第 2 章交换理论基础.ppt

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1、第第 2 章章 交换理论基础交换理论基础 教学大纲要求：教学大纲要求：1.基本要求基本要求（1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。（2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定 义、计算。义、计算。（3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。（4）掌握等待制交换系统的基本理论。）掌握等待制交换系统的基本理论。2.重点、难点重点、难点 重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待重点：生灭过程在交换理

2、论中的应用，呼损与利用率，等待 制交换系统的基本理论。制交换系统的基本理论。难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者 之间的关系。之间的关系。3.说明说明 交交换换理理论论基基础础部部分分概概念念和和公公式式较较多多，力力求求理理解解公公式式推推导导过过程程，掌握重要结论。掌握重要结论。1关于关于“交换理论交换理论”交交换换理理论论是是随随着着电电话话交交换换技技术术的的应应用用和和发发展展而而产产生生的的一一门门学学科科。它它的的任任务务是是研研究究电电话话负负载载、电电话话交交换换系系统统结结构构和和服服务务质质量量之之间间的

3、数量关系的数量关系,提供最优系统设计理论和方法提供最优系统设计理论和方法。交交换换理理论论的的研研究究对对象象不不仅仅限限于于电电话话交交换换系系统统，其其原原理理和和方方法法还还应应用用于于其其他他各各类类信信息息交换系统。交换系统。2 通通信信网网络络与与交交换换机机是是典典型型的的服服务务系系统统。它它们们利利用用所所拥拥有有的的资资源源（信信道道带带宽宽资资源源、计计算算资资源源、存存储储资资源源等等）或或设设备备为为用用户户提提供供服服务务，并并满满足足特特定定的的服服务务质质量量要要求求。因因为为用用户户的的服服务务需需求求是是随随机机发发生生的的，每每次次服服务务占占用用资资源源

4、的的时时间间也也是是随随机机的的，所所以以这这是是一一种种随随机机服服务务系统系统，需要借助于，需要借助于概率论概率论及及随机过程随机过程的理论。的理论。交换理论研究方法交换理论研究方法交换技术交换技术交换理论交换理论概率论与随机过程概率论与随机过程 3 对对于于电电路路交交换换系系统统而而言言，它它们们的的服服务务对对象象是是用用户户的的呼呼叫叫。根根据据其其交交换换机机制制，在在电电路路连连接接建建立立以以后后交交换换时时延延可可以以忽忽略略不不计计。但但呼呼叫叫到到达达时时刻刻和和持持续续时时间间的的随随机机性性导导致致交交换换服服务务设设备备忙忙闲闲状状态态的的不不确确定定性性，当当服

5、服务务设设备备处处于于全全忙忙状状态态时时，新新到到达达的的呼呼叫叫就就不不能能得得到到服服务务。所所以以其其主主要的要的QoS指标是呼叫的损失率，简称指标是呼叫的损失率，简称呼损呼损率。率。对对于于分分组组交交换换系系统统而而言言，它它们们的的服服务务对对象象是是分分组组，它它的的交交换换机机制制是是存存储储转转发发。所所以以分分组组交交换换系系统统的的主主要要QoS指指标标是是分分组组的的转转发发时时延延和和丢失率丢失率。4交换理论研究方法交换理论研究方法(续续)2.1 概率论与随机过程概率论与随机过程 二二项项分分布布：交交换换系系统统中中的的各各种种服服务务设设备备，如如各各级级交交换

6、换单单元元的的输输入入输输出出链链路路、交交换换机机的的中中继继线线等等，这这些些设设备备的占用情况往往可以用二项分布来分析。的占用情况往往可以用二项分布来分析。泊泊松松分分布布：在在实实际际问问题题中中，有有许许多多随随机机变变量量服服从从泊泊松松分分布布。例例如如，一一段段时时间间内内电电话话局局收收到到的的呼呼叫叫次次数数，某某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。概概率率论论与与随随机机过过程程是是研研究究随随机机现现象象的的数数学学工工具具，内内容容十十分分丰丰富富，本本节节主主要要介介绍绍与与交交换换理理论论密密切切相相关关的的内容，包

7、括：内容，包括：5指指数数分分布布：在在交交换换理理论论中中，有有两两种种很很重重要要的的随随机机变变量量服服从从指指数数分分布布，这这就就是是两两个个相相邻邻呼呼叫叫的的间间隔隔时间和电话呼叫的占用时长。时间和电话呼叫的占用时长。随随机机过过程程：随随机机过过程程理理论论的的内内容容极极为为广广泛泛，与与交交换换理理论论密密切切相相关关的的是是马马尔尔可可夫夫过过程程，尤尤其其是是马马尔尔可可夫夫过过程程的的特特殊殊情情况况，即即泊泊松松过过程程和和增增消消过过程程（生灭过程生灭过程）。61.二项分布二项分布 把把一一个个随随机机试试验验重重复复地地进进行行n次次，如如果果试试验验的的结结果

