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1、第五章第五章 用差分法和变分法用差分法和变分法解平面问题解平面问题 在前几章我们学习了弹性力学平面问题的基本公式，以及在某特定边界条件下的解答。实际上，自弹性力学基本方程建立后，很多的数学家和力学家将这些方程在各种问题的边界条件下的求解作为重要的工作内容。但弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。另一方面在实际的工程中，边界条件一般都是十分复杂的。这使得用数值解法有着重要的实际意义。差分法和变分法是使用较久、比较经典的两种数值解法。第五章第五章 用差分法和变分法解平面问题用差分法和变分法解平面问题35-1 5-1 差分
2、公式的推导差分公式的推导l 差分法，就是把微分微分用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解常微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。4一、基本差分公式一、基本差分公式 我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，如图所示。网格的交点称为结点结点，网格的间距称为步长步长。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，例如在3-上，它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点处，函数f可展为泰勒级数如下：这是基本差分公式基本差分公式。以上（）（）是基本差分公式
3、，从而可导出其它的差分公式如下：二、导出其它差分公式其它差分公式 本节差分公式的推导是建立在f泰勒展开时略去三阶后得到的，即把函数f简化为二次函数，呈抛物线变化，因此本节的基本差分公式称为抛物线差分公式。l 差分公式()及()是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。5-2 应力函数的差分解应力函
4、数的差分解l一、一、应力函数表示的应力分量的差分表示法应力函数表示的应力分量的差分表示法 应力函数的二阶导数表示的应力分量为：l l 仍用第一节的网格，应用差分公式，结点0处的应力分量表达式为：如果在弹性体上织成如图所示的网格，应用差分公式就可以把任一结点处的应力分量表示成为：（b）通过以上差分公式，若已知各节点处的值，就可以求得各结点处的应力分量。二、应力函数表示的相容方程的差分方程二、应力函数表示的相容方程的差分方程将前节的公式将前节的公式 二、应力函数表示的相容方程的差分方程二、应力函数表示的相容方程的差分方程代入相容方程代入相容方程 即即得得 二、应力函数表示的相容方程的差分方程二、应
5、力函数表示的相容方程的差分方程化简后得应力函数表示的相容方程的差分方程：该方程相当于应力函数的双调和方程。观察方程的脚标我们发现，的脚标与结点的序号之间有很有意思的联系：的脚标与结点的相对位置紧密相连。为本点、为近点、为角点、为远点，上式可以这样记忆：20本点本点 8近点近点+2角点角点+远点远点=0 二、应力函数表示的相容方程的差分方程二、应力函数表示的相容方程的差分方程 对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。但是对于边界内一行（距边界为 h）的结点，差分方程中还将包含边界上各结点处的 值和边界外一行的虚结点的 值。因此必须将网格扩展到边界外，假想在边界外还有一行结点。先
6、算出边界上各结点的 ，再求靠近边界外面一行的各结点的 ，然后解出边界内各结点的联立差分方程。l应力边界条件：l具体的推导分析教材叙述的非常详细，同学们可以自习。三三、应用、应用 应力边界条件求出边界节点上的应力边界条件求出边界节点上的l在应用差分法中，内结点数与以内结点为本点所列出的差分方程数相等，而对列差分方程时要用到的边界结点和边界外一行的结点采用下列方法处理：l1、对边界结点，利用应力函数加上一个线性函数并不影响应力的特点，通过把函数加上 ，并调整系数 ，使对某个基点A有 ；对于边界上其它点B，利用下列公式求得：l 上面是积分形式（从定点到动点）的应力边界条件。其物理意义是：l 表示从A
7、到B边界上x向面力的主矢量l 表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号l 表示从A到B边界上面力对B点的力矩，在图示坐标系中以顺时针向为正。l2、对边外一行的虚结点，可用下列公式求解（如图第一节网格所示）：四四 、用应力函数的差分法求解问题的步骤、用应力函数的差分法求解问题的步骤（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，取：计算边界上各点的（2）求出边界外一行各虚结点处的 值。（3）对边界内的各结点建立差分方程，联立求解，从而求出各结点处的 值。（5）计算所需求的应力分量。（4）计算边界外一行各结点处的 值。5-3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例 l 如图，正方形的混凝土深梁，上面受均
8、布形下的铅直载荷q，由下角点处的反力维持平衡，试用应力函数的差分解求解应力分量。l l为了简便计算，l 设反力是集中力。l网格划分如图所示，间隔为1/6边长。（1）为为 了了 反反 映映 对对 称称 性性，取取 梁梁 底底 中中 点点 A作作 为为 基基 点点，取取 ，相关节点的需要计算的值如下表所示：，相关节点的需要计算的值如下表所示：结点AB CDEFGHIJKLM0_00_00000000l(2)将边界外一行各个虚结点处的将边界外一行各个虚结点处的 值（值（至至 ）l 在上下两边，在上下两边，得到，得到l在左边，在左边，得到，得到l 即即 l同理得：同理得：l（3）对边界内各点建立差分方
