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1、 第五章第五章 三角形单元的有限元法三角形单元的有限元法5.1 基本思想基本思想 把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。算精度和计算机能力来确定。12345678910P5764 56345678 弹性悬臂板弹性悬臂板剖分与集合剖分与集合单元、节点需编号单元、节点需编号（1-1）2、单元内任意点的、单元内任意点的体积力
2、体积力列阵列阵 qV（1-2）1、单元表面或边界上任意点的、单元表面或边界上任意点的表面力表面力列阵列阵 qs ijmxyijmxyqVqs5.2 基本力学量矩阵表示基本力学量矩阵表示图图1-1ijmxyuv3、单元内任意点的位移列阵、单元内任意点的位移列阵 f（1-3）4、单元内任意点的应变列阵、单元内任意点的应变列阵 （1-4）ijmxy5、单元内任意点的应力列阵、单元内任意点的应力列阵 （1-5）6、几何方程几何方程（1-6）将上式代入式将上式代入式(1-4），），ijmxy（1-4）7、物理方程矩阵式、物理方程矩阵式（1-7）式中式中 E、弹性模量、泊松比。弹性模量、泊松比。上式可简写
3、为上式可简写为（1-8）其中其中 对对于于弹弹性性力力学学的的平平面面应应力力问问题题，物物理理方方程程的的矩矩阵阵形形式可表示为：式可表示为：(1-9）矩矩阵阵D称称为为弹弹性性矩矩阵阵。对对于于平平面面应应变变问问题题，将将式式(1-9）中的）中的E换为换为 ，换为换为 。(1-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描）描述。但结构类型不同，力学性态述。但结构类型不同，力学性态(应力分量、应变分应力分量、应变分量量)有区别，有区别，弹性矩阵弹性矩阵D的体积和元素是不同的。的体积和元素是不同的。5.3 位移函数和形函数位移函数和形函数 1、位移函数
4、概念、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。必须事先设定位移函数。“位移函数位移函数”也称也称“位移位移模式模式”，是，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数标的函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可
5、以获足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优这正是有限单元法具有的重要优势之一。势之一。不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位）为例，说明设定位移函数的有关问题。移函数的有关问题。图图1-2是是一一个个三三节节点点三三角角形形单单元元，其其节节点点i、j、m按按逆逆时时针针方方向向排排列列。每每个个节节点点位位移移在在单单元平面内有两个分量：元平面内有两个分量：（1-10）一个三角形单元有一个三角形单元有3个节点
6、（以个节点（以 i、j、m为为 序），序），共有共有6个节点位移分量。其个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移单元位移或单元节点位移列阵列阵为：为：图图1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函数设定、位移函数设定 本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：位移的关系）为简单多项式：(1-12）式中：式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的待定常数，由单元位移的6个分量确定。个分量确定。a1、a4代表刚体位移，代表刚体位移，a2、a3、a5、a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续代表单元中的常应变，而
7、且，位移函数是连续函数。函数。(1-11）ijmuiujumvivjvmxyuvu选取位移函数应考虑的问题选取位移函数应考虑的问题 （1）位移函数的个数位移函数的个数等于等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有有u和和v，与此相应，有，与此相应，有2个位移函数；个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于待定常数个数应等于单元节点自由度总数单元节点自由度总数，以，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含个节点自由度，两
8、个位移函数中共包含6个个待定常数。待定常数。（2）位移函数是坐标的函数位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：本单元的坐标系为：x、y；（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。量协调。条件（条件（4）、（）、（5）构成单元的）构成单元的完备性完备性准则。准则。条件（条件（6）是单元的位移）是单元的位移协调性协调性条件。条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收理论和实践都已证明，完备性准则是有限