8、果互互不不影影响响，则则称称这这样样的的试试验验为为n重重独独立立试试验验。如如果果在在n重重独独立立试试验验中中，每每次次试试验验只只有有两两个个可可能能的的结结果果：事事件件A发发生生或或事事件件A（A的的对对立立事事件件）发发生生，则则称称这这样样的的试试验验为为n重重贝贝努努里里Bernoulli试试验验，相相应应的的数数学学模模型型叫叫贝贝努努里里试试验验概概型型。在在贝贝努努里里概概型型中中，我我们们关关心心的的是是n次次试试验验中中事事件件A正正好好发发生生k次次的的概概率率。可可以以证证明明，n次次独独立重复试验中事件立重复试验中事件A正好发生正好发生k次的概率为次的概率为:2

9、.1.1 概率论基础概率论基础 7式中式中()nkqpCkPknkknnLL,2,1,0=-pq-=1)!(!knknCkn-=定定义义 设设随随机机变变量量X可可能能的的取取值值为为k=0,1,2n，其其概率函数为概率函数为:这这种种类类型型的的分分布布之之所所以以称称为为二二项项(Binomial)分分布布，是是因因为为概概率率计计算算式式的的右右边边恰恰好好是是牛牛顿顿二二项项式式(q+px)n 的展开式中的展开式中 x k 项的系数。项的系数。8二项分布二项分布 这这里里，q=1-p，则则称称X服服从从参参数数为为(n,p)的的二二项项分分布布，记为记为:XB(n,p)。nkqpCkP

10、kXPknkknn,2,1,0)()(LL=-例例:设设某某交交换换机机中中有有5个个服服务务器器，每每个个服服务务器器的的占占用用是是完完全全独独立立的的，每每个个服服务务器器被被占占用用的的概概率率为为0.4。要要求求计算计算5个服务器有个服务器有k个被占用的概率。个被占用的概率。解解：首首先先分分析析服服务务器器的的占占用用问问题题能能否否归归结结为为贝贝努努里里试试验验概概型型。我我们们可可以以把把检检验验一一个个服服务务器器的的忙忙闲闲状状态态看看成成一一次次试试验验，检检验验5个个服服务务器器就就是是5次次试试验验，且且试试验验是是独独立立的的。因因此此，服服务务器器的的占占用用情

11、情况况满满足足用用贝贝努努里里概概型型的的假设条件，相应的占用概率可以用二项分布计算。假设条件，相应的占用概率可以用二项分布计算。根根据据题题意意，已已知知：n=5，k=0,1,2,3,4,5，p=0.4，q=0.6。代入公式可求得相应结果（参考教材）。代入公式可求得相应结果（参考教材）。9二项分布举例二项分布举例 =0102.050768.042304.033456.022592.01078.0)(0kXPk2.泊松分布泊松分布 泊松（泊松（Poisson）分布可由二项分布取极限得到。）分布可由二项分布取极限得到。又又设设np=0是是常常数数，对对于于n=1,2均均成成立立，则则对对任任一一

12、个非负整数个非负整数 k 有有:上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足 10泊泊松松定定理理 设设随随机机变变量量Xn(n=1,2,)服服从从二二项项分分布布，即即nkppCkXPknkknn,1,0,)1()(LL=-=-!)1(limkeppCkknkknl ll l-n=-1!00=-=-=-l ll ll ll ll ll leekekekkkk定定 义义 设设 随随 机机 变变 量量 X 可可 能能 的的 取取 值值 为为 k=0,1,2,，其概率函数为，其概率函数为:其其中中0为为常常数数，则则称称X服服从从参参数数为为的的泊泊松松分分布布

13、，记记为为XP()。11泊松分布泊松分布 泊泊松松分分布布只只有有一一个个参参数数，其其数数学学期期望望，E(X)=，方差方差 D(X)=2=。由由泊泊松松定定理理知知，当当n很很大大而而p很很小小且且np=0是是常常数数时时，二二项项分分布布B(n,p)的的概概率率函函数数近近似似等等于于泊泊松松分分布布P()的的概概率函数，即有：率函数，即有：!keqpCkknkknl ll l-LL,2,1,0!)(=-kkekXPkl ll l 例例如如，一一段段时时间间内内电电话话局局收收到到的的呼呼叫叫次次数数，某某路路口口通通过过的的车车辆辆数数等等，都都可可用用泊泊松松分分布布来来 描描述述。

