定义法如图，-3n作直线 n：x=-3则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x=-3 等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是 以为焦点，以为准线的抛物线。An依题设知 x -5,y 2 =12xlitylity轨迹法轨迹法定义法定义法待定系数法待定系数法静音练习1练习2由题设条
9、件，由题设条件，根据圆锥曲根据圆锥曲线的定义确线的定义确定曲线的形定曲线的形状后，写出状后，写出曲线的方程。曲线的方程。lity例例2 等腰直角三角形等腰直角三角形ABC中，斜边中，斜边BC长为长为 ，一个椭圆以，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点为其中一个焦点，另一个焦点在线段在线段AB上，且椭圆经过点上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。求：该椭圆方程。O解xyACBO|BC|=如图，设椭圆的另一个焦点为DD以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为（ab0)则|AD|+|AC|=2a，|BD|+|BC|=2a 所以，|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4
10、a即lity例例2 等腰直角三角形等腰直角三角形ABC中，斜边中，斜边BC长为长为 ，一个椭圆以，一个椭圆以C为其中一个焦为其中一个焦点，另一个焦点在线段点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆上，且椭圆经过点经过点A，B。求：该椭圆方程。求：该椭圆方程。O解xyACBO得D|AD|+|AC|=2a|AC|=|AD|=在ADC中|DC|2=|AD|2+|AC|2=（）2 +16=242cc2=6，b2=a2c2=（2+）2 -6=故所求椭圆方程为注：重视定义！注：重视定义！lity轨迹法轨迹法定义法定义法待定系数法待定系数法静音练习1练习2lity例例3 椭圆、双曲线和抛物线都椭圆、双曲线和抛物线都
11、经过点经过点M（2，4），），它们的对它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在点在原点，三种曲线在X轴上轴上有一个公共焦点有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点P，使使它与椭圆、双曲线的右顶点连它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为成的三角形的面积为6.（1）分析：如图XOY2424M抛物线开口向右，根据点M（2，4）可求焦参数p，进而可求焦点。设抛物线：y2=2px，p0,将点M代入解得 p=4故抛物线方程为 y2=8x,焦点为F(2,0)Flity例例3 椭圆、双曲线和抛物线都椭
12、圆、双曲线和抛物线都经过点经过点M（2，4），），它们的对它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在点在原点，三种曲线在X轴上轴上有一个公共焦点有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点P，使使它与椭圆、双曲线的右顶点连它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为成的三角形的面积为6.XOY2424MF抛物线方程：y2=8x，焦点焦点F（2，0）设椭圆、双曲线方程分别为-则a2-b2=4，m2+n2=4；又-解得：lity例例3 椭圆、双曲线和抛物线都椭圆、双曲线和抛物线都经过点经过点M（2，4
13、），），它们的对它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在点在原点，三种曲线在X轴上轴上有一个公共焦点有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点P，使使它与椭圆、双曲线的右顶点连它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为成的三角形的面积为6.XOY2424MF抛物线：y2=8x-椭圆、双曲线方程分别为-lity例例3 椭圆、双曲线和抛物线都椭圆、双曲线和抛物线都经过点经过点M（2，4），），它们的对它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在点在原点，三种曲
14、线在X轴上轴上有一个公共焦点有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点P，使使它与椭圆、双曲线的右顶点连它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为成的三角形的面积为6.XOY2424MF抛物线：y2=8x椭圆、双曲线方程分别为-（2）分析：如图（m,0）（a，0）P椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，P为抛物线上的一点，三角形的高为|yp|，（xp，yp）=由题设得 6=S|a-m|yp|lity例例3 椭圆、双曲线和抛物线都椭圆、双曲线和抛物线都经过点经过点M（2，4），），它们的对它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶称轴都是坐
