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1、等势面等势面 电势梯度电势梯度 张三慧大学基础物理学：第张三慧大学基础物理学：第11章第章第45节节毛骏健大学物理学：第毛骏健大学物理学：第5章第章第5节节1引：引：.场强电势的积分关系场强电势的积分关系等势面：等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做等势面做等势面.即即 的空间曲面称为等势面。等的空间曲面称为等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。规定：规定：画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。等势面等势面等势面等势面一、等势面一、等势面2等势面的性质：等势
2、面的性质：证明：证明：1.在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此电荷不作功。电荷不作功。ab等势面等势面2.除电场强度为零处外，电力线与等势面垂直。除电场强度为零处外，电力线与等势面垂直。证明：证明：3.由于由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。场强较小。因为将单位正电荷从等势面上因为将单位正电荷从等势面上M点移到点移到N点，电场力做功为零，而路径不为零。点，电场力做功为零，而路径不为零。3因沿
3、电力线方向移动正电荷场力做正功，因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。电势能减少。4.电力线电力线的方向的方向指向电势降低的方向。指向电势降低的方向。证明：证明：假设电荷假设电荷q0由由2移到移到1，等势面等势面的方向为电势降低的方向。的方向为电势降低的方向。取两个相邻近的等势面取两个相邻近的等势面1和和2，电势分别为，电势分别为U和和U+dU,且且dU0,.规定：规定：等势面的法线正方向为指等势面的法线正方向为指向电势升高的法线方向。向电势升高的法线方向。二、电势梯度二、电势梯度4定义电势梯度矢量：定义电势梯度矢量：大小：大小：方向：方向：写成矢量式：写成矢量式：算符算符电势梯度电
4、势梯度 是一个矢量，是一个矢量，它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。如果过如果过P1沿沿 方向的电势增加率为方向的电势增加率为 ，与与 的夹角的夹角为为。沿着等势面的正法线方向。沿着等势面的正法线方向。有：有：5根据场强与电势的积分关系，有：根据场强与电势的积分关系，有：即：即：电场强度的方向与电势梯度矢量电场强度的方向与电势梯度矢量的方向相反，即的方向相反，即 与与 反向。反向。写成矢量式：写成矢量式：电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值。的负值。场强与电势的微分关系三、场强与电势的
5、微分关系三、场强与电势的微分关系6在直角坐标系中：在直角坐标系中：在任意方向上，场强的分量为：在任意方向上，场强的分量为：注意几点：注意几点：1.“”表示电场强度的方向为电势降低的表示电场强度的方向为电势降低的方向。方向。2.沿等势面法线方向场强最大。沿等势面法线方向场强最大。3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，场强小，电力线也疏。场强小，电力线也疏。4.场强反映场点处的电势的场强反映场点处的电势的“变化率变化率”，E 与与 V 无直无直接的关系。接的关系。电势为零的地方，场强不一定零。场强为电势为零的地方，场强不一定零。场强为零的地方，
6、电势不一定为零。零的地方，电势不一定为零。76.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。+o+-o 5.电势不变的空间场强一定为零。电势不变的空间场强一定为零。如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电场强度与电势的积分关系场强度与电势的积分关系 ，可以求出，可以求出电势的分布；电势的分布；如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与电如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与电势的微分关系势的微分关系 进行偏微商运算求得电进行偏微商运算求得电场强度的分布。场强度的分布。4.场强反映场点处的电场强反映场点处的电势的势的“变化率变化率”，E 与与 U 无直接的关系。无直接的关系。电势电势为零的地方，场强不一为零的地方，场强不一定零。场强为零的地方，定零。场强为零的地方，电势不一定为零。电势不一定为零。8例：例：均匀带电圆盘半径为均匀带电圆盘半径为 R，面电荷密度为面电荷密度为 ，求，求轴轴线上一点的场强。线上一点的场强。解：解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式由带电圆盘轴线上一点的电势公式由于等势面法线方向与由于等势面法线方向与 x 轴相同，轴相同，9