9、元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。要与充分条件。（7）位移函数的形式位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要）的要求，根据求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。度数。例：平面应力矩形板被划
10、分为若干三角形单元。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。位移函数中包含了单元的常应变。(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)254136对任一单元，如对任一单元，如单元，取位移函数：单元，取位移函数：、单元的位移函数都是单元的位移函数都是可以看出：可以看出：位移函数在单元内是连续的；位移函数在单元内是连续的；以以、的边界的边界26为例为例2562635623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上
11、也连续吗？是。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。3、形函数、形函数 形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数插值函数。(1-13）（1）形函数确定）形函数确定 现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数常数a1、a2、a6。设节点。设节点i、j、m的坐标分别为的坐标分别为（xi、yi）、（）、（xj、yj）、（）、（xm、ym），节点位移分别），节点位移分别为（为（ui、vi）、）、（uj、vj）、（um、vm）。将它们代）。将它们代入式（入式（1-12），有），有从式从式(1-13）左边）
12、左边3个方程中解出待定系数个方程中解出待定系数a1、a2、a3为为(1-14）式中，式中，A为三角形单元的面积，有为三角形单元的面积，有(1-15）特别指出：特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是的次序必须是逆时针逆时针转向，如图所示。至于将哪个节转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节点点作为起始节点i，则没有关系。，则没有关系。将式将式(1-14）代入式）代入式(1-12）的第一式，整理后得）的第一式，整理后得同理同理ijmxy（2）（1）（7）(1-16）式中式中(1-17）ijm式式(1-17）中（）中（i、j、m）意指：按）意指
13、：按i、j、m依次轮换下依次轮换下标，可得到标，可得到aj、bj、cjam、bm、cm。后面出现类似情。后面出现类似情况时，照此推理。式况时，照此推理。式(1-17）表明：）表明：aj、bj、cjam、bm、cm是单元三个节点坐标的函数。是单元三个节点坐标的函数。(1-16）令令(1-18）位移模式位移模式(1-16）可以简写为）可以简写为(1-19）式式(1-19）中的）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又上它反应了节点位移对单元内
14、任一点位移的插值，又称插值函数。称插值函数。(1-16）用形函数把式用形函数把式(1-16）写成矩阵，有）写成矩阵，有缩写为缩写为(1-20）形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：以下性质：N为形函数矩阵，写成分块形式：为形函数矩阵，写成分块形式：(1-21）其中子矩阵其中子矩阵(1-22）I是是22的单位矩阵。的单位矩阵。（2）形函数性质）形函数性质性质性质1 形函数形函数Ni在节点在节点i上的值等于上的值等于1，在其它节点，在其它节点 上的值等于上的值等于0。对于本单元，有。对于本单元，有（i、j、m）性质性质2 在单元中任一点，所有
15、形函数之和等于在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对。对 于本单元，有于本单元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm图图1-3？xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1图图1-4也可利用行列式代数余子式与某行或列元素也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或乘积的性质（等于行列式值或0）证明。）证明。性质性质3 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有 xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证证图图1-5（1）性质性质4 形函数在单元上的面
