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1、1 1 晶体的特征晶体的特征1.1 1.1 固体的分类固体的分类1.2 1.2 晶体的宏观特性晶体的宏观特性本节主要内容本节主要内容:晶体结构1.1 固体的分类固体固体晶体晶体:非晶体非晶体:准晶体准晶体:长程有序长程有序不具有长程序的特点不具有长程序的特点,短程有序。短程有序。有长程取向性，而没有长程的平移对称性。有长程取向性，而没有长程的平移对称性。单晶体单晶体多晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序长程有序:1.固体分类(按结构)(a)(a)晶体结构的规则网格晶体结构的规则网格 非晶体中原子排列不具有长程的周期性，但基本保留了原
2、子排列的短程序，即近邻原子的数目和种类、近邻原子之，即近邻原子的数目和种类、近邻原子之间的距离间的距离(键长键长)、近邻原子配置的几何方位、近邻原子配置的几何方位(键角键角)都与晶体都与晶体相近。相近。(b)(b)非晶体结构的无规则网格非晶体结构的无规则网格(c)(c)Penrose)Penrose拼接图案拼接图案 准晶体具有长程的取向序，但没有长程的平移对称序，准晶体具有长程的取向序，但没有长程的平移对称序，可以用可以用Penrose拼接图案显示其结构特点。拼接图案显示其结构特点。2.晶体的分类晶晶 体体按晶胞分立方晶系立方晶系六方晶系六方晶系四方晶系四方晶系三方晶系三方晶系正交晶系正交晶系
3、单斜晶系单斜晶系三斜晶系三斜晶系按对称性分立方体立方体六方体六方体按功能分导体导体 半导体半导体绝缘体绝缘体磁介质磁介质电介质电介质超导体超导体按结合方式分分子晶体分子晶体离子晶体离子晶体共价晶体共价晶体金属晶体金属晶体氢键晶体氢键晶体 晶体所具有的自发地形晶体所具有的自发地形成封闭凸多面体的能力称为成封闭凸多面体的能力称为自限性。自限性。2.晶体的解理性:晶体沿某些确定方位的晶面晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，称为晶体的解理性，劈裂的性质，称为晶体的解理性，这样的晶面称为这样的晶面称为解理面解理面。1abcd21.2 晶体的宏观特性1.自限性:晶面的交线称为晶面的交线称为晶棱晶棱，晶棱，
4、晶棱互相平行的晶面的组合称为互相平行的晶面的组合称为晶带晶带，如右图中如右图中a，1，b，2。1abcd2 互相平行的晶棱的共同互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的称为该晶带的带轴带轴，晶轴晶轴是是重要的带轴。如右图中重要的带轴。如右图中OO3.晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。石英晶体：石英晶体：a、b 间夹角总是间夹角总是14147；a、c 间夹角总是间夹角总是11308；b、c 间夹角总是间夹角总是12000。4.晶体的各向异性在不同方向上，晶体的物理性质不同。在不同方向上，晶体的物理性质不同。由右图可以看
5、出，在不同的方向上晶由右图可以看出，在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。体中原子排列情况不同，故其性质不同。5.晶体的均匀性 晶体中任意两点晶体中任意两点(在同一方向上在同一方向上)的的物理性质相同。物理性质相同。6.晶体的对称性:晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性晶体的对称性。7.晶体固定的熔点:给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶
6、体全部熔化，温度才开化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。始上升，即晶体有固定的熔点。晶体为什么具有这些宏观特性呢晶体为什么具有这些宏观特性呢?晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。即晶体的宏观特性是微观特性的反映。自限性自限性、晶面角守恒晶面角守恒、解理性解理性、晶体的各向异性晶体的各向异性、晶体、晶体的均匀性、晶体的对称性、的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点固定的熔点。晶体的宏观特性：晶体的宏观特性：2 2 晶体的微观结构晶体的微观结构本节主要内容本节主要内容:
7、2.1 2.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性2.2 2.2 原胞原胞2.3 2.3 密堆积、配位数和致密度密堆积、配位数和致密度(b)(c)(a)(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同为二维晶体结构示意图，它们有何异同?2.1 晶体结构的周期性 所有晶体的结构可以用所有晶体的结构可以用晶格晶格来描述，这种晶格的每个格点来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元基元，基元在空间周，基元在空间周期性重复排列就形成期性重复排列就形成晶体结构晶体结构。一个一个理想的晶体是由是由完全相同的的结构单元在空间在空间周期性重重复
8、排列而成的。复排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格点和晶格 在晶体中适当选取某些原子作为一个在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个，这个基本结构单元称为基本结构单元称为基元基元，基元是晶体结构中，基元是晶体结构中最小的重复单元，的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(1)(1)基元基元(b)(c)(a)任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)(2)晶格晶格 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子