14、作作为为例例子子，考考虑虑在在0,t时时间间段段内内到到达达的的呼呼叫叫次次数数N这一随机变量，它服从下式所示的泊松分布：这一随机变量，它服从下式所示的泊松分布：这这里里，数数学学期期望望E(N)=t是是0,t时时间间内内到到达达的的平平均均呼呼叫叫数数，而而就就是是单单位位时时间间内内到到达达的的平平均均呼呼叫数叫数，称为，称为到达率到达率或或呼叫强度呼叫强度。12LL,2,1,0!)()(=-kektkNPtkl ll l泊松分布泊松分布 例例 某某电电话话局局的的统统计计资资料料表表明明，该该局局平平均均每每分分钟钟到到达达12个个呼呼叫叫。试试按按泊泊松松分分布布计计算算，在在一一分分

15、钟钟内内到达到达k个呼叫的概率（个呼叫的概率（k=0,1,2.）。）。解解 根根据据题题意意有有t=12，根根据据泊泊松松分分布布公公式式，一一分钟内到达分钟内到达k个呼叫的概率为：个呼叫的概率为：计计算算结结果果示示于于右右图图。泊泊松松分分布布由由参参数数决决定定，其其曲曲线线是是非非对对称称的的，随随着着增增大大，非非对对称称性性越越不不明明显显，但概率峰值下降。但概率峰值下降。13泊松分布举例泊松分布举例)2,1,0(!12)(12LL=-kekkNPk24k681012141618200.020.040.060.080.100.120P(k)3.指数分布指数分布 定义定义 设随机变量

16、设随机变量 X 的概率密度函数为：的概率密度函数为：则则称称随随机机变变量量X服服从从参参数数为为的的指指数数分分布布，记记为为Xe（），其中），其中为常数。为常数。14000)(=-xxexfxl ll l 我们很容易求得指数分布的分布函数为：我们很容易求得指数分布的分布函数为：0010)(-=-xxexFxl l 指指数数分分布布是是一一种种连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率分分布布，在在交交换换理理论论中中，有有两两种种很很重重要要的的随随机机变变量量服服从从指指数数分布：分布：1）两个相邻呼叫的间隔时间；）两个相邻呼叫的间隔时间；2）电话呼叫的占用时长。）电话呼叫的占用时长。我我

17、们们可可以以证证明明其其服服从从指指数数分分布布，前前面面已已经经指指出出，在在时时间间 t 内内发发生生的的呼呼叫叫数数服服从从泊泊松松分分布布，由由其其概概率率函函数数公公式式容容易易得得到到在在时时间间 t 内内没没有有发发生生呼呼叫叫的的概概率率为：为：关于两个相邻呼叫的间隔时间关于两个相邻呼叫的间隔时间 15指数分布指数分布 tteetNPl ll ll l-=0!0)()0(在在时时间间 t 内内没没有有发发生生呼呼叫叫，也也就就是是相相邻邻呼呼叫叫的的间间隔隔时时间间大大于于 t，如如果果相相邻邻呼呼叫叫的的间间隔隔时时间间用用随随机机变变量量X表示，则对于任意表示，则对于任意

18、t 0，X的分布函数为：的分布函数为：显然，当显然，当 t 0 时，时，F(t)=P(Xt)=0，从而，从而上式就是指数分布的分布函数，由此得证。上式就是指数分布的分布函数，由此得证。16指数分布指数分布 teNPtXPtXPtFl l-=-=-=1)0(1)(1)()(0010)(-=-ttetFtl l重重要要结结论论：在在呼呼叫叫次次数数服服从从泊泊松松分分布布的的情情况况下下，两两个个相相邻邻呼呼叫叫的的间间隔隔时时间间服服从从指指数数分分布布。参参数数为为单单位位时时间间内内平平均均发发生生的的呼呼叫叫数数，又又称称为为呼呼叫叫强强度度。知知道道了了呼呼叫叫强强度度，就就完完全全掌掌

19、握握了了呼呼叫间隔时间的概率分布。叫间隔时间的概率分布。17指数分布指数分布 关于电话呼叫的占用时长关于电话呼叫的占用时长 大大量量统统计计资资料料表表明明其其近近似似服服从从指指数数分分布布，令令S表表示示呼呼叫叫的的平平均均通通话话时时长长，令令表表示示单单位位时时间间内内结结束束通通话话的的平平均均呼呼叫叫数数，又又称称为为呼呼叫叫结结束束强强度度，则则=1/S。描描述述通通话话时时长长的的概概率率密密度度函函数数和和分布函数为：分布函数为：18指数分布指数分布 000)(=-ttetftm mm m0010)(/=-tteStfSt0010)(-=-ttetFtm m0010)(/-=

