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1、第三章非稳态导热第三章非稳态导热第三章非稳态导热第三章非稳态导热3.13.1非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念3.23.2集总参数法的简化分析集总参数法的简化分析3.33.3一维非稳态导热的分析解一维非稳态导热的分析解3.43.4二维三维非稳态导热问题的求解二维三维非稳态导热问题的求解3.53.5半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热、重点内容：、重点内容：非稳态导热的基本概念及特点；非稳态导热的基本概念及特点；集总参数法的基本原理及应用；集总参数法的基本原理及应用；一维及二维非稳态导热问题。一维及二维非稳态导热问题。2、掌握内容：、掌握内容：确定瞬时温度场的方法；确定瞬时温度
2、场的方法；确定在一时间间隔内物体所传导热确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。量的计算方法。3、了解内容：、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。无限大物体非稳态导热的基本特点。3-1 3-1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念一、非稳态导热过程及其特点一、非稳态导热过程及其特点导热系统内导热系统内温度场随时间变化温度场随时间变化的导热过程为非的导热过程为非稳态导热。稳态导热。温度随时间变化，热流也随时间变化。温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=t=f(f()例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或例如
3、：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度室内空气温度2 非稳态导热的分类非稳态导热的分类周期性非稳态导热：周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期物体的温度随时间而作周期性的变化性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近程），在经历相当长时间后，物体温
4、度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡物体的温度于周围介质温度，最终达到热平衡物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值随时间的推移逐渐趋近于恒定的值着重讨论瞬态非稳态导热 3 温度分布：温度分布：4 两个不同的阶段两个不同的阶段 非正规状况阶段非正规状况阶段(右侧面不参与换热右侧面不参与换热 )：温度温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受布受 t t 分布的影响较大分布的影响较大 环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，环境的热影响不断向物体内部扩展
5、的过程，即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控制的阶段。制的阶段。必须用无穷级数描述必须用无穷级数描述 二类非稳态导热的区别：二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。的两个不同阶段，而后者不存在。正规状况阶段正规状况阶段(右侧面参与换热右侧面参与换热)：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受不受 to to 影响，主要取决于边界条件及物性，此影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。环境的热影
6、响已经扩展到整个物体内部，即环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。段。可以用初等函数描述。可以用初等函数描述。5 热量变化热量变化1 1板左侧导入的热流量板左侧导入的热流量2 2板右侧导出的热流量板右侧导出的热流量6 学习非稳态导热的目的：学习非稳态导热的目的：(1)(1)温温度度分分布布和和热热流流量量分分布布随随时时间间和和空空间间的的变变化规律化规律(2)(2)非稳态导热的导热微分方程式：非稳态导热的导热微分方程式：(3)(3)求解方法：求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法、近似分析法、数
7、值解法分析解法：分析解法：分离变量法分离变量法、积分变换、拉普、积分变换、拉普拉斯变换拉斯变换近似分析法：近似分析法：集总参数法集总参数法、积分法、积分法数值解法：数值解法：有限差分法有限差分法、蒙特卡洛法、有、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟限元法、分子动力学模拟二、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界二、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题条件问题 在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。温度变化特征与边界条件参数的关系。已知：已知：平板厚平板厚 、初温、初温 、表面传热系数、表面传热系数 h h、平板导