9、在空间有晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为线族，形成一些网格，称为晶格晶格(或者说这些点在空间周期性或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为排列形成的骨架称为晶格晶格)。(b(b)(c)(c)(a)(a)晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。用矢量表示用矢量表示格点的排列。格点的排列。(3)(3)格点格点(或称或称阵点阵点)晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为
10、格点格点。一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。也可以代表基元中任意的点子。空间点阵空间点阵(或或布喇菲点阵布喇菲点阵)+)+基元基元=晶体结构晶体结构(b)(a)布喇菲点阵布喇菲点阵(或空间点阵或空间点阵):为了描写晶体结构的周期性,从具体晶体中抽象出所有基元的阵点在空间作有规则的周期性无限分布,这些阵点（或格点）排列的总体称为布喇菲点阵(或空间点阵).布喇菲格子布喇菲格子：把空间点阵用一些直线连起来，形成的空间网格。说说 明明1.基元中A、B可以是不同的原子，或相同的原子，但周围“环境”不同。2.每个基元用一个格点来表示。此格
11、点选在基元的什么地方、代表几个原子并未限制。3.每个基元内所含的原子数晶体中原子的种类数。4.布喇菲格子（B格子）的基本特征：各格点的情况（基元内涵和周围“环境”）完全相同。在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。2.2 原胞 在晶格中取在
12、晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。说明：说明：基矢的选法并不唯一确定（初基原胞内仅含一个格点）。特点：特点：格点格点只在平行六面体的顶角上，只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构
13、它反映了晶体结构的周期性的周期性。构造：取一格点为顶点，由此点向构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理固体物理学原胞学原胞。(1)固体物理学原胞固体物理学原胞(又称又称初基原胞初基原胞,Primitive Cell)1.原胞的分类基矢：固体物理学原胞基矢通常用基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。表示。体积为：体积为：原胞内任一点的位矢表示为：原胞内任一点的位矢表示为：在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。(2
14、)结晶学原胞结晶学原胞（又又称称惯用原惯用原胞胞,Conventional Cell）构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。表示。特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：体积为：(3)(3)维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞 构造：以一个格点
15、为原点，作原点与其它格点连接的中垂构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面面(或中垂线或中垂线)，由这些中垂面，由这些中垂面(或中垂线或中垂线)所围成的最小体积所围成的最小体积(或或面积面积)即为即为W-S原胞原胞。特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。例例:确定六角蜂房型点确定六角蜂房型点阵是否是布喇菲点是否是布喇菲点阵?如果不是如果不是,画出画出其布喇菲格子其布喇菲格子,基矢和初基原胞基矢和初基原胞,并自己并自己选定坐定坐标系系,给出基出基
16、矢表达式矢表达式.aa1a214种布喇菲格子种布喇菲格子:三斜三斜简单三斜三斜单斜斜简单正交正交底心正交底心正交体心正交体心正交面心正交面心正交底心底心单斜斜正交正交三方三方(三角三角)简单单斜斜简单三方三方四方四方简单四方四方体心四方体心四方六方六方(六角六角)简单六方六方立方立方简单立方立方体心立方体心立方面心立方面心立方对称称性性逐逐渐提提高高对称称性性逐逐渐提提高高初基原胞和初基原胞和惯用原胞的关系用原胞的关系:对于于14种布喇菲格子种布喇菲格子,凡是格点凡是格点仅存在于平行六面体原存在于平行六面体原胞八个胞八个顶角上的角上的简单的的惯用原胞用原胞,也是初基原胞也是初基原胞;其他的布喇
17、其他的布喇菲格子两种原胞的取法不一菲格子两种原胞的取法不一样.立方晶系的布喇菲格子立方晶系的布喇菲格子(a=b=c,且相互垂直且相互垂直=90):简立方立方:simple cubic(sc)体心立方体心立方:body-centred cubic (bcc)面心立方面心立方:face-centred cubic (fcc)ab(1)(1)一维原子链一维原子链a2.2.几种晶格的实例几种晶格的实例一维单原子链一维单原子链一维双原子链一维双原子链(2)(2)二维二维(a)(b)固体物理学原胞固体物理学原胞维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞(3)(3)三维三维立方晶系立方晶系布喇菲原胞的体积布喇菲原胞的体