16、积分和在边界上的线积分形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为公式为(1-23）式中式中 为为 边的长度。边的长度。5.4 单元应变和应力单元应变和应力 根根据据几几何何方方程程(1-6）和和位位移移函函数数(1-16）可可以以求求得单元应变。得单元应变。1、单元应变、单元应变(1-6）对位移函数（式对位移函数（式(1-16）(1-24）(1-16）求导后代入式求导后代入式(1-6），得到应变和节点位移的关系式。），得到应变和节点位移的关系式。上式简写一般式：上式简写一般式：(1-25）式中，式中，B单元应变矩阵。单元应变矩阵。对本问题，维数为对本问题，维数为36。它的分块形式为：。它的
17、分块形式为：子矩阵子矩阵(1-26）由由于于 与与x、y无无关关，都都是是常常量量，因因此此B矩矩阵阵也也是是常常量量。单单元元中中任任一一点点的的应应变变分分量量是是B矩矩阵阵与与单单元元位位移移的的乘乘积积，因因而而也也都都是是常常量量。因因此此，这这种种单单元元被称为常应变单元。被称为常应变单元。2、单元应力、单元应力 将式将式(1-25）代入物理方程式）代入物理方程式(1-8），得），得 单元应力单元应力(1-27）也可写为也可写为(1-28）其中：其中：S称为称为单元应力矩阵单元应力矩阵，并有，并有(1-29）这里，这里，D是是33矩阵，矩阵，B是是36矩阵，因此矩阵，因此S也是也是
18、36矩阵。它可写为分块形式矩阵。它可写为分块形式(1-30）将将弹弹性性矩矩阵阵（式式(1-9）和和应应变变矩矩阵阵（式式(1-26）代代入，得子矩阵入，得子矩阵Si由式由式(1-29）(1-31）式式(1-31）是是平平面面应应力力的的结结果果。对对于于平平面面应应变变问问题题，只要将上式中的只要将上式中的E换成换成 ，换成换成 即得。即得。(1-32）由由于于同同一一单单元元中中的的D、B矩矩阵阵都都是是常常数数矩矩阵阵，所所以以S矩矩阵阵也也是是常常数数矩矩阵阵。也也就就是是说说，三三角角形形三三节节点点单元内的应力分量也是常量。单元内的应力分量也是常量。当当然然，相相邻邻单单元元的的b
19、i、ci(i，j，m)一一般般不不完完全全相相同同，因因而而具具有有不不同同的的应应力力，这这就就造造成成在在相相邻邻单单元元的的公公共共边边上上存存在在着着应应力力突突变变现现象象。但但是是随随着着网网格格的的细细分分，这这种种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。5.5 单元平衡方程单元平衡方程 1、单元应变能单元应变能 对于平面应力问题中的三角形单元，设单元厚度对于平面应力问题中的三角形单元，设单元厚度为为h。将将式式(1-25）和和(1-8）代代入入上上式式进进行行矩矩阵阵运运算算，并并注注意到弹性矩阵意到弹性矩阵D的对称性，有的对称性，有应变能应变能
20、 U为为ijmxyh(1-25)(1-8）由于由于和和T是常量，提到积分号外，上式可写成是常量，提到积分号外，上式可写成 引入矩阵符号引入矩阵符号k，且有，且有(1-33a）式式(1-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注意）是针对平面问题三角形单元推出的。注意到其中到其中hdxdy的实质是任意的微体积的实质是任意的微体积dv，于是得计算，于是得计算k的的一般式一般式。(1-33）式式(1-33）不仅适合于平面问题三角形单元，也）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元是计算各种类型单元k的一般式。的一般式。dv 5.6节中将明确节中将明确k的力学意义是单元刚度矩阵。的力学意义是
21、单元刚度矩阵。式式(1-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。适合于各种类型的单元。单元应变能写成单元应变能写成(1-34）2、单元外力势能单元外力势能 单单元元受受到到的的外外力力一一般般包包括括体体积积力力、表表面面力力和和集集中中力力。自自重重属属于于体体积积力力范范畴畴。表表面面力力指指作作用用在在单单元元表表面面的的分分布布载载荷荷，如如风风力力、压压力力，以以及及相相邻邻单单元元互互相相作作用用的的内内力等。力等。(1-33）（1）体积力势能体积力势能 单位体积中的体积力单位体积中的体积力如式如式(1-35）所示。）所
22、示。单元上体积力具有的势能单元上体积力具有的势能Vv为为(1-35）ijmxyqVxqVyijmxyuv注意到式注意到式(1-20）有有(1-20）（2）表面力势能表面力势能 面面积积力力虽虽然然包包括括单单元元之之间间公公共共边边上上互互相相作作用用的的分分布布力力，但但它它们们属属于于结结构构内内力力，成成对对出出现现，集集合合时时互互相相抵抵消消，在在结结构构整整体体分分析析时时可可以以不不加加考考虑虑，因因此此单单元元分分析析时也就不予考虑。时也就不予考虑。现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设分单元上形成表
