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1、第五章第五章 多项式多项式Polynomial厦门大学数学科学学院 概述概述_1n n代数角度代数角度 代数运算代数运算:加、减、乘、除加、减、乘、除(带余除法带余除法)及性质及性质 最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式n n函数角度函数角度 根及其性质，余数定理根及其性质，余数定理n n二者关联二者关联两多项式函数相等两多项式函数相等充要条件为这两多项式代充要条件为这两多项式代数相等数相等厦门大学数学科学学院 概述概述_2n n与数域扩大无关的多项式性质
2、与数域扩大无关的多项式性质整除、最大公因式、互素、余数定理整除、最大公因式、互素、余数定理等等n n与数域扩大有关的多项式性质与数域扩大有关的多项式性质不可约、因式分解、根理论不可约、因式分解、根理论等等厦门大学数学科学学院 5.1 目的与要求目的与要求掌握掌握一元多项式一元多项式形式的准确描述形式的准确描述;理解理解Kx对于多项式的加法对于多项式的加法,数乘数乘,乘法构成乘法构成K-代数代数;掌握掌握用用多项式的次数多项式的次数来解题的方法来解题的方法.厦门大学数学科学学院 数域数域_1l l定义定义若集合若集合若集合若集合KK中任意两个数作某一运算后的结果仍然在中任意两个数作某一运算后的结
3、果仍然在中任意两个数作某一运算后的结果仍然在中任意两个数作某一运算后的结果仍然在KK中，则称中，则称中，则称中，则称KK关于这个运算关于这个运算关于这个运算关于这个运算封闭封闭封闭封闭。l l定义定义 复数集复数集复数集复数集C C的子集的子集的子集的子集KK称为称为称为称为数域数域数域数域，若其满足下列条件，若其满足下列条件，若其满足下列条件，若其满足下列条件:包含包含包含包含0,10,1该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭厦门大学数学科学学院 数域数域_例例l l例例
4、例例1 1.有理数域有理数域有理数域有理数域Q;Q;实数域实数域实数域实数域R;R;复数域复数域复数域复数域C.C.l l例例例例2 2.自然数集自然数集自然数集自然数集N;N;整数集整数集整数集整数集Z.Z.l l例例例例3 3.厦门大学数学科学学院 数域数域_2l l命题命题命题命题 任一数域必包含有理数域任一数域必包含有理数域任一数域必包含有理数域任一数域必包含有理数域Q.Q.l l命题命题命题命题 R R和和和和C C之间不存在任何其他数域之间不存在任何其他数域之间不存在任何其他数域之间不存在任何其他数域.厦门大学数学科学学院 一元多项式一元多项式_1l l定义定义定义定义 K:K:数
5、域数域数域数域,a ai iKK,0,0i i n n;n n0,0,x x:不定元不定元不定元不定元,形如形如形如形如 称为称为称为称为KK上上上上x x的的的的一元多项式一元多项式一元多项式一元多项式.l l例例例例1 1 判断以下是否多项式判断以下是否多项式判断以下是否多项式判断以下是否多项式?l lKK上一元多项式全体记为上一元多项式全体记为上一元多项式全体记为上一元多项式全体记为KKx x 厦门大学数学科学学院 一元多项式一元多项式_2l l定义定义定义定义 a ai ix xi i:称为称为称为称为第第第第i i 次项次项次项次项,a ai i:第第第第i i 次项系数次项系数次项
6、系数次项系数.当当当当a an n 00时时时时,f f(x x)称为称为称为称为n n 次多项式次多项式次多项式次多项式,次数记为次数记为次数记为次数记为deg deg f f(x x).).a an nx xn n:首项首项首项首项,a an n:首项系数首项系数首项系数首项系数,a a0 0:常数项常数项常数项常数项.a an n=1:=1:首一多项式首一多项式首一多项式首一多项式l l注注注注1 1 常数多项式常数多项式常数多项式常数多项式:f f(x x)=)=a a0 0 0(0(零次多项式零次多项式零次多项式零次多项式)f f(x x)=)=a a0 0 0 0 deg deg
7、f f(x x)=0)=0 a ai i=0,=0,i i 00 f f(x x)=0()=0(零多项式零多项式零多项式零多项式),),此时规定此时规定此时规定此时规定:deg:deg f f(x x)=)=f f(x x)=0)=0 deg deg f f(x x)=)=l l注注注注2 2 f f(x x)0)0 deg deg f f(x x)0)0厦门大学数学科学学院 多项式的相等多项式的相等l l定义定义定义定义 两个多项式称为两个多项式称为两个多项式称为两个多项式称为相等相等相等相等当且仅当它们的次数相同且当且仅当它们的次数相同且当且仅当它们的次数相同且当且仅当它们的次数相同且各次