18、积:设设晶格常数晶格常数(布喇菲原胞棱边的长度)为为a,取取 为坐标轴的单位矢量为坐标轴的单位矢量,即立方体边长为即立方体边长为a,(a)(a)简立方简立方每个布喇菲原胞包含每个布喇菲原胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积布喇菲晶格(简单格)平均每个布喇菲原胞包含平均每个布喇菲原胞包含4个个格点格点。(b)(b)面心立方面心立方固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积(c)(c)体心立方体心立方平均每个布喇菲原胞包含平均每个布喇菲原胞包含2个个格点格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积复式格(a)(a)金刚石结构金刚石结构金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含每个
19、结晶学原胞包含4个个格点格点。金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/41/4的长度套构而成的长度套构而成,其布喇菲晶格为其布喇菲晶格为面心立方面心立方。c cc cc cc c 金刚石结构每个固体物理学原胞金刚石结构每个固体物理学原胞包含包含1个格点个格点,基元由两个碳原子组成基元由两个碳原子组成,位于（位于（000）和）和 处。处。(b)(b)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个氯化钠结构由两个面心立方面心立方子晶格沿体对角线位移子晶格沿体对角线位移1/21/2的的长度套构而成。长度套构而成。Cl-和和Na+分别组成面心立方子晶格。
20、分别组成面心立方子晶格。其布喇菲晶格为其布喇菲晶格为面心立方面心立方。氯化钠结构属面心立方。每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含4个个格点格点。氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。选取方法相同。基元由一个基元由一个Cl-和一个和一个Na+组成。组成。(000)Cl-的坐标为的坐标为 ，Na+的坐标为的坐标为 。(c)(c)氯化铯结构氯化铯结构 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长的长度套构而成。
21、度套构而成。Cl-和和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶格为分别组成简立方格子，其布喇菲晶格为简立方简立方，氯化铯结构属简立方。每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含1个个格点格点。基元由一个。基元由一个Cl-和一个和一个Cs+组成。组成。(000)Cl-的坐标为的坐标为 ，Cs+的坐标为的坐标为 。(d)(d)钙钛矿结构钙钛矿结构钙钛矿结构常写成钙钛矿结构常写成ABO3的形式的形式。OTi 钡、钛和钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个个简立方简立方子晶格套构而成的。子晶格套构而成的。一
22、个晶胞包含一个晶胞包含1个钡原子、个钡原子、1个钛原子和个钛原子和3个氧原子。个氧原子。钙钛矿钙钛矿的氧的氧八面体八面体结构结构(e)闪锌矿结结构构又称立方硫化又称立方硫化锌结构构,与金与金刚石石结构构类似似.布喇菲格子布喇菲格子:面心立方面心立方,可以看成是沿体可以看成是沿体对角角线互相互相错开开1/4对角角线长度的度的Zn和和S的面心立方晶格套构而成的的面心立方晶格套构而成的.初基原胞初基原胞:与面心立方一致与面心立方一致2.3 密堆积、配位数和致密度1.配位数一个粒子周围一个粒子周围最近邻的粒子数称为称为配位数配位数.它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，它可以描述晶体中粒
23、子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。配位数越大。2.密堆积 如果晶体由如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为称为密堆积密堆积。第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，有个球相切，有6个空隙，个空隙，如编号如编号1,2,3,4,5,6。第二层：占据第二层：占据1,3,5空位中心。空位中心。第三层：在第一层球的正上方形成第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB排列方式。排列方式。(1)(1)六角密积六角密积AB 六角密积是复式格，其布喇菲晶格是简单六角晶格。基元由两个原子组成，
24、一个位于基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于，另一个原子位于，(2)(2)立方密积立方密积 第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，有个球相切，有6个个空隙，如编号为空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。第二层：占据第二层：占据1，3，5空位中心。空位中心。第三层：占据第三层：占据2，4，6空位中心，空位中心，按按ABCABCABC方式排列，形方式排列，形成面心立方结构，称为成面心立方结构，称为立方密积立方密积。BAC4.致密度：如果把如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以球的体积取得尽可能大，以使最
25、近邻的球相切，我们把一个晶，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度致密度(堆积比率或最大空间利用率)。密堆积特点：密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。3.配位数的可能值 配位数的可能值为：配位数的可能值为：12(密堆积密堆积)，8(氯化铯型结构氯化铯型结构)，6(氯化氯化钠型结构钠型结构)，4(金刚石型结构金刚石型结构)，3(石墨层状结构石墨层状结构)，2(链状结构链状结构)。原胞体积原胞体积原胞中原子所占体积原胞中原子所占体积设晶格常量为设晶格常量为a，原子半径为原子半径为R，则则例