23、面力（右下图）。设边界面上单位面边界面上单位面积受到的表面力积受到的表面力如下式：如下式：l单元边界长度单元边界长度h单元厚度单元厚度A表面力作用面积表面力作用面积 qs qs 沿厚度均匀分布，沿厚度均匀分布，则单元表面力的势能则单元表面力的势能Vs为为 （3）集中力势能集中力势能 当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力 Pc 的势能的势能Vc为为pp/2C （4）总势能总势能把把(1-35）式中原括符内的部分用列阵）式中原括符内的部分用列阵 Fd 代替，代替，综合
24、以上诸式，单元外力的总势能综合以上诸式，单元外力的总势能V为为(1-35）Fd 具有和具有和相同的行、列数。则相同的行、列数。则(1-36）由由单单元元的的应应变变能能U(1-34）和和外外力力势势能能V(1-36），可得单元的总势能可得单元的总势能(1-37）将式将式(1-37）代入，）代入，根据弹性力学最小势能原理：结构处于根据弹性力学最小势能原理：结构处于稳定平衡稳定平衡的的必要和充分条件是必要和充分条件是总势能有极小值总势能有极小值。3、单元平衡方程、单元平衡方程于是有，于是有，(1-34）(1-36）式式(1-38）是从能量原理导出的单元平衡方程。这个方）是从能量原理导出的单元平衡方
25、程。这个方程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，Fd 和和单元节点力单元节点力 F 具有相同的意义。具有相同的意义。(1-38）即得单元平衡方程即得单元平衡方程 5.6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 平衡方程平衡方程(1-38）中的矩阵）中的矩阵k是单元力和单元位是单元力和单元位移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，称移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的体积为为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的体积为nj nj，nj 是单元位移总数。其一般计算公式为：是单元位移总数。其一般计算公式为：1、一般计算公式、一般计算公式它
26、与单元应变矩阵它与单元应变矩阵B和弹性矩阵和弹性矩阵D有关。有关。(1-33）对于平面应力三角形单元，应变矩阵对于平面应力三角形单元，应变矩阵B是常数是常数矩阵，同时弹性矩阵矩阵，同时弹性矩阵D也是常数矩阵，于是式也是常数矩阵，于是式(1-33）可以化简为）可以化简为 式中式中A表示三角形单元的面积。表示三角形单元的面积。h是单元厚度。是单元厚度。2、平面问题三角形单元刚度矩阵、平面问题三角形单元刚度矩阵（1）平面应力三角形单元）平面应力三角形单元(1-39）将式将式(1-9）和）和(1-26）代入上式，）代入上式，即得平面应力三角形单元刚度矩阵。写成分块形即得平面应力三角形单元刚度矩阵。写成
27、分块形式，有式，有(1-40）(1-9）(1-26）式式(1-40)中子矩阵中子矩阵krs为为22矩阵，有矩阵，有(1-41）（2）平面应变三角形单元）平面应变三角形单元对于平面应变问题，须将上式中的对于平面应变问题，须将上式中的E换为换为 ，换为换为 ，于是有，于是有，组合见式，组合见式(1-40）其中，其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式是形函数式(1-16）中的系数）中的系数(式式2-17)。(1-42）平面问题的单元刚度矩阵平面问题的单元刚度矩阵k不随单元（或坐标轴）不随单元（或坐标轴）的平行移动或作的平行移动或作n 角度（角度（n为整数）的转动而改变。为整数）的转动而改变。
28、由公式由公式(1-41）、）、(1-42）知，）知，krs矩阵和其中的矩阵和其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有关。）有关。单元平移时，单元平移时，bi、ci不变。不变。，组合见式，组合见式(1-40）(3)三角形单元刚度矩阵与坐标系无关三角形单元刚度矩阵与坐标系无关ijmxyo 单元转动时，单元转动时，bi、ci不变。不变。当单元旋转时，各节点的编号保持不变。如图当单元旋转时，各节点的编号保持不变。如图1-7所示，图所示，图a所示的单元旋转所示的单元旋转 时，到达图时，到达图b所示位置。所示位置。(1-17）ijmyjymijm图图1-7xyo(b)xyo(a)jim可以证明
29、，这两种情形的可以证明，这两种情形的k是相同的。是相同的。其实，推演公式其实，推演公式(1-40）、）、(1-41）、）、(1-42）时并）时并没有规定坐标系的方位，当坐标系旋转任意角度时，没有规定坐标系的方位，当坐标系旋转任意角度时，也不影响刚度矩阵的结果。因此，也不影响刚度矩阵的结果。因此，平面问题的单元刚平面问题的单元刚度矩阵可以认为是结构坐标系中的单元刚度矩阵，没度矩阵可以认为是结构坐标系中的单元刚度矩阵，没有坐标变换问题。有坐标变换问题。(1-38）（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，例如，kij表示单元第表示单元第j个自由度产生