20、-ttetFSt例例 设设呼呼叫叫的的平平均均通通话话时时长长为为3分分钟钟，(1)试试计计算算通通话话时时长长大大于于3分分钟钟的的概概率率；(2)如如果果呼呼叫叫已已经经通通话话3分分钟钟，试试计算在此条件下呼叫继续通话大于计算在此条件下呼叫继续通话大于3分钟的概率。分钟的概率。解解 (1)已已知知S=3分分钟钟，用用随随机机变变量量X表表示示通通话话时时长长，令令A表表示示事事件件“X3”，则则 P(A)为为通通话话时时长长大大于于3分分钟钟的的概率概率(2)令令B表示事件表示事件“X6”。由题意知，要求。由题意知，要求P(B/A)该该例例揭揭示示了了指指数数分分布布的的一一个个特特性性

21、，在在通通话话时时长长服服从从指指数数分分布布的的条条件件下下，呼呼叫叫还还将将继继续续通通话话多多长长时时间间，与与它它已已经经通通话话多多长时间无关。我们把这个特性称为指数分布的长时间无关。我们把这个特性称为指数分布的“无记忆性无记忆性”。19指数分布举例指数分布举例 eeFXPXPAP/1)3(1)3(1)3()(3/3=-=-=-eeeAPBPAPABPABP1)()()()()/(3/33/6=-2.1.2 随机过程及应用随机过程及应用 交交换换系系统统是是典典型型的的随随机机服服务务系系统统，用用户户要要求求通通信信的的业业务务量量和和服服务务设设备备的的状状态态都都是是随随时时间

22、间变变化化的的。研研究究这这样样的的随随机机现现象象，必须引入一个依赖于时间参变量必须引入一个依赖于时间参变量 t 的随机变量。的随机变量。定定义义 我我们们称称依依赖赖于于参参变变量量 t 的的随随机机变变量量集集合合X(t)为为随随机机过过程程，其其中中t属属于于一一个个固固定定的的实实数数集集 T，记记为为X(t),tT，简写为，简写为X(t)，参变量，参变量 t 一般代表时间。一般代表时间。随随机机过过程程在在某某一一固固定定时时刻刻的的取取值值是是一一个个随随机机变变量量。X(t)的的取取值值又又称称为为过过程程的的状状态态。根根据据状状态态与与时时间间的的取取值值，随随机机过过程程

23、可可分分为为四四类类：（1）状状态态离离散散、时时间间离离散散；（2）状状态态离离散散、时时间间连连续续；（3）状状态态连连续续、时时间间离离散散；（4）状状态态连连续续、时时间间连连续续。与与交交换换理理论论有有密密切切联联系系的的主主要要是是状状态态离离散散的的马马尔尔可可夫夫过过程程，包包括泊松过程、生灭过程等。括泊松过程、生灭过程等。20 为为了了描描述述随随机机过过程程的的统统计计特特性性，自自然然要要知知道道X(t)对对于于每每个个tT的的分分布布函函数数或或概概率率函函数数。对对于于状状态态离离散散的的随随机机过程，用如下的过程，用如下的 n 维概率分布簇来描述。维概率分布簇来描

24、述。定定义义 设设X(t)，tT是是一一个个状状态态离离散散的的随随机机过过程程。如如果果对对于于任任意意的的一一组组参参变变量量tmT(m=0,1,2,n)，其其中中t0t1tn，以及任何整数以及任何整数i,j，等式，等式成成立立，则则称称X(t)，tT为为一一个个马马尔尔可可夫夫过过程程。这这里里的条件概率称为（状态）的条件概率称为（状态）转移概率转移概率。21LLLL,2,1)(,)(,)(2211=nxtXxtXxtXPnnn)(/)()(,)(,)(/)(112200itXjtXPitXitXitXjtXPnnnnnn=-LL马尔可夫过程马尔可夫过程 如如果果把把tn-1时时刻刻指指

25、定定为为“现现在在”，tn时时刻刻就就是是“将将来来”。马马尔尔可可夫夫过过程程的的定定义义告告诉诉我我们们，系系统统在在将将来来的的状状态态只只决决定定于于现现在在的的状状态态，而而与与过过去去无无关关。这这就就是是所所谓谓的的马马尔尔可可夫夫过过程程的的“无无后后效效性性”。马马尔尔可可夫夫过过程程又又分分为为 齐次马尔可夫过程和非齐次马尔可夫过程。齐次马尔可夫过程和非齐次马尔可夫过程。定定义义 设设 X(t),tT 为为一一个个马马尔尔可可夫夫过过程程，如如果果对对于于任任何何 t1T,t2T (t1 t2)，转转 移移 概概 率率P X(t2)=j/X(t1)=i 只只与与差差值值 t