15、标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在点在原点，三种曲线在X轴上轴上有一个公共焦点有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点P，使使它与椭圆、双曲线的右顶点连它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为成的三角形的面积为6.F抛物线：y2=8x椭圆、双曲线方程分别为-（m,0）（a，0）PXOY2424M（xp，yp）=由题设得 6=S|a-m|yp|易知|a-m|=4，故可得|yp|=33即yp=，将它代入抛物线方程得 xp=故所求P点坐标为（，3）和（，-3）lity例例3 椭圆、双曲线和抛物线都椭圆、双曲线和抛物线都经过点经过点
16、M（2，4），），它们的对它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在点在原点，三种曲线在X轴上轴上有一个公共焦点有一个公共焦点.（1）求这三种曲线的方程；）求这三种曲线的方程；（2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点P，使使它与椭圆、双曲线的右顶点连它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为成的三角形的面积为6.F抛物线：y2=8x椭圆、双曲线方程分别为-（m，0）（a，0）PXOY2424M（xp，yp）点评：点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法。lity轨迹法轨迹法定义法定义法待定系数法待定系数法练习1练习2小结小结lity作业作业.已知定点已知
17、定点M M（1 1，0 0）及定直线及定直线L L：x=3x=3，求到求到M M和和L L的距离之和为的距离之和为4 4的动点的动点P P的轨迹方程。的轨迹方程。.动圆动圆M M和和 y y 轴相切，又和定圆相外切，求动圆轴相切，又和定圆相外切，求动圆圆心圆心M M的轨迹方程。的轨迹方程。3.3.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条准线为条准线为 x=1x=1，直线直线L L过左焦点过左焦点F F，倾角为倾角为4545，交椭圆于交椭圆于A A，B B两点，若两点，若M M为为ABAB的中点且的中点且ABAB与与OMOM的夹的夹角为角为arctan2
18、arctan2时，求椭圆的方程。时，求椭圆的方程。lity 已知已知Q Q点是双曲线点是双曲线C C上的任意一点，上的任意一点，F F1 1、F F2 2是是双曲线的两个焦点，过任一焦点作双曲线的两个焦点，过任一焦点作FF1 1QFQF2 2的角的角平分线的垂线，垂足为平分线的垂线，垂足为M M。求点求点M M的轨迹方程并画的轨迹方程并画出它的图形。出它的图形。思考题思考题lity以下为资料以下为资料litylity一、复习提问：二、讲解例题：lity例1、过点P(-3，3）作直线L交椭圆为参数）于A、B两点，若，求直线L的方程。PBAXYO(t为参数）代入椭圆的普通方程即L的方程为：解：设L
19、的倾斜角为L的参数方程为lity代入得：（在椭圆内的部分）AxyCBPOlitylityAAPPSxyOlity参数方程求轨迹的一般步骤1、建立平面直角坐标系2、设参数3、求动点坐标与参数关系式注意：取参数应容易消参lity练习：1、长为3a的线段端点A、B、分别在x,y轴上滑动，M为AB的一个三等分点，求M的轨迹方程。xoyABM(第1题图)xMyQPABO（第2题图）lity解：xoyBAMlity解：设A(a,a),B(a+1,a+1)即a=0时，平行无交点即a=0时，消去a得xMyQPABO（第2题图）lity小结：利用参数方程求轨迹 的关键是选择参数，而选择参数在于对动点运动规律的分
20、析，即动点与那个几何量或物理量取值有关。lity温故知新，揭示课题温故知新，揭示课题1122BAOXY图12)画出方程x+y=0与方程y=x2所表示的曲线：方程f(x,y)=0 解(x,y)点 曲线C 1)求图1所示的AB的垂直 平分线方程y=x;曲线C 点 (x,y)方程f(x,y)=0lity 下述方程分别表示图2中的哪一个？为什么？-=0|x|-|y|=0 x-|y|=0图2运用反例，揭示内涵运用反例，揭示内涵11OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCDlity 直角坐标系中，如果某曲线直角坐标系中，如果某曲线C上的点上的点与一个二元方程与一个二元方程f(x,y)=0的实
21、数解建立了如的实数解建立了如下的关系：下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解。曲线上的点的坐标都是这个方程的解。以这个方程的解为坐标的点都是直线以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点。上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。条曲线叫做方程的曲线。讨论归纳，得出定义讨论归纳，得出定义lity 曲线可以看成由点组成的集合，记作曲线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个关于以一个关于x，y的二元方程的解为坐标的二元方程的解为坐标的点集，记作的点集，记作F，若满足若满足C F；F C，则则C=F。集合表述，加深理解集合表述，加深理解lity初步运用，反复辨析lity 下列各题中，图下列各题中，图3表示的曲线表示的曲线C方程是所列方程是所列出的方程吗？如果不是，不条符合定义中的关出的方程吗？如果不是，不条符合定义中的关系系还是关系还是关系？(1)曲线曲线C为过点为过点A(1，1)，B(-1，1)的的折线，方程为折线，方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+=0;(3)曲线C是,象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y=。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221图3