8、项的系数相等各次项的系数相等各次项的系数相等各次项的系数相等即若即若即若即若 则则则则f f(x x)=)=g g(x x)当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当m m=n n,a ai i =b=bi i,00i i n.n.厦门大学数学科学学院 多项式的运算多项式的运算_加法加法1设设设设f f(x x),),g g(x x)K Kx x,适当增加几个系数为适当增加几个系数为适当增加几个系数为适当增加几个系数为0 0的项的项的项的项,可设可设可设可设 定义定义定义定义加法加法加法加法:则则则则 f f(x x)+)+g g(x x)KKx x.厦门大学数学科学学院 多项式的运算多项式的运算_加法
9、加法2l l性质性质 (1)(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)(2)f(x)+g(x)=g(x)+f(x)(3)0+f(x)=f(x)(4)f(x)+(f(x)=0厦门大学数学科学学院 多项式的运算多项式的运算_数乘数乘1 设设定义定义c与与f(x)的的数乘数乘为为:则则 cf(x)Kx.厦门大学数学科学学院 多项式的运算多项式的运算_数乘数乘2l l性质性质 (5)(6)(7)(8)厦门大学数学科学学院 多项式的运算多项式的运算_乘法乘法1设设设设定义定义定义定义f f(x x)与与与与g g(x x)的的的的乘积乘积乘积乘积:f f(x x)g g(x x)=)
10、=h h(x x)其中其中其中其中厦门大学数学科学学院 l l性质性质:(9)(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)(10)f(x)g(x)=g(x)f(x)(11)(f(x)+g(x)h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)(12)c(f(x)g(x)=(c f(x)g(x)=f(x)(c g(x)(13)1f(x)=f(x).多项式的运算多项式的运算_乘法乘法2厦门大学数学科学学院 多项式的次数多项式的次数l l引理引理 deg(f(x)+g(x)maxdeg f(x),deg g(x)deg f(x)=deg cf(x),0 cK deg(f(x)g(x)=deg f
11、(x)+deg g(x)l l注注 deg(f(x)g(x)=0 deg f(x)=0 且且 deg g(x)=0厦门大学数学科学学院 多项式的消去律多项式的消去律l l命题命题 f(x),g(x)Kx.f(x)0,g(x)0,则则 f(x)g(x)0.l l推论推论 若若 f(x)0,f(x)g(x)=f(x)h(x),则则 g(x)=h(x).例例2 f(x),g(x)Rx且且f 2(x)+g2(x)=0,则则f(x)=g(x)=0.厦门大学数学科学学院 5.2 目的与要求目的与要求掌握掌握带余除法带余除法的内容和证明方法的内容和证明方法;熟练熟练用带余除法、待定系数法、凑项法解用带余除法
12、、待定系数法、凑项法解答有关整除问题答有关整除问题.厦门大学数学科学学院 整除整除_定义定义l l定义定义定义定义:设设设设 f f(x x),),g g(x x)K Kx x.若存在若存在若存在若存在h h(x x)K Kx x.使使使使得得得得 f f(x x)=)=g g(x x)h h(x x),),则称则称则称则称 g g(x x)整除整除整除整除f f(x x),),或或或或 f f(x x)被被被被g g(x x)整除整除整除整除,或或或或g g(x x)是是是是f f(x x)的的的的因式因式因式因式.记为记为记为记为g g(x x)|)|f f (x x).).否则记否则记否
13、则记否则记g g(x x)f f(x x).).l l注注注注:g g(x x)|)|f f (x x)不可不可不可不可记做记做记做记做g g(x x)/)/f f (x x).).厦门大学数学科学学院 例子例子例例例例1 1 2|3?2|3?例例例例2 2 1)1)f f(x x)|0?2)0|)|0?2)0|f f(x x)?)?例例例例3 3 f f(x x)满足什么条件时满足什么条件时满足什么条件时满足什么条件时,f f(x x)|1?)|1?例例例例4 4 若若若若g g(x x)|)|f f(x x),),问是否必有问是否必有问是否必有问是否必有deg deg g g(x x)de