26、2-t1 有有关关，那那么么称称X(t),tT是是一一个个齐次马尔可夫过程齐次马尔可夫过程。22齐次马尔可夫过程齐次马尔可夫过程1.泊松过程泊松过程(Poisson Process)前前面面已已经经讨讨论论过过随随机机变变量量的的泊泊松松分分布布，它它可可以以由由二二项项分分布布的的概概率率函函数数取取极极限限得得到到。这这里里，从从随随机机过过程程的的角角度度，以以电电话话呼呼叫叫流流为为例例对对这这种种随随机机现现象象做做进进一一步步的的研研究究，同同时时给给出出电电话话呼呼叫叫流流服服从从泊泊松松分分布布的的条条件件，求得一定时间内所发生的呼叫数的概率分布。求得一定时间内所发生的呼叫数的

27、概率分布。设设X(t)为为在在区区间间 0,t内内观观察察到到的的呼呼叫叫次次数数，这这里里0t。于于是是有有一一个个随随机机过过程程 X(t),0t ，其其中中每每个个X(t)都都只只能能取取非非负负整整数数值值i=0,1,2,。又又对对于于任任何何t1和和t2(t1 0(i0)，i 0(i0)，0=0，则则称称X(t)为为生生灭灭过程或增消过程。过程或增消过程。29生灭过程生灭过程 -D D=D D+D D+-=D D+D D+=D D+D D=D D+2,)(,)()(11,)(1,)()(/)(ijtOijtOtijtOtijtOtpitXjttXPiiiiijm ml lm ml l

28、 在在t0的的情情况况下下，O(t)可可以以忽忽略略，系系统统状状态态的的转转移只有移只有三三种可能：种可能：（1）在在时时刻刻t系系统统处处于于状状态态k，在在时时间间t内内，系系统统由由状状态态k变变化化到到状状态态 k+1(“增增加加”一一个个呼呼叫叫)，其其转转移移概概率率为为pk,k+1=kt，其其中中k为为系系统统处处于于状状态态k时时的的呼呼叫叫发发生生强强度度，即即单位时间内发生的平均呼叫数；单位时间内发生的平均呼叫数；（2）在在时时刻刻t系系统统处处于于状状态态k，在在时时间间t内内，系系统统由由状状态态k变变化化到到状状态态k-1(“消消失失”一一个个呼呼叫叫)，其其转转移

29、移概概率率为为pk,k-1=kt，其其中中k为为系系统统处处于于状状态态k时时的的呼呼叫叫结结束束强强度度，即即单位时间内结束的平均呼叫数；单位时间内结束的平均呼叫数；（3）在在时时刻刻t系系统统处处于于状状态态k，在在时时间间t内内，既既没没有有呼呼叫叫发发生生，也也没没有有呼呼叫叫离离去去，系系统统仍仍处处于于状状态态k，其其转转移移概概率率为为pk,k=1-kt-kt。30生灭过程生灭过程 根根据据上上面面的的讨讨论论，可可得得到到下下图图所所示示的的生生灭灭过过程程的的状状态态转转移移关关系系。图图中中示示出出所所有有可可能能出出现现的的状状态及状态之间的转移概率。态及状态之间的转移概

30、率。31生灭过程生灭过程 计算计算 t 时刻系统处于状态时刻系统处于状态k的概率的概率Pk(t)假假设设系系统统在在时时刻刻 t+t 处处于于状状态态k，它它必必然然是是由由时时刻刻 t 的的三三种种可可能能状状态态之之一一转转移移而而来来，下下面面作作为为三三个事件分别讨论：个事件分别讨论：（1）在在时时刻刻 t 系系统统处处于于状状态态 k+1，其其概概率率可可表表示示为为Pk+1(t)，经经过过t时时间间，系系统统状状态态由由k+1转转移移到到k，也也就就是是有有一一个个呼呼叫叫离离开开了了系系统统，根根据据概概率率乘乘法法定定理理可以求出发生上述事件的概率为：可以求出发生上述事件的概率

31、为：32生灭过程生灭过程()(11tOttPkkD D+D D+m m（2）在在时时刻刻 t 系系统统处处于于状状态态 k-1，其其概概率率可可表表示示为为Pk-1(t)，经经过过t时时间间，系系统统状状态态由由k-1转转移移到到k，也也就就是是发发生生了了一一个个新新的的呼呼叫叫，根根据据概概率率乘乘法法定定理理可可以以求出发生上述事件的概率为：求出发生上述事件的概率为：（3）在在时时刻刻t系系统统处处于于状状态态k，其其概概率率可可表表示示为为Pk(t)，经经过过t时时间间，系系统统内内既既没没有有发发生生新新的的呼呼叫叫，也也没没有有呼呼叫叫结结束束离离去去，也也就就是是系系统统内内没没