30、单位位移个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定（其他自由度固定（=0）时，在第）时，在第i个自由度产生的节个自由度产生的节点力点力Fi。主对角线上元素主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。恒为正值。3、单元刚度矩阵性质、单元刚度矩阵性质（2）k的每一行或每一列元素之和为零的每一行或每一列元素之和为零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式中第以上式中第i行为例，行为例，当所有节点沿当所有节点沿x向或向或y向向都产生单位位移时，都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，单元作平动运动，无应变，也无应力。也无应力。则有：则有：即：即：k的每一行元素之和为零
31、。根据对称性，每一列元的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。素之和也为零。rstxy图图1-6（3）k是对称矩阵是对称矩阵 由由k各元素各元素的表达式，可知的表达式，可知k具有对称性。具有对称性。njnj对于主对角线元素对称。对称表达式：对于主对角线元素对称。对称表达式：kij =kji证明证明 kij表示当单元位移中第表示当单元位移中第j个元素为个元素为1(j=1)其余元其余元素为零时，引起的单元力中的第素为零时，引起的单元力中的第i个节点力个节点力Fi kji表示当单元位移中第表示当单元位移中第i个元素为个元素为1(i=1)其余元其余元素为零时，引起的单元力中的第素为零时
32、，引起的单元力中的第j个节点力个节点力Fj第第 i自由度自由度 第第 j自由度自由度位移位移 i=1 j=1力力Fi=kijFj=kji虚功虚功Fi i=kijFj j=kji由虚功原理，得由虚功原理，得 kij=kji（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵）单元刚度矩阵是奇异矩阵 即即k的行列式为零（由行列式性质）的行列式为零（由行列式性质）。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡
33、时没有引入约束。没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质所以出现性质（3）中的）中的“平动问题平动问题”，即单元可以发生任意的刚，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程体运动。从数学上讲，方程(1-28）的解不是唯一的或）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。（5）单元刚度矩阵是常量矩阵）单元刚度矩阵是常量矩阵单元力和单元位移成线性关系是基于弹性理论的结果。单元力和单元位移成线性关系是基于弹性理论的结果。4、
34、例：平面应力直角三角形单元刚度矩阵、例：平面应力直角三角形单元刚度矩阵 图图1-8示出一平面应力直角三角形单元，直角边示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为长分别为a、b，厚度为，厚度为h，弹性模量为，弹性模量为E，泊松比为，泊松比为，计算单元刚度矩阵。，计算单元刚度矩阵。图图1-8ijmabxy 第一步：计算第一步：计算bi、ci和单元和单元 面积面积A。图图1-8（1-17）ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表表2-1 单元节点坐标和单元节点坐标和bi、ci值（值（i、j、m）参数参数节点节点单元面积单元面积:A=
35、ab/2 计算步骤计算步骤 第二步：求子矩阵第二步：求子矩阵 由式由式(1-41），算得），算得 其他从略。其他从略。第三步：形成第三步：形成k将将kii等按式等按式(1-40）组集成）组集成k。(1-43a）2i-1 2i 2j-1 2j 2m-1 2m2i-12i2j-12j2m-12m红色号码红色号码是单元位移（是单元位移（1、2、）在结构中对应）在结构中对应的节点位移的序号。的节点位移的序号。ijmijmi、j、m表示单元中表示单元中3个节点在结构系统中的编号。个节点在结构系统中的编号。当当a=b时，即等腰直角三角形单元，有时，即等腰直角三角形单元，有(1-43b）i j mijm5.
36、7 等价节点力等价节点力 从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的的从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。载荷亦量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成为等价节点力（载荷）。在第为等价节点力（载荷）。在第2.5节中已经得到了公节中已经得到了公式式(1-35）和）和(1-36）。这里，这里，Fd 就是体积力、表面力和集中力之和的总等就是体积力、表面力和集中力之和的总等价节点力。价节点力。(1-35）(1-36）(1-44）把总等价节点力把总等价节点力 Fd