8、热系数平板导热系数 ，将其突然置于温度为，将其突然置于温度为 的的流体中冷却。流体中冷却。由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：的变化会出现以下三种情形：（1）这时，由于表面对流换热热阻这时，由于表面对流换热热阻 几乎可以几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到到 。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于趋近于 。（2）这时，平板内部导热热阻这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略，几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀
9、，并随因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。两种极端情况之间。（3）与与 的数值比较接近的数值比较接近 由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数毕渥数：1 1）毕渥数的定义：）毕渥数的定义：毕渥数属特征数（准则数）。
10、毕渥数属特征数（准则数）。2 2）Bi Bi 物理意义：物理意义：Bi Bi 的大小反映了物体在的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。非稳态条件下内部温度场的分布规律。3 3）特征数（准则数）：）特征数（准则数）：表征某一物理现表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。象或过程特征的无量纲数。4 4）特征长度：）特征长度：是指特征数定义式中的几是指特征数定义式中的几何尺度。何尺度。3-2 集总参数法的简化分析1 定义：定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，温度均匀一致的分析方法。此时，温度分布只与时间有关，即温度分布只与时间有
11、关，即 ，与空间位置无关，因此，也称为与空间位置无关，因此，也称为零维零维问题。问题。一、集总系统的能量平衡方程和温度分布一、集总系统的能量平衡方程和温度分布 ,t0AQc,c,V,t0一个集总参数系统，其体积一个集总参数系统，其体积为为V V、表面积为表面积为A A、密度为密度为、比热为比热为c c以及初始温度为以及初始温度为t t0 0，突然放入温度为突然放入温度为t t、换热系换热系数为数为h h的环境中。的环境中。热平衡关系为：内热能随时间的变化率热平衡关系为：内热能随时间的变化率通通过表面与外界交换的热流量过表面与外界交换的热流量QQc c 当物体被冷却时（t t）,由能量守恒可知方
12、程式改写为：，则有，则有初始条件初始条件初始条件初始条件控制方程控制方程控制方程控制方程 积分积分 过余温度比过余温度比过余温度比过余温度比其中的指数：其中的指数：应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线度的对数与时间的关系是一条负斜率直线 是是傅立叶数傅立叶数物体中的温度物体中的温度呈指数分布呈指数分布方程中指数的量纲：方程中指数的量纲：即与即与 的量纲相同，当的量纲相同，当 时，则时，则此时，此时，上式表明：当传热时间等于上式表明：当传
13、热时间等于 时，物体时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的的过余温度已经达到了初始过余温度的36.836.8。称称 为为时间常数时间常数，用，用 表示。表示。二、时间常数二、时间常数 称为系统的时间常数，记为称为系统的时间常数，记为 s s，也称弛豫时也称弛豫时间。间。如果导热体的热容量（如果导热体的热容量（VcVc ）小、换热条件好小、换热条件好（AA大），那么单位时间所传递的热量大、导热大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数体的温度变化快，时间常数(VcVc/A A)小小反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特
14、征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。也是不相同。/0/s0.386101当物体冷却或加热过程所当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常经历的时间等于其时间常数时，即数时，即 =s=s，=4s，工程上认为工程上认为=4 4ss时导热时导热体已达到热平衡状态体已达到热平衡状态3 3 瞬态热流量：瞬态热流量：导热体在时间导热体在时间 0 0 内传给流体的总热量：内