32、有有发发生生状状态态变变化化，根根据据概概率率乘法定理可以求出发生上述事件的概率为：乘法定理可以求出发生上述事件的概率为：33生灭过程生灭过程()(11tOttPkkD D+D D-l l)()1()(tOtttPkkkD D+D D-D D-m ml l 上上述述三三个个事事件件为为互互不不相相容容事事件件，任任一一事事件件的的发发生生都都会会导导致致系系统统在在 t+t 时时刻刻处处于于状状态态 k，应应用用概概率率加加法法定定理理，可可以以得得到到描描述述系系统统状状态态概概率率变变化化的的方方程组如下：程组如下：34生灭过程生灭过程1)()1()()()()()()()1()()(11

33、1111000 D D+D D-D D-+D D+D D=D D+D D+D D+D D-=D D+-+ktOtttPttPttPttPtOttPttPttPkkkkkkkkm ml ll lm mm ml l 对方程组移项整理，两端同除以对方程组移项整理，两端同除以t，并取，并取t 0时的极限，可以得到时的极限，可以得到（微分差分方程组）（微分差分方程组）35生灭过程生灭过程1)()()()()()()()()()()()(11110011000limlim+-+=D D-D D+-=D D-D D+-+ktPtPtPtPdtdttPttPtPtPtPdtdttPttPkkkkkkkkkk0

34、D Dt0D Dtm ml ll lm ml lm m 直直接接求求解解上上面面的的方方程程组组是是很很困困难难的的，下下面面给给出出系系统统的的“统统计计平平衡衡”概概念念，然然后后求求解解统统计计平平衡衡条条件件下下的的系统状态概率系统状态概率。一一个个随随机机过过程程，在在满满足足一一定定的的条条件件下下，不不管管系系统统的的初初始始状状态态如如何何，在在经经历历一一段段时时间间以以后后，系系统统将将进进入入统统计计平平衡衡状状态态。在在这这种种状状态态下下 Pk(t)不不再再随随时时间间变变化化。用用数数学学语语言言表表示示，就就是是当当 t 时时，概概率率Pk(t)趋趋向向一一个不再

35、依赖于时间参数个不再依赖于时间参数 t 的稳定值的稳定值 Pk。如果系统进入统计平衡状态，那么必有：如果系统进入统计平衡状态，那么必有：36生灭过程生灭过程0)(,)(,)(,)(1111+-tPdtdPtPPtPPtPkkkkkkk于是微分差分方程组变为下面的差分方程组：于是微分差分方程组变为下面的差分方程组：现现在在的的任任务务就就变变为为计计算算系系统统处处于于统统计计平平衡衡状状态下的概率态下的概率Pk(k=0,1,2,)。由差分方程组，通过递推不难得到由差分方程组，通过递推不难得到 37生灭过程生灭过程10)(011111100=+-+=-+-kPPPPPkkkkkkkm ml lm

36、 ml lm ml l0211100211012120101,PPPPPPPkkkm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml lm ml lLLLLLL-=由于由于 P0+P1+P2+Pk+=1，所以有，所以有 这样，我们得到生灭过程在统计平衡条件下，这样，我们得到生灭过程在统计平衡条件下，系统处于状态系统处于状态k 的概率的概率Pk的一般解为：的一般解为：可可见见，生生灭灭过过程程在在统统计计平平衡衡条条件件下下的的状状态态概概率率分分布布完完全全取取决决于于参参数数k和和 k。这这些些参参数数称称为为状状态态的的转转移移率率。需需要要强强调调指指出出，一一般般生生

37、灭灭过过程程的的转转移率是与状态有关的。移率是与状态有关的。38生灭过程生灭过程12111021101001-+=LLLLLLLLkkPm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml lLLLLLL,2,1,021110=-kPPkkkm mm mm ml ll ll l3.生灭过程应用举例生灭过程应用举例 例例1 在在甲甲地地和和乙乙地地之之间间有有一一条条通通信信线线路路。呼呼叫叫的的发发生生强强度度为为每每分分钟钟 0.3个个呼呼叫叫，呼呼叫叫的的结结束束强强度度为为每每分分钟钟 1/3 个个呼呼叫叫。呼呼叫叫遇遇线线路路忙忙时时便便等等待待(不不离离开开系系统统)

38、，试试计计算算此此线线路路空空闲闲的的概概率、忙的概率、有呼叫等待的概率。率、忙的概率、有呼叫等待的概率。解解：设系统的工作状态满足生灭过程的条件。：设系统的工作状态满足生灭过程的条件。已知已知k=0.3(呼叫呼叫/分分钟钟)，k=1/3(呼叫呼叫/分钟分钟)设设系系统统已已进进入入统计统计平衡状平衡状态态，由，由状态概率一般解状态概率一般解代入代入和和值值，线线路空路空闲闲的概率的概率P00.1 线线路忙的概率路忙的概率为为1-P00.9 有呼叫等待的概率有呼叫等待的概率为为1-P0-P10.81 39LLLL,3,2,1)1()(1)(1120=-=-=+=-kPPkkm ml lm ml