14、g)deg f f(x x)?)?例例例例5 5 设设设设g g(x x)0,deg 0,deg g g(x x)deg)deg f f(x x),),且且且且g g(x x)|)|f f(x x),),证明证明证明证明:f f(x x)=0.)=0.厦门大学数学科学学院 整除整除_性质性质l l性质性质性质性质:f f(x x),),g g(x x),),h h(x x)K Kx x,则则则则 (1)(1)反身性反身性反身性反身性:f f(x x)|)|f f(x x););(2)(2)传递性传递性传递性传递性:f f(x x)|)|g g(x x),),g g(x x)|)|h h(x x
15、),),则则则则 f f(x x)|)|h h(x x););(3)(3)互伴性互伴性互伴性互伴性:f f(x x)|)|g g(x x),),g g(x x)|)|f f(x x),),则存在则存在则存在则存在0 0 c cKK,使使使使 f f(x x)=)=cgcg(x x););称此二多项式为称此二多项式为称此二多项式为称此二多项式为相伴多项式相伴多项式相伴多项式相伴多项式,记做记做记做记做f f(x x)g g(x x).).(4)(4)f f(x x)|)|g g(x x),),则对任意则对任意则对任意则对任意0 0 c cKK,c c f f(x x)|)|g g(x x););
16、(5)(5)f f(x x)|)|g g(x x),),f f(x x)|)|h h(x x),),则对任意则对任意则对任意则对任意u u(x x),),v v(x x)KKx x,有有有有f f(x x)|)|g g(x x)u u(x x)+)+h h(x x)v v(x x).).特别地特别地特别地特别地 若若若若g g(x x)|)|g g(x x)u u(x x)+)+h h(x x),),则则则则 g g(x x)|)|h h(x x).).厦门大学数学科学学院 带余除法带余除法_1l l带余除法带余除法带余除法带余除法定理定理定理定理 设设设设f f(x x),),g g(x x
17、)Kx,g g(x x)0,)0,则存则存则存则存在在在在唯一唯一唯一唯一q q(x x)、r r(x x)KKx,且且且且degdeg r r(x x)deg deg g g(x),),使使使使得得得得 f f(x x)=)=g g(x x)q q(x x)+)+r r(x x).).l l注注注注1 1:定理结论可叙述为：定理结论可叙述为：定理结论可叙述为：定理结论可叙述为：f f(x x)=)=g g(x x)q q(x x)+)+r r(x x),),这里这里这里这里或者或者或者或者 r r(x x)=0)=0，或者，或者，或者，或者 0 deg 0 deg r r(x x)deg)0
18、,满足以下性质满足以下性质:对任意对任意 f(x)Kx或或 p(x)|f(x)或或(f(x),p(x)=1,则则p(x)在在K上不可约上不可约.l l性质性质2的逆命题的逆命题设设 p(x)Kx,deg p(x)0,满足以下性质满足以下性质:对任意对任意 f(x),g(x)Kx,如果如果 p(x)|f(x)g(x)必有必有 p(x)|f(x)或或 p(x)|g(x),则则 p(x)是是K上不可约多项式上不可约多项式.l l注注 多项式多项式f(x)不可约的判定除了定义外不可约的判定除了定义外,还还可以通过其与任意多项式的关系可以通过其与任意多项式的关系(要么整除要么整除要么互素要么互素)来判定
19、来判定.厦门大学数学科学学院 不可约多项式不可约多项式_性质性质3l l推论推论设设f1(x),f2(x),fm(x)Kx,且且 p(x)是是K上不可约多项式上不可约多项式,若若 p(x)|f1(x)f2(x)fm(x),则存在则存在i,1im,使得使得 p(x)|fi(x).厦门大学数学科学学院 因式分解基本定理因式分解基本定理_1l l因式分解基本定理因式分解基本定理因式分解基本定理因式分解基本定理 设设设设 f f(x x)K Kx x,且且且且deg deg f f(x x)1,)1,则则则则1)1)f f(x x)=)=p p1 1(x x)p p2 2(x x)p ps s(x x