15、传给流体的总热量：当物体被加热时当物体被加热时(ttt0.2 F00.2 时，取其级数首项即可时，取其级数首项即可(1)(1)先画先画(2)(2)再根据公式再根据公式(3-23)(3-23)绘制其线算图绘制其线算图(3)(3)于是，平板中任一点的温度为于是，平板中任一点的温度为同理，非稳态换热过程所交换的热量也可同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用（以利用（3 32424）和（）和（3 32525）绘制出。）绘制出。为平板中心的过余温度为平板中心的过余温度 P37P37图图3-73-7P36P36图图3-63-6定义无量纲的热量定义无量纲的热量其中其中QQ为为0 0时间内传导的热量（内热
16、能的改时间内传导的热量（内热能的改变量）变量）为为 至无穷至无穷时间内的总传导热量（物时间内的总传导热量（物体内能改变总量）体内能改变总量）经过经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：P77P77图图3-83-8如何利用线算图如何利用线算图a a）对于对于由时间求温度的步骤由时间求温度的步骤为，计算为，计算BiBi数、数、FoFo数和数和x/x/，从图从图3-63-6中查找中查找mm/0 0 和从图和从图3-73-7中中查找查找/mm ，计算出计算出 ，最后求出温度，最后求出温度t t b)b)对于对于由温度求时间步骤由温度求时间步骤为，计算为，计算BiB
17、i数、数、x/x/和和/0 0,从图从图3-73-7中查找中查找/mm,，计算计算mm/0 0然后从图然后从图3-63-6中查找中查找FoFo,再求出时间再求出时间 。c c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算平板吸收（或放出）的热量，可在计算QQ0 0和和BiBi数、数、FoFo数之后，从图数之后，从图3-63-6中中Q/QQ/Q0 0查找，再计算查找，再计算出出 解的应用范围解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且热及冷却过程，并且F00.2F00.2无限长
18、圆柱体和球体加热（冷却）过程分析无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析1.1.无限长圆柱无限长圆柱t tr rt tt tt t0 00式中式中r r0 0 为无限长圆柱体的半径为无限长圆柱体的半径 类似有类似有 ：和和附录附录P412P412图图1 1、2 2、3 3。2.2.球体球体ttrt0 00球体处理方法与无限大圆柱球体处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图体完全相同，相应的线算图示于示于P414P414图图4 4、图、图5 5和图和图6 6之之中。中。这里要注意的是特征尺寸这里要注意的是特征尺寸R R为球体的半径，为球体的半径，r r为球体的为球体的径向方向。径向方向。对分析
19、解的讨论对分析解的讨论1.1.FoFo准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响FoFo 0.20.2时，进入正规状时，进入正规状况阶段，平壁内所有各况阶段，平壁内所有各点过余温度的对数都随点过余温度的对数都随时间按线性规律变化，时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等变化曲线的斜率都相等。mm/0 0随随F F0 0增大而见小。增大而见小。FoFo0.20.2时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温度变化速率不同度变化速率不同2.2.BiBi准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响Bi Bi（Bi=Bi=/）表征了给定导热系统内的导热表征了给定导热系统内的导热热阻与
20、其和环境之间的换热热阻的对比关系热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。当当 BiBi 时，意味着表时，意味着表面传热系数面传热系数 ，对对流换热热阻趋于流换热热阻趋于0 0。平壁。平壁的表面温度几乎从冷却的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降过程一开始，就立刻降到流体温度到流体温度 t t 。当当BiBi0 0时，意味着物体时，意味着物体的热导率很大、导热热阻的热导率很大、导热热阻 0 0（Bi=Bi=/）。）。物物体内的温度分布趋于均匀体内的温度分布趋于均匀一致。一致。可用集总参数法求解可用集总参数法求解.3-4 二维及三维问题的求解二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体(其截面为 的长
21、方形)利用以下两组方程便可证明及及 即证明了 是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题其中其中其中其中限制条件：限制条件：（1 1）一侧绝热，另一侧三类一侧绝热，另一侧三类（2 2）两侧均为一类两侧均为一类（3 3）初始温度分布必须为常数初始温度分布必须为常数多维非稳态导热的图解法多维非稳态导热的图解法应用上面讨论的海斯勒线算图可以求出厚度为应用上面讨论的海斯勒线算图可以求出厚度为2 2 的大平板、半径为的大平板、半径为R R的无限长圆柱体、及半的无限长圆柱体、及半径为径为R R的球体的温度分布和传导的热量。的球体的温度分布和传导的热量。对