39、 lm ml lm ml lm ml l例例2 在在甲甲地地和和乙乙地地之之间间有有一一条条通通信信线线路路。呼呼叫叫的的发发生生强强度度为为每每分分钟钟 0.3 个个呼呼叫叫，呼呼叫叫的的结结束束强强度度为为每每分分钟钟 1/3 个个呼呼叫叫。呼呼叫叫遇遇线线路路忙忙时时不不等等待待，而而是是立立即即消消失失。求求此此系系统统在在统统计计平平衡衡状状态态下下的的占占用用概概率率分分布。布。解解：根根据据题题意意，所所研研究究系系统统只只有有两两个个状状态态。我我们们可可以以用用“0”状状态态表表示示线线路路空空闲闲，“1”状状态态表表示示线线路路忙，系统内不可能有一个以上的呼叫。忙，系统内不

40、可能有一个以上的呼叫。已知已知0=0.3，1=1/3，由状态概率一般解得：由状态概率一般解得：40生灭过程应用举例生灭过程应用举例 5263.011100=+=-m ml lP4737.00101=PPm ml l例例3 设设有有无无穷穷多多条条线线路路可可以以利利用用，每每个个呼呼叫叫的的结结束束强强度度为为，呼呼叫叫的的发发生生强强度度为为常常数数k(k=0,1,2,)，求此系统在统计平衡状态下的占用概率分布求此系统在统计平衡状态下的占用概率分布Pk。解解：假假设设每每个个呼呼叫叫的的占占用用是是相相互互独独立立的的，在在系系统统内内有有k个个呼呼叫叫的的条条件件下下，呼呼叫叫的的结结束束

41、强强度度为为k，所所以以 k=，k=k。由状态概率一般解得：由状态概率一般解得：即线路的占用概率分布服从泊松分布。即线路的占用概率分布服从泊松分布。41生灭过程应用举例生灭过程应用举例 m ml lm ml lm ml lm ml lm ml l-=+=ekPk1320!1!31!211LLLLLLLLLL,2,1,0!)(021110=-kekPPkkkkm ml lm ml lm mm mm ml ll ll l()()()2.2 通信业务量通信业务量 通通信信业业务务量量是是衡衡量量交交换换系系统统在在一一定定时时间间内内提提供供的的服服务务数数量量的的指指标标，是是学学习习交交换换理理

42、论论首首先先必必须须掌掌握握的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。业业务务量量又又称称为为业业务务负负载载。在在一一个个交交换换系系统统中中，我我们们把把请请求求服服务务的的用用户户称称为为业业务务源源（负负载载源源），而而把把为为业业务务源源提提供供服服务务的的设设备备（如如接接续续网网络络中中的的内内部部链链路路、中中继继线线、信信令令处处理理器器等等）称称为为服服务务器器。一一个个系系统统应应配配备备的的服服务务器器数数量量与与业业务务源源对对服服务务数数量量和和服服务务质质量量的的需需求求有有关关。人人们们关关心心的的是是服服务务质质量

43、量、业业务务量和服务设备数量这三者之间的关系。量和服务设备数量这三者之间的关系。422.2.1 话务量的概念话务量的概念 电电话话通通信信的的业业务务源源，简简称称话话源源；电电话话通通信信的的业业务务量，通常称为量，通常称为话务量话务量。我我们们来来分分析析决决定定话话务务量量大大小小的的因因素素。首首先先，话话务务量量与与所所考考察察的的时时间间有有关关，显显然然考考察察时时间间越越长长，这这段段时时间间里里发发生生的的呼呼叫叫就就越越多多，因因而而话话务务量量就就越越大大。其其次次，影影响响话话务务量量大大小小的的是是呼呼叫叫强强度度，也也就就是是单单位位时时间间里里发发生生的的平平均均

44、呼呼叫叫数数，呼呼叫叫强强度度越越大大，话话务务量量就就越越大大。再再者者，每每个个呼呼叫叫占占用用设设备备的的时时长长也也是是影影响响话话务务量量大大小小的的一一个个因因素素。在在相相同同的的考考察察时时间间和和呼呼叫叫强强度度情情况况下下，每每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。43 如如果果用用Y表表示示话话务务量量，用用T表表示示计计算算话话务务量量的的时时间间范范围围，用用表表示示呼呼叫叫强强度度，用用S表表示示呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长，则话务量可表示为：长，则话务量可表示为：影影响响话话务务量量的的第第一一因因素素是是时时间间，话话务务