20、),),其中其中其中其中 p pi i(x x)是是是是KK上不可约上不可约上不可约上不可约多项式多项式多项式多项式,1 1isis;2)2)若若若若f f(x x)=)=p p1 1(x x)p p2 2(x x)p ps s(x x)=)=q q1 1(x x)q q2 2(x x)q qt t(x x)其中其中其中其中 p pi i(x x),),q qj j (x x)在在在在KK上不可约上不可约上不可约上不可约,1 1is,is,1 1jt,jt,则则则则 必有必有必有必有s s=t t且经过适当调换因式顺序后且经过适当调换因式顺序后且经过适当调换因式顺序后且经过适当调换因式顺序后,
21、q qi i (x x)p pi i(x x),),1 1isis.l l 多项式的多项式的多项式的多项式的标准分解式标准分解式标准分解式标准分解式 其中其中其中其中p pi i(x x)是两两互素首项系数为是两两互素首项系数为是两两互素首项系数为是两两互素首项系数为1 1的不可约多项式的不可约多项式的不可约多项式的不可约多项式,e ei i1.1.厦门大学数学科学学院 例子例子l l例例1 分别求多项式分别求多项式 f(x)=6(x8 4x4+4)分别分别在在Q、R和和C上的多项式的标准分解式上的多项式的标准分解式.厦门大学数学科学学院 最小公倍式最小公倍式_定义定义l l定义定义:设设 f
22、(x),g(x)Kx,若若m(x)Kx使得使得 1)f(x)|m(x)且且 g(x)|m(x);2)若若f(x)|l(x)且且 g(x)|l(x),则则m(x)|l(x)则称则称 m(x)是是 f(x)与与 g(x)的的最小公倍式最小公倍式.首一最小公倍式记作首一最小公倍式记作f(x),g(x).例例4 f(x)=(x 1)3(x+2)x,g(x)=2(x 1)2(x+2)5(x+3).求求f(x),g(x)的最小公倍式、最大公因式的最小公倍式、最大公因式.l l推论推论5 设设f(x),g(x)是非零多项式是非零多项式,则则f(x)g(x)(f(x),g(x)f(x),g(x).厦门大学数学
23、科学学院 因式分解基本定理因式分解基本定理_2l l定理定理定理定理 设设设设a ai i0,0,b bi i0,0,a ai i+b bi i0,10,1 iimm,p,pi i(x x)是两两互素首项系数是两两互素首项系数是两两互素首项系数是两两互素首项系数为为为为1 1的不可约多项式的不可约多项式的不可约多项式的不可约多项式,则则则则厦门大学数学科学学院 重因式重因式_1多项式的多项式的导数导数 设设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,则其则其导数为导数为f(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+a1(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)(f(x)g(x)
24、=f(x)g(x)+f(x)g(x)(cf(x)=cf(x)(f m(x)=mf m-1(x)f(x).厦门大学数学科学学院 l l定义定义 不可约多项式不可约多项式p(x)称为称为f(x)的的k重因式重因式 (k1),如果如果 并且并且 .l l注注 不可约多项式不可约多项式p(x)为为f(x)的的k重因式重因式l l例例2 分别在分别在R和和C上叙述上叙述p(x)=x2+1是否是是否是f(x)=(x4 1)3的重因式的重因式.若是若是,是几重因式是几重因式;若不是若不是,为什么为什么?重因式重因式_2厦门大学数学科学学院 l l定理定理 若不可约多项式若不可约多项式p(x)是是f(x)的的
25、k(2)重因重因式式,则则p(x)是是f(x)的的k 1重因式重因式.l l注注1 若不可约多项式若不可约多项式p(x)是是f(x)的的k 1重因重因式式,并不意味着并不意味着p(x)是是f(x)的的k重因式重因式.l l注注2 若不可约多项式若不可约多项式p(x)是是f(x)的的k 1重因重因式式,且且p(x)|f(x),问问p(x)是是f(x)的的k重因式么重因式么?(思考思考)重因式重因式_3厦门大学数学科学学院 l l定理定理 设设d(x)=(f(x),f(x),f(x)=f1(x)d(x),则则 f1(x)是一个无重因式的多项式是一个无重因式的多项式,且此多项式且此多项式的每一个不可