37、 分解成体积力、表面力和集中力分解成体积力、表面力和集中力的等价节点力之和，有的等价节点力之和，有 FV 单元上体积力的等价节点力单元上体积力的等价节点力 FS 单元上表面力的等价节点力单元上表面力的等价节点力 pC 单元上节点上的集中力单元上节点上的集中力注意到式注意到式(1-35），得体积力等价节点力计算公式：），得体积力等价节点力计算公式：表面力的等价节点力计算公式：表面力的等价节点力计算公式：(1-45）(1-46）1、体积力的等价节点力、体积力的等价节点力 2、表面力的等价节点力、表面力的等价节点力 3、等价节点力计算举例、等价节点力计算举例（1）单元自重）单元自重 图图1-9所示平
38、面应力三角形单元，单元厚度为所示平面应力三角形单元，单元厚度为h。单元单位体积自重为单元单位体积自重为，自重指向，自重指向y轴的负方向。轴的负方向。PvixPviyPvjxPvjyPvmxPvmy(1-45）计算式计算式(1-21）图图1-9xyijm-注意到形函数的性质注意到形函数的性质4：(1-23）得自重荷载的等价节点力得自重荷载的等价节点力(1-22）（i,j,m）根据体积力和式根据体积力和式(1-45）、）、(1-21）、）、(1-22），得），得(1-47）上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的1/3。（2）均布面力）均布面力ijm图图
39、1-10 xyqs单元边界上作用了均匀的分布力，单元边界上作用了均匀的分布力，如图如图1-10所示，其集度为所示，其集度为 qs。(1-46）(1-21）根据式根据式(1-46）、）、(1-21）和）和(1-22）计算式计算式注意到形函数性质注意到形函数性质4：(1-23）得得(1-48）(1-22）均匀分布力的等价节点力为均匀分布力的等价节点力为 式式(1-48）表明：在）表明：在ij边上受均布面力的平面问题边上受均布面力的平面问题三角形单元，其等价节点力等于将均布面力合力之半三角形单元，其等价节点力等于将均布面力合力之半简单地简化到简单地简化到i、j节点上，方向与分布力方向相同。节点上，方
40、向与分布力方向相同。m节点上为零。节点上为零。(1-48）ijmxyqsxFs1Fs3ijmxyqsyFs2Fs4（3）线性分布面力）线性分布面力ijm图图1-11xys 表面力集度在表面力集度在i点为点为qsx qsyT，而在而在j点为点为0。设坐标轴。设坐标轴s的原点取在的原点取在j点，沿点，沿ji为正向，为正向，。ij边上任一点的面力集度边上任一点的面力集度 qs sqsiqsijm图图1-12xysl在在ij边上有：边上有：将将 qs 和上式代入式和上式代入式(1-46），有），有由形函数的性质由形函数的性质3：(1-49）式式(1-49）表明：）表明：ij边受线性分布面力：边受线性分
41、布面力：i点为点为qsx,qsyT，j点为点为0时，其等价节点力可将总载荷的时，其等价节点力可将总载荷的2/3分配给分配给i点，点，1/3分分配给配给j点，点，m点为零得出。点为零得出。xyijmqsiqs体积力和表面力向节点的移置体积力和表面力向节点的移置符合静力等效原理的前提条件符合静力等效原理的前提条件是：线性位移模式。是：线性位移模式。5.7 5.7 系统分析系统分析5.7.1 坐标系坐标系研究各离散单元集合成整体结构，集合整体结构的研究各离散单元集合成整体结构，集合整体结构的平衡和变形协调，建立整体结构平衡方程。平衡和变形协调，建立整体结构平衡方程。单元分析时采用的坐标系成为局部坐标
42、或单元坐单元分析时采用的坐标系成为局部坐标或单元坐标（单元刚度矩阵的通用性）。而结构系统分析时，标（单元刚度矩阵的通用性）。而结构系统分析时，必须在统一的坐标系内进行（各力学量才能叠加），必须在统一的坐标系内进行（各力学量才能叠加），称为称为“结构坐标结构坐标”或或“整体坐标整体坐标”，如图，如图1-13所示。所示。单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：表示为：整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：表示为：XYXYPP图（图（1-13）(a)平面桁架平面桁架(杆件单元杆件单元)(
43、b)悬臂深梁悬臂深梁 (平面三角形单元平面三角形单元)xyxyxyxy如何从单元坐标转化为结构坐标将在第如何从单元坐标转化为结构坐标将在第4章中讨论。章中讨论。5.7.2 整体刚度矩阵假设整体结构被划分为假设整体结构被划分为ne个单元和个单元和n个节点，在个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有：整体坐标系下，对于每个单元均有：将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将k、F体积膨胀，分别扩大为体积膨胀，分别扩大为n1n1、n11和和n11的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号