22、非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面对非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。0 xy2122一个无限长矩形柱，可以一个无限长矩形柱，可以看成是由两个无限大平板看成是由两个无限大平板正交而组成，它们的厚度正交而组成，它们的厚度分别为分别为2 2 1 1和和2 2 2 2。无限长矩形柱的导热微分方程式为：无限长矩形柱的导热微分方程式为：假定假定,将其代入微分方程中将其代入微分方程中 一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向一个二维非稳态导热问
23、题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。同理，一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相同理，一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。22 2yx021 1例如：例如：1.1.矩形截面的长棱柱矩形截面的长棱柱（正四棱柱）（正四棱柱）：可由两个大：可由两个大平板正交构成，因而温度分平板正交构成，因而温度分布为两个大平板对应的温度布为两个大平板对应的温度分布的乘积分布的乘积 yzx2.2.矩形块体矩形块体(立方体立方体)可由三个可由三个大平板正交构成，
24、因而温度分布大平板正交构成，因而温度分布为三个大平板对应的温度分布的为三个大平板对应的温度分布的乘积乘积 2xrR03.3.短圆柱体短圆柱体可由一个长圆柱可由一个长圆柱体和一个大平板正交构成，体和一个大平板正交构成，因而温度分布为一个长圆柱因而温度分布为一个长圆柱体和一个大平板对应的温度体和一个大平板对应的温度分布的乘积分布的乘积 rx04.4.半长圆柱体半长圆柱体可由一个长圆柱体可由一个长圆柱体和一个半无限大固体正交构成，和一个半无限大固体正交构成，因而温度分布为一个长圆柱体和因而温度分布为一个长圆柱体和一个半无限大固体对应的温度分一个半无限大固体对应的温度分布的乘积布的乘积 需要强调的是，
25、我们要确定某一点的温度时，需要强调的是，我们要确定某一点的温度时，一定要首先确定该点在对应的几个一维空间上一定要首先确定该点在对应的几个一维空间上的位置，再去确定相应的一维温度值，最终乘的位置，再去确定相应的一维温度值，最终乘积得出物体在该点的温度值积得出物体在该点的温度值。例题例题3-1 3-1 一块厚一块厚200200mmmm的大钢板，钢材的密度为的大钢板，钢材的密度为=7790kg/m=7790kg/m3 3，比热容比热容c cp p=170J/(kgK)=170J/(kgK)，导热系导热系数为数为43.243.2W/(mK)W/(mK)，钢板的初始温度为钢板的初始温度为2020，放，放
26、入入10001000的加热炉中加热，表面传热系数为的加热炉中加热，表面传热系数为 h=300W/h=300W/(m(m2 2K)K)。试求加热试求加热4040分钟时钢板的中心温度。分钟时钢板的中心温度。解：解：根据题意，根据题意，=100mm=0.1m=100mm=0.1m。钢材的热扩散率为钢材的热扩散率为 傅里叶数为傅里叶数为 毕渥数为毕渥数为 查图可得查图可得 3-5 3-5 半无限大的物体半无限大的物体半无限大系统指的是一个半无限大的空间，半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也就是一个从其表面可以向其深度方向无限也就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统。延展的物体系统。很多
27、实际的物体在加热或冷却过程的初期都很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。过程。误差函数：误差函数：令令 无量纲无量纲坐标坐标引入引入过余温度过余温度问题的解为问题的解为 误差函数误差函数 无量纲变无量纲变量量说明：说明：(1)(1)无量纲温度仅与无量纲坐标无量纲温度仅与无量纲坐标 有关有关.(2)(2)一旦物体表面发生了一个热扰动，无论一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论经历多么短的时间无论x x有多么大，该处总有多么大，该处总能感受到温度的化。能感受到温度的化。(3)(3)但解释但解释Fo,a
28、Fo,a 时，仍说热量是以一定速度时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，当温度变化很小时，传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。我们就认为没有变化。令令 若若 即即 可认为该处温度没有变可认为该处温度没有变化化 几何位置几何位置若若对一原为对一原为2 2的平板，若的平板，若即可作为半无限大物体来处理即可作为半无限大物体来处理两个重要参数两个重要参数:时间时间若若 对于有限大的实际物体，半无限大对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段，那在惰性时间以内。的初始阶段，那在惰性时间以内。即任一点的热流通量：即任一点的热流通量：0,0,内累计传热量内累计传热量吸热系数吸热系数令令 即得边界面上的热流通量即得边界面上的热流通量