26、约因式与的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相的不可约因式相同同.证明思路证明思路:设设 是标是标准分解式准分解式,则则 从而从而l l注注 去除重数的有效方法去除重数的有效方法重因式重因式_4厦门大学数学科学学院 l l推论推论推论推论1 1 若不可约多项式若不可约多项式若不可约多项式若不可约多项式p p(x x)是是是是f f(x x)的的的的k k重因式重因式重因式重因式,则则则则p p(x x)是是是是f f(x x),),f f (x x),),f f(k k-1)-1)(x x)的因式的因式的因式的因式,但不是但不是但不是但不是f f(k k)(x x)的的的的因式因式因式因式
27、.l l推论推论推论推论2 2 不可约多项式不可约多项式不可约多项式不可约多项式p p(x x)是是是是f f(x x)的重因式的重因式的重因式的重因式 p p(x x)是是是是f f(x x)和和和和 f f (x x)的公因式的公因式的公因式的公因式.l l推论推论推论推论3 3 f f(x x)无重因式无重因式无重因式无重因式(f f(x x),),f f(x x)=1.)=1.l l注注注注1 1 判断判断判断判断f f(x x)是否有重因式无需进行因式分解是否有重因式无需进行因式分解是否有重因式无需进行因式分解是否有重因式无需进行因式分解.l l注注注注2 2 f f(x x)是否可
28、约与数域有关是否可约与数域有关是否可约与数域有关是否可约与数域有关;p p(x x)是否是是否是是否是是否是 f f(x x)的重的重的重的重因式与数域有关因式与数域有关因式与数域有关因式与数域有关;但但但但f f(x x)是否有重因式与数域无关是否有重因式与数域无关是否有重因式与数域无关是否有重因式与数域无关.重因式重因式_5厦门大学数学科学学院 例子例子l l例例例例3 3:设设设设 证明证明证明证明:存在自然数存在自然数存在自然数存在自然数N N,使得当使得当使得当使得当n n1 1,n n2 2 N N时时时时,总成立总成立总成立总成立l l例例例例4 4:设设设设 ,证明证明证明证明
29、的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在KK上不可约多项式上不可约多项式上不可约多项式上不可约多项式 ,使得使得使得使得 l l例例例例5 5:设设设设f f(x x)KKx x,a aKK,令令令令g g(x x)=)=f f(x x+a a).).证明证明证明证明f f(x x)在在在在KK上可约上可约上可约上可约g g(x x)在在在在KK上可约上可约上可约上可约.厦门大学数学科学学院 作业作业作业作业:p194 3,4;p227 1,2;p198 1(1),2,4,6;p227 3;补充补充1:求证求证 无重因式无重因式.补充补充2:求求 有重因式的条件有重因式
30、的条件.补充补充3:f(x)=anxn+a1x+a0在在K上可约上可约,其中其中ana00,证明证明g(x)=a0 xn+an-1x+an在在K上也可约上也可约.思考思考:若不可约多项式若不可约多项式p(x)是是f(x)的的k 1重因式重因式,且且p(x)|f(x),问问p(x)是是f(x)的的k重因式么重因式么?选做选做:f(x),g(x)全不为零全不为零,若若f(x)g(x)+f(x)+g(x)=p(x)是首一不可约多项式是首一不可约多项式,则则(f(x),g(x)=1.厦门大学数学科学学院 复习复习p(x)是是K上不可约多项式上不可约多项式 p(x)的因式只能是的因式只能是c或或cp(x
31、),0cK.f(x)Kx,p(x)|f(x)或或(p(x),f(x)=1.f(x),g(x)Kx,且且 p(x)|f(x)g(x),则则 p(x)|f(x)或或 p(x)|g(x).f(x)无重因式无重因式(f(x),f(x)=1.设设d(x)=(f(x),f(x),f(x)=f1(x)d(x),则则 f1(x)是一是一个无重因式的多项式个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可且此多项式的每一个不可约因式与约因式与f(x)的不可约因式相同的不可约因式相同.厦门大学数学科学学院 5.5 目的与要求目的与要求理解理解多项式可作为多项式可作为函数函数的根的性质的根的性质;理解理解两个多项式相等两个