44、对应位置的的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的元素不变，而其它元素均为零。元素不变，而其它元素均为零。组装方法：组装方法：建立一个体积为建立一个体积为n1n1的方阵，按单的方阵，按单元序号依次把结构坐标单元刚度矩阵的元素放入该元序号依次把结构坐标单元刚度矩阵的元素放入该方阵中。方阵中。放入方法：放入方法：（1）按单元节点编码）按单元节点编码对号入座对号入座；（2）同位置元素累加同位置元素累加。式中：式中：K为整体刚度矩阵，为整体刚度矩阵，为整体节点位移为整体节点位移列阵；列阵；P为整体等价节点荷载列阵。如下：为整体等价节点荷载列阵。如下：（1-50）ijmijm例：平面三角单元例：平面
45、三角单元双行双列双行双列5.7.3 结构刚度矩阵特性结构刚度矩阵特性1、结构刚度矩阵元素的力学意义、结构刚度矩阵元素的力学意义 把方程把方程(1-50）写开，）写开，=1=0=0=0=0=0(1-51）2、结构刚度矩阵是对称矩阵、结构刚度矩阵是对称矩阵 已已知知单单元元刚刚度度矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵（5.7节节），用用单单元刚度矩阵组集元刚度矩阵组集结构刚度矩阵的结构刚度矩阵的过程又没有破坏过程又没有破坏其对称性，结构其对称性，结构刚度矩阵必然也刚度矩阵必然也是对称的。当然，是对称的。当然，对称性也可以通对称性也可以通过虚功原理得到证明。过虚功原理得到证明。结构刚度矩阵中的任一元素结构刚
46、度矩阵中的任一元素kij是是 j为单位位移（为单位位移（j=1），其它位移为零时的，其它位移为零时的Pi。3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值 由性质由性质(1)可知，任一主对角线上元素可知，任一主对角线上元素kii是使节点是使节点位移位移 i为一单位位移，其它节点位移为零时必须在第为一单位位移，其它节点位移为零时必须在第i号位移方向施加的力号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移方向。它的方向自然应与位移方向相同，因而是正值。相同，因而是正值。4、结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵、结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵 稀疏矩阵指：存在大量零元素。非零元素稀疏稀疏
47、矩阵指：存在大量零元素。非零元素稀疏排列。排列。矩阵的每一列都有很多零元素。考察矩阵中第矩阵的每一列都有很多零元素。考察矩阵中第j列。列。再分析图（再分析图（1-14）。设节点）。设节点b发生单位位移发生单位位移 j=1，其它，其它位移为零时，位移为零时，j只能在与点节只能在与点节b有直接联系的有直接联系的 q、r节点引起节点力，不能节点引起节点力，不能在其它节点引起节点在其它节点引起节点力。所以式（力。所以式（1-52）中，只有和中，只有和q、p、r、b节点位移的相关元素节点位移的相关元素才不为零，其余的元素才不为零，其余的元素都是零元素。都是零元素。任一元素任一元素kij是是 j=1（其它
48、（其它=0）引起的）引起的Pi（i=1、2）（1-52）j=1t图（图（1-14）pqrscb b 其它各列的情况也是类似的。其它各列的情况也是类似的。结构的节点总数通常都比直接环绕于任何一个节结构的节点总数通常都比直接环绕于任何一个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大一部点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵 从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力处于静力平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移平衡状态的无约束单元可以发生任
49、意的刚体位移。与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结构的结构刚度矩阵构的结构刚度矩阵K也是奇异矩阵，即也是奇异矩阵，即K的行列的行列式为零。式为零。5.7.6 引入支承约束的结构节点平衡方程引入支承约束的结构节点平衡方程 6、结构刚度矩阵是常量矩阵、结构刚度矩阵是常量矩阵 结构刚度矩阵是常量矩阵。结构的节点力和节点结构刚度矩阵是常量矩阵。结构的节点力和节点位移成线性关系都是基于弹性理论的结果。位移成线性关系都是基于弹性理论的结果。（1-53）用平衡方程（用平衡方程（1-53）是解不出结构的节点位移）是解不出结构的节点位移的，因为结构刚度矩阵是奇
50、异矩阵。因此，必须的，因为结构刚度矩阵是奇异矩阵。因此，必须引入约束，排除任何刚体位移，使结构为几何不变体引入约束，排除任何刚体位移，使结构为几何不变体系。系。方程（方程（1-53）中的刚度矩阵）中的刚度矩阵K和节点荷载向量列阵和节点荷载向量列阵 P 可分割为约束和自由两部分：可分割为约束和自由两部分：（1-54）式中，式中，Pr 是支承反力，约束位移是支承反力，约束位移自由自由约束约束(1-55）(1-56）展开（展开（154），有：），有：Kff引入约束后的结构刚度矩阵。它通对引入约束后的结构刚度矩阵。它通对K引入约束后获得，引入约束后获得，具体方法具体方法:从无约束的结构刚度从无约束的结