26、：求面心立方的致密度例：求面心立方的致密度.N是原胞中原子个数是原胞中原子个数内部原内部原子数子数面上原面上原子数子数棱上原子棱上原子数数顶角上顶角上原子数原子数例例:体心立方晶格的原子球不是体心立方晶格的原子球不是紧密靠在一起的密靠在一起的,证明其明其间隙隙为=0.31r0,r0为原子球的半径原子球的半径.解解:由体心立方晶格原子排列特由体心立方晶格原子排列特征有征有:典型的晶体结构(Cu)4(000)(000)(W)2(000)(000)CsClCs+1Cl-1(000)(000)1288 结构型结构型原胞中的原胞中的 原子个数原子个数原子在原胞原子在原胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距
27、离配位数配位数典型的晶体结构结构型结构型原胞中的原胞中的 原子个数原子个数原子在原胞原子在原胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数8(000)4金刚石金刚石NaClNa+4Cl-4(000)6结构惯用原胞内原子数nr与a的关系配位数CN致密度体心立方bcc280.68立方密积fcc4120.74六方密积hcp6120.74金刚石840.34常常见晶体晶体结构的一些参数构的一些参数r:原子半径原子半径;a:晶格常数晶格常数.3 3 晶晶向向、晶晶面面和和它它们们的的标标志志本节主要内容本节主要内容:3.1 3.1 晶向及晶向指数晶向及晶向指数3.2 3.2 晶面及密勒指数晶面及密勒指
28、数3.1 晶向及晶向指数1.晶向 通过晶格中任意两个格点通过晶格中任意两个格点连一条直线称为连一条直线称为晶列晶列，晶列的，晶列的取向称为取向称为晶向晶向，描写晶向的一，描写晶向的一组数称为组数称为晶向指数晶向指数(或或晶列指数晶列指数)。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列晶列。(3)(3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；格点分布都是相同的；(4)(4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。(1)(1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；族包含所有的格点；(2)(2)晶列上格点分布是周期性的；
29、晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点2.晶向指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为(1)(1)用固体物理学原胞基矢表示用固体物理学原胞基矢表示如如121121表示表示为固体物理学原胞基矢为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ，记为记为 ，即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。(2)(2)以布喇菲原胞基矢表示以布喇菲原胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为 其中其中 为有理数为有理数,将将 化
30、为化为互质的整数 m,n,p,记为记为 mnp，mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数.确定晶向指数的步确定晶向指数的步骤:(1)确定坐确定坐标系系:任取一格点任取一格点为原点原点O,以以轴矢矢a,b,c为轴建立坐建立坐标系系X,Y,Z.需要需要说明的是明的是,由由对称性称性联系的系的晶向是等效的晶向是等效的.等效晶向全体可等效晶向全体可以表示以表示为.(2)求坐求坐标值:求出通求出通过原点晶列沿晶向方向上任一格点的位原点晶列沿晶向方向上任一格点的位置矢量置矢量u a+v b+w c,u,v,w 就是坐就是坐标值.(3)化整数化整数:将将u,v,w 化化为互互质整数整数u,v,w.(
31、4)列括号列括号:晶向指数晶向指数为uvw.OABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE,AD的晶列指数的晶列指数。解：解：晶列晶列BE的晶列指数为：的晶列指数为：011 AD的晶列指数为的晶列指数为:注意:(1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列指数一定是一组互质的整数；(2)(2)晶列指数用方括号表示晶列指数用方括号表示 ；(3)(3)遇到负数在该数遇到负数在该数上方加一横线。加一横线。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111(4)(4)等效晶向等效晶向。在立方体中有，沿立
32、方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有晶列一共有6个不同的晶向，由于个不同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成写成 。100 001 010 100 010 001 3.2 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。1.晶面(1)(1)平行的晶面组成晶面族，