32、多项式相等作为函数相等作为函数相等;了解了解多项式的性质与多项式的性质与数域数域扩大的关系扩大的关系;能应用能应用多项式的函数性质解决相关问题多项式的函数性质解决相关问题.厦门大学数学科学学院 多项式函数多项式函数_1l l设设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,对任意对任意b K,定义定义f(b)=anbn+an-1bn-1+a1b+a0,则则 定义了数域定义了数域K上的函数上的函数.l l定义定义 设设f(x)Kx,bK,且且f(b)=0,则称则称b为为f(x)在在K上的一个上的一个根根或或零点零点.l l余数定理余数定理 设设f(x)Kx,bK,则存在唯一的则存在唯一的g
33、(x)Kx,使得使得 f(x)=(x b)g(x)+f(b).特别地特别地,b是是f(x)的根当且仅当的根当且仅当(x b)|f(x).厦门大学数学科学学院 多项式函数多项式函数_2l l定理定理 设设f(x)Kx,且且degf(x)=n,则则f(x)在在K内内至多有至多有n个不同的根个不同的根.l l推论推论 设设f(x),g(x)Kx,且且degf(x),degg(x)n,且存在且存在n+1个不同的数个不同的数 b1,b2,bn+1K,使使得得 f(bi)=g(bi),1in+1,则则 f(x)=g(x).l l定理定理 设设f(x),g(x)Kx,则则f(x),g(x)作为多项作为多项式
34、相等式相等(即次数和各次项系数相等即次数和各次项系数相等)当且仅当当且仅当f(x),g(x)作为多项式函数相等作为多项式函数相等:即对任意即对任意bK,有有f(b)=g(b).厦门大学数学科学学院 例例l l例例1 sinx不是不是R上多项式上多项式.l l例例2 设设degf(x)0,n是正整数是正整数.又若又若f(x)|f(xn),则则f(x)的根或为的根或为0 或为单位根或为单位根.(复习题复习题6)厦门大学数学科学学院 多项式函数多项式函数_3l l定义定义 bK,若若(x b)k|f(x),但但则称则称b为为f(x)的一个的一个k重根重根.若若k=1,则称则称b为为单根单根.l l注
35、注1 f(x)在在K上有重根上有重根,则在则在K上必有重因式上必有重因式;反之未必反之未必.l l命题命题 设设f(x)Kx,且且degf(x)=n,则则f(x)在在K上上至多有至多有n个根个根.厦门大学数学科学学院 例子例子l l例例3 设设b是是f(x)的的k重根重根,则则b是是f(x)的的k 1重重根根.反之未必反之未必.l l例例4 设设b是是(f(x),f(x)的的k 1重根重根,则则b必是必是f(x)的的k重根重根.厦门大学数学科学学院 多项式性质与数域扩大的关系多项式性质与数域扩大的关系l l多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大多项式的整除、带余除法、最大公因式、互
36、素与数域扩大多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大无关无关无关无关l l定理定理定理定理 设设设设F,KF,K是数域是数域是数域是数域,且且且且 .设设设设f f(x x),),g g(x x)K K x x,则则则则1)1)在在在在KKx x 上上上上,g g(x x)|f f(x x)在在在在FFx x 上上上上,g g(x x)|)|f f(x x););2)2)在在在在KKx x 上上上上,f f(x x)=g g(x x)q q(x x)+r+r(x x)在在在在FFx x 上上上上,f f(x x)=g g(x x)q
37、q(x x)+r r(x x)3)3)在在在在KKx x 上上上上,(,(f f(x x),g g(x x)=)=d d(x x)在在在在FFx x 上上上上,(,(f f(x x),g g(x x)=)=d d(x x)4)4)在在在在KKx x 上上上上,(,(f f(x x),g g(x x)=1)=1 在在在在FFx x 上上上上,(,(f f(x x),g g(x x)=)=1 1 l l多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关厦门大学数学科学学院
38、例子例子l l例例5 讨论讨论f(x)=x2+1在在R、C上的根与可约性上的根与可约性.l l例例6 f(x)在在K上不可约上不可约,则必在任何数域上无则必在任何数域上无重根重根(作业作业).l l例例7 f(x),p(x)是是K上多项式上多项式,p(x)在在K上不可上不可约约,且且f(x)与与p(x)在在C上有公共根上有公共根,则则p(x)|f(x).l l例例8 f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,m,n,p是正整数是正整数,则则x2+x+1|x3m+x3n+1+x3p+2.厦门大学数学科学学院 复习复习 K上上x的一元多项式的的一元多项式的标准分解式标准分解式 其中其中pi(x)是