45、量量计计算算中中的的各各个个参参数数都都与与时时间间有有关关。Y的的单单位位取取决决于于S的的单单位位，当当S用用不不同同的的时时间间单单位位时时，同同一一话话务务量量，其其数数值值是是不不同同的的。如如果果S以以小小时时为为时时间间单单位位，则则话话务务量量的的单单位位叫叫作作“小小时时呼呼”，常常用用符符号号“TC”表表示示。如如果果S以以分分钟钟为为时时间间单单位位，则则话话务务量量的的单单位位叫叫作作“分分钟钟呼呼”。也也有有用用“百百秒秒”作作时时间间单单位位，这这时时话话务务量量的的单单位位叫叫作作“百秒呼百秒呼”，常用符号，常用符号“CCS”表示。表示。话务量的定义话务量的定义

46、44Y=T S=CS 对对于于大大量量随随机机发发生生的的呼呼叫叫，有有些些呼呼叫叫可可能能遇遇到到电电话话局局忙忙。对对于于这这类类呼呼叫叫，不不同同的的交交换换系系统统有有不不同同的的处处理理方方法法。一一种种系系统统是是让让遇遇忙忙呼呼叫叫等等待待，一一旦旦有有了了空空闲闲的的服服务务设设备备，呼呼叫叫就就继继续续进进行行下下去去，这这样样的的系系统统叫叫作作待待接接制制系系统统或或等等待待制制系系统统。另另一一种种系系统统，它它对对不不能能立立刻刻得得到到服服务务的的呼呼叫叫的的处处理理方方法法是是给给用用户户送送“忙忙音音”。用用户户听听到到忙忙音音后后，必必须须放放弃弃这这次次呼呼

47、叫叫，然然后后再再重重新新呼叫。这种系统叫做呼叫。这种系统叫做明显损失制系统明显损失制系统。对对于于等等待待制制系系统统来来说说，如如果果等等待待时时间间不不限限，那那么么流流入入系系统统的的话话务务量量都都能能被被处处理理，只只是是有有一一些些呼呼叫叫要要等等待待一一段段时时间间才才能能得得到到接接续续。对对于于明明显显损损失失制制系系统统来来说说，流流入入系系统统的的话话务务量量有有一一部部分分被被处处理理了了，另另外外一一部部分分则则被被“损失损失”掉了。掉了。等待制与明显损失制等待制与明显损失制 45 我我们们把把单单位位时时间间的的话话务务量量叫叫做做话话务务量量强强度度或或负负载载

48、强强度度。习习惯惯上上常常把把“强强度度”两两个个字字省省略略。这这样样，当当人人们们谈谈及及话话务务量量都都是是指指话话务务量量强强度度。当当所所谈谈及及的的话话务务量量不不是是单单位位时时间间内内的的话话务务量量时时，应应特特别别指指明明计计算算时时间间，如如T小小时时的话务量等。的话务量等。话务量强度话务量强度 46 一一般般地地说说，电电话话局局的的话话务务量量强强度度经经常常处处于于变变化化之之中中。话话务务量量强强度度的的这这种种变变化化叫叫做做话话务务量量的的波波动动性性，它它是是多多方方面面因因素素影影响响的的综综合合结结果果。用用概概率率论论的的语语言言说说，话话务务量量的的

49、波波动动是是一一个个随随机机过过程程。经经过过对对话话务务量量波波动动的的长长期期观观察察和和研研究究，发发现现话话务务量量的的波波动动存存在在着着周周期期性性。具具有有重重要要意意义义的的是是一一昼昼夜夜内内各各小小时时的的波波动动情情况况，为为了了在在一一天天中中的的任任何何时时候候都都能能给给用用户户提提供供一一定定的的服服务务质质量量，电电话话局局服服务务设设备备数数量量的的计计算算应应根根据据一一天天中中出出现现的的最最大大话话务务量量强强度度进进行行。我我们们把把一一天天中中出出现现最最大大平平均均话话务务量量强强度度的的60分分钟钟的的连连续续时时间间区区间间称称为为最最繁繁忙忙

50、小小时时，简简称称“忙时忙时”。话务量的特性话务量的特性 47 我我们们把把流流入入系系统统的的话话务务量量叫叫做做流流入入话话务务量量或或流流入入负负载载。完完成成了了接接续续的的那那部部分分话话务务量量叫叫做做完完成成话话务务量量或或完完成成负负载载。流流入入话话务务量量与与完完成成话话务务量量之之差差，就就是是损损失话务量或损失负载。失话务量或损失负载。流入话务量和完成话务量流入话务量和完成话务量 48定定义义 流流入入话话务务量量强强度度等等于于在在一一次次呼呼叫叫的的平平均均占占用用时时长内业务源发生的平均呼叫数。长内业务源发生的平均呼叫数。令令A表表示示流流入入话话务务量量强强度度