33、晶面族包含所有格点；平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况情况)相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；2.晶面指数晶面方位晶面方位晶面的法线方向晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角法线方向与三个坐标轴夹角)晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距(1)(1)以固体物理学原胞基矢表示以固体物理学原胞基矢表示(2)求截距求截距:选择晶面族中不晶面族中不经过原点的晶面原点的晶面,确定确定该晶
34、面在各晶面在各坐坐标轴上交点的位矢上交点的位矢ra,sb,tc,r,s,t就是截距就是截距.(3)取倒数后化成互取倒数后化成互质整数整数:(4)列括号列括号:(hkl);一般称一般称h,k,l为密勒指数密勒指数.确定晶面指数的步确定晶面指数的步骤:(1)确定坐确定坐标系系:任取一格点任取一格点为原点原点O,以以轴矢矢a,b,c为轴建立坐建立坐标系系X,Y,Z.以布喇菲原胞基矢以布喇菲原胞基矢 为坐标轴来表示为坐标轴来表示的晶面指数称为的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用(hkl)表示表示。例例2：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，之中点，试求晶面试求晶面AEG，ABC
35、D，OEFG，DIHG的密的密勒指数。勒指数。AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距OABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG 的密勒指数是的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是的密勒指数是(120)。OABCDEFGHIABCDEFG例例3:在立方晶系中画出在立方晶系中画出(210)、晶面。晶面。晶面在三个坐标轴上的截距分别为：晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1(210)
36、11密勒指数是密勒指数是(210)的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指数是密勒指数是 的晶面是的晶面是EFG面面；4倒格子与布里渊区一一.倒格子倒格子用用这样一个矢量来一个矢量来综合体合体现晶面族的晶面族的间距和法向距和法向,矢量矢量的方向代表晶面族的法向的方向代表晶面族的法向,矢量的模矢量的模值比例于晶面的面比例于晶面的面间距距,这样的矢量叫做倒格矢的矢量叫做倒格矢.倒格矢的端点称倒格矢的端点称为倒格点倒格点.每个倒格点每个倒格点都表示了一族晶面的特征都表示了一族晶面的特征,倒格矢体倒格矢体现了晶面的面了晶面的面间距和法向距和法向.定定义倒格子基矢倒格子基矢:正格子位矢正格子位矢:
37、Rl=l1a1+l2a2+l3a3倒格子位矢倒格子位矢:Kh=h1b1+h2b2+h3b3正格子正格子元胞体元胞体积:=a1(a2a3)倒格子倒格子元胞体元胞体积:*=b1(b2b3)两种格子基矢两种格子基矢ai,bi之之间的关系的关系:=2 i=j 0 ij i,j=1,2,3两种格子格矢之两种格子格矢之间的关系的关系:Rl Kh=2 (为整数整数)可以可以证明明:1.*=(2)3*=b1(b2b3)=利用利用A(BC)=(AC)B-(AB)C2.正格子和倒格子互正格子和倒格子互为对方的倒格子方的倒格子同理可同理可证:b2*=a2,b3*=a3.3.倒格矢倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3
38、b3和正格子晶面族和正格子晶面族(h1h2h3)正交正交显然然,倒格矢倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3和和正格子晶面族正格子晶面族(h1h2h3)正交正交假假设ABC为正格子晶面族正格子晶面族(h1h2h3)中最靠近原点的晶面中最靠近原点的晶面.4.倒格矢倒格矢Kh的模与的模与晶面族晶面族(h1h2h3)的面的面间距成反比距成反比假假设 为晶面族晶面族(h1h2h3)的面的面间距距:上式的意上式的意义:正格子中的任一晶面族正格子中的任一晶面族(h1h2h3)都可以找到都可以找到对应的倒格矢的倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3来来综合体合体现该晶面族的法向和面晶面族的法向和面间距距
39、.反之亦然反之亦然.:晶面法向的晶面法向的单位矢量位矢量常用波矢来描述波的运常用波矢来描述波的运动状状态:波矢波矢K的量的量纲与倒格子空与倒格子空间的一致的一致,因此可以在倒格子空因此可以在倒格子空间描述描述波矢波矢.倒格子空倒格子空间有有时又称又称为波矢空波矢空间或者状或者状态空空间.为波波长,S0为传播方向的播方向的单位矢量位矢量.例：对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为试求倒格子基矢。解：根据倒格子基矢的定义可知：例：求晶格长数为a的面心立方晶体晶面族 的面间距。解：面心立方正格子的原胞基矢为由 可得其倒格基矢为 倒格矢根据得面心立方晶体晶面族的面间距 二二.布里渊区布里渊区1.定定义
40、几点几点说明明:(1)不管晶格是否相同不管晶格是否相同,只要他只要他们的布拉菲格子的布拉菲格子类型相同型相同,其倒其倒格子格子类型就相同型就相同,布里渊区布里渊区 的形状就一的形状就一样.(2)同一晶格中每个布里渊区所占倒格子空同一晶格中每个布里渊区所占倒格子空间的体的体积相同相同,都等都等于倒格子元胞体于倒格子元胞体积.作所有倒格矢的垂直平分面作所有倒格矢的垂直平分面,被平面所包被平面所包围的的围绕原点的最小原点的最小区域称区域称为第一布里渊区第一布里渊区,又称又称简约布里渊区布里渊区.第第n+1布里渊区就布里渊区就是从第是从第n布里渊区出布里渊区出发只穿只穿过一个中垂面所能达到的区域一个中垂面所能达到的区域.2.例子例子一一维布里渊区布里渊区