39、两两互素首项系数为是两两互素首项系数为1的的K上上不可约多项式不可约多项式,ei1.ei的确定的确定 pi(x)的确定的确定厦门大学数学科学学院 5.6 目的与要求目的与要求理解理解代数基本定理代数基本定理与与Cx上多项式标准分解上多项式标准分解式式;熟练掌握熟练掌握Vite定理定理.厦门大学数学科学学院 复系数多项式复系数多项式l l代数基本定理代数基本定理 每个次数大于每个次数大于0的复数域上多的复数域上多项式都至少有一个根项式都至少有一个根.l l推论推论 复数域上的一元复数域上的一元n次多项式在复数域内次多项式在复数域内恰好有恰好有n个根个根.l l推论推论 复数域上的不可约多项式都是
40、一次的复数域上的不可约多项式都是一次的.l l复数域上非常数多项式的标准分解式复数域上非常数多项式的标准分解式:其中其中aiC且两两互异且两两互异,ei0,1im,厦门大学数学科学学院 最重要的贡献是对代数学的推进最重要的贡献是对代数学的推进最重要的贡献是对代数学的推进最重要的贡献是对代数学的推进最早系统地引入代数符号，推进了方程最早系统地引入代数符号，推进了方程最早系统地引入代数符号，推进了方程最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。论的发展。论的发展。论的发展。韦达用韦达用韦达用韦达用“分析分析分析分析”这个词来概括当时代数这个词来概括当时代数这个词来概括当时代数这个词来概括当时代数的
41、内容和方法。的内容和方法。的内容和方法。的内容和方法。创设了大量的代数符号，用字母代替未创设了大量的代数符号，用字母代替未创设了大量的代数符号，用字母代替未创设了大量的代数符号，用字母代替未知数知数知数知数系统阐述并改良了三、四次方程的解法系统阐述并改良了三、四次方程的解法系统阐述并改良了三、四次方程的解法系统阐述并改良了三、四次方程的解法指出了根与系数之间的关系指出了根与系数之间的关系指出了根与系数之间的关系指出了根与系数之间的关系给出三次方程不可约情形的三角解法给出三次方程不可约情形的三角解法给出三次方程不可约情形的三角解法给出三次方程不可约情形的三角解法著有著有著有著有分析方法入门分析方
42、法入门分析方法入门分析方法入门、论方程的识论方程的识论方程的识论方程的识别与订正别与订正别与订正别与订正等多部著作等多部著作等多部著作等多部著作详情进入课程网站详情进入课程网站详情进入课程网站详情进入课程网站 应用与实验应用与实验应用与实验应用与实验数学家简介数学家简介数学家简介数学家简介韦达韦达韦达韦达(FransoisFransois ViteVite,1540-1603,1540-1603)法国十六世纪法国十六世纪法国十六世纪法国十六世纪最有影响的数最有影响的数最有影响的数最有影响的数学家之一学家之一学家之一学家之一厦门大学数学科学学院 Vite定理定理_根与系数的关系根与系数的关系l
43、lVite定理定理 设设f(x)=xn+p1xn-1+pn-1x+pnKx在在K中有中有n个根个根 x1,x2,xn,则则 厦门大学数学科学学院 例子例子l l例例例例1 1 写出下列多项式根与系数的关系写出下列多项式根与系数的关系写出下列多项式根与系数的关系写出下列多项式根与系数的关系:厦门大学数学科学学院 例子例子l l例例例例2 2 设设设设x x3 3+pxpx2 2+qxqx+r r的三个根成等差数列的三个根成等差数列的三个根成等差数列的三个根成等差数列,求证求证求证求证2 2p p3 3 9 9pqpq+27+27r r=0.=0.l l例例例例3 3设设设设 是是是是x x3 3
44、+pxpx2 2+qxqx+r r的根的根的根的根.求多项式求多项式求多项式求多项式,使使使使得其根为得其根为得其根为得其根为l l例例例例4 4设设设设f f(x x)=)=a an nx xn n+a a0 0的的的的n n个根个根个根个根x x1 1,x x2 2,x xn n两两互两两互两两互两两互异异异异,且且且且x xi i0,10,1i i n n,求以求以求以求以 为根的多项式为根的多项式为根的多项式为根的多项式.厦门大学数学科学学院 作业作业作业作业:p201 1,2,3,5;p227 11 p206 1,5;p228 14思考思考:p206 3,4;p228 13选做选做:
45、p201 6;p227 8补充补充:设设f(x)=anxn+a0Zx,a0为素为素数数,且且a0|a1|+|an|,则则f(x)在在Z上不可上不可约约.厦门大学数学科学学院 复习复习复数域上的一元复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有次多项式在复数域内恰好有n个根个根.复数域上的不可约多项式都是一次的复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上非常数多项式的标准分解式复数域上非常数多项式的标准分解式:其中其中aiC且两两互异且两两互异,ei0,1im,厦门大学数学科学学院 5.7 目的与要求目的与要求熟练掌握熟练掌握实系数多项式实系数多项式的标准分解式的标准分解式;学习学习一些解决实系数多项式
46、问题的方法和一些解决实系数多项式问题的方法和技巧技巧.学会学会用用综合除法综合除法等方法求一些等方法求一些Q上多项式的上多项式的有理根有理根;理解理解整数集整数集Z上多项式在上多项式在Q上可约性的关系上可约性的关系;熟练应用熟练应用Eisenstein判别法判别法;了解了解Q上多项式分解上多项式分解问题的一些技巧与方法问题的一些技巧与方法.厦门大学数学科学学院 实系数多项式实系数多项式l l引理引理引理引理 f f(x x),),p p(x x)是是是是KK上多项式上多项式上多项式上多项式,p p(x x)在在在在KK上不可约上不可约上不可约上不可约,且且且且f f(x x)与与与与p p(x
47、 x)在在在在C C上有公共根上有公共根上有公共根上有公共根,则则则则p p(x x)|)|f f(x x).).l l定理定理定理定理 设设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 是实系数是实系数多项式多项式.若复数若复数a+bi(b0,a,b R)是是f(x)在在C上的上的根根,则则a bi也是也是f(x)在在C上的根上的根.l l推论推论推论推论 实数域上不可约多项式或为一次或为二次多实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式项式ax2+bx+c,其中其中b2 4ac0,bj2 4cj0,1im.复数域复数域上的上的不可约多项式不可约多项式都是一次的都是一次的.实数域实数域上
48、非常数多项式的上非常数多项式的标准分解式标准分解式:其中其中ai,bj,cjR,ei,lj 0,bj2 4cj0,ai两两互异两两互异,且且 x2+bjx+cj两两互素两两互素,1im,1jr.实数域实数域上上不可约多项式不可约多项式或为一次或为二次多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,其中其中b2 4ac0.厦门大学数学科学学院 素数与整数的互素素数与整数的互素设设p,a,b是整数是整数,且且p是素数是素数.若若p整除整除ab,则则p整除整除a,或或p整除整除b.设设p,a,b是整数是整数,若若p整除整除a,且且p整除整除a+b,则则p整除整除b.设设p,q,h是非是非1整数整数,且
49、且p,q互素互素,则若则若p整除整除qh,则则p整除整除h.厦门大学数学科学学院 有理系数多项式有理系数多项式_1l l定理定理 设设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数是整系数多项式多项式,则有理数则有理数q/p是是f(x)的根的必要条件是的根的必要条件是 p|an,q|a0,其中其中p,q是互素的整数是互素的整数l l注注1 首一的整系数多项式其有理根必为整数首一的整系数多项式其有理根必为整数,且是且是a0的因子的因子.l l注注2 Z上上f(x)有理根有理根q/p,则分母则分母p必为首项系数必为首项系数的因子的因子,分子分子q必为常数项的因子必为常数项的因子.此非充
50、分的此非充分的.l l例例6 判断判断x3+6x2+9x+1是否有有理根是否有有理根?判断判断x3+6x2+9x+54是否有有理根是否有有理根?厦门大学数学科学学院 有理系数多项式有理系数多项式_2l l定理定理设设整数整数 是整系数多项式是整系数多项式f(x)的根的根,则则 都是整数都是整数.l l注注1 此法仅适用于此法仅适用于整数整数根的判定根的判定,一般有理根一般有理根不适用不适用.l l注注2 Z仅是断定整数仅是断定整数 是是f(x)根的根的必要条件必要条件,非充分条件非充分条件.如如2非非x2+2的根的根.l l例例6 判断判断6,6是否是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根的