9、程：（注意对称性）l对于结点1：l将前面求得的结果带入，化简后得l 这样的方程我们可以列出15个，同时未知数为 共15个未知数。联立求得：（4）计算边界外一行各界点处的 值。l（5）计算应力l由前面讨论的公式，可以求得各点应力：对于M点 对于结点1：l同理得到：l中线MA变化曲线如图。l对比材料力学的结答：l可见，对于深梁，材料力学的解答是不能完全反映实际情况的。l从本道例题中，我们总结要注意以下几点：l 1、对称性。l 2、求解边界上各结点的 值，可以直接根据其物理意义得出。l 3、对于深梁受均布载荷的问题，无法得出精确的函数式解答。应用差分法可以求得其解，沿深梁的中线MA，的变化曲线。例题
10、例题1 用差分法计算图示中的用差分法计算图示中的A和和B的应力分量。的应力分量。l解：为反映对称性，取A为基点。令 l 边界点的应力函数值：l 边界点的导数值 由上式及 ，求出边界外一行虚结点的值：l对1点列差分方程：l 解得：l 应力分量为：例题例题2 用差分法计算如图所示基础梁的最大拉应力，用差分法计算如图所示基础梁的最大拉应力，并与材料力学的解答进行对比，采用并与材料力学的解答进行对比，采用2*4 的网格，各结的网格，各结点编号如图所示。点编号如图所示。解：由于对称，只需计算梁的一半，所以，只有两个独立的未知数 和 。l1.取梁底中点A 作为基点，设 l l利用边界结点的应力函数及其导数
11、公式，计算边界上所有各结点处的 值。结果见下表结果见下表 结点2.计算各虚结点的计算各虚结点的 值：值：l3.建立内结点的差分方程l将边界点及虚结点的 值代入，简化得：4.计算虚结点的值5.各结点处的应力分量，如GA 截面上三个结点的分别为：同理可算得FB 截面，EC 截面上的 以及各水平截面上的 ，各结点的剪应力也可求得。经比较基础梁内最大拉应力为 ,GA截面上 的分布见图所示。l6.分析：按材料力学方法计算，GA截面的弯矩以及 A，G点的正应力 分别为：l l 差分法计算出的最大拉应力、最大压应力分别比材料力学相应的解答小了43%与24%。但如果网格进一步细分，则将得到更精确的解答。差分法
12、小结差分法小结差分法的优点：差分法的优点：l 1 1、差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方、差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。法。我们总可以将微分方程化为差分方程并得出其数值解答。l2 2、差分法简便易行。、差分法简便易行。掌握了差分公式和解题步骤，就可以简便解答问题。同时，我们还可以借助计算机取较密集的网格对问题进行分析，可以得到足够精确的解答。如，对于矩形薄板的弯曲、稳定和振动等问题，可以用差分法很方便求解。l3 3、对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用、对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析。差分法进行分析。如，使
13、用结构力学方法计算出钢架结构的整体内力分布后，可以用差分法进一步分析钢架结点附近的局部应力状态。差分法小结差分法小结差分法的缺点是：差分法的缺点是：l 1 1、对于由曲线边界和斜边界等产生的不等距网格，虽然可以得出相应的不等距的差分公式，或改造成为等间距的网格进行分析，但比较麻烦并容易出错。l 2 2、差分法比较适用于解二维问题或平面问题，这时的网格较为直观，易于图示。l 3 3、差分法比较适用于等间距网格，对于应力等变化较为剧烈时，需采用二次网格进行计算。l 4 4、差分法是近似解法，凡是近似解，在进行求导运算时会降低精度。5-4 弹性体的形变势能和外力势能 弹性力学问题需要解一系列偏微分方
14、程组，并满足边界条件，这在数学上往往遇到困难。因此需要寻求近似的解法。变分法的近似解法是常用的一种方法。在数学上，变分问题是求泛函的极限问题。在弹性力学里，泛函就是弹性问题中的能量（功），变分法是求能量（功）的极值，在求极值时得到弹性问题的解，变分问题使我们比较方便地得到近似解。一、变分法（variational method）简介 以变分法和变分原理为基础的一种近似计算方法，是解决力学和其它领域问题的有效数学工具。变分法是研究泛函的极值问题。变分原理实际上是以变分形式表达的物理定律，即在所有满足一定约束条件的可能物质运动状态中，真实的运动状态使某物理量取极值或驻值。变分问题可化为等价的微分方
15、程问题。虽然物理问题可以有两种等价的提法，但在求数值近似解时，从求泛函的极值或驻值出发有时比从微分方程出发更为方便。因此，变分日益受到重视并成为计算力学的重要方法之一。变分法大约经历了古典变分法和有限元法两个阶段l瑞利（18421919）l英国物理学家。原名J.W.斯特拉特。1842 年 11月12日生于埃塞克斯的威特姆，1919 年6月30日卒于同地。20岁入剑桥大学三一学院学习，3年后以优异成绩毕业。毕业后第二年被选为三一学院研究员。他在理论和实验方面都有杰出才能，研究工作几乎遍及当时经典物理学的各个领域。他有不少著作，论文达400多篇。1873 年被选为英国皇家学会会员，18791884
16、年任卡文迪什实验室主任；1885 1896 年任皇家学会秘书，19051908 年任会长。1908 年起任剑桥大学校长。瑞利-里兹法通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，是英国的瑞利于1877年在声学理论一书中首先采用，后由瑞士的W.里兹于1908年作为一个有效方法提出。这一方法在许多力学、物理学问题中得到应用。瑞利-里兹法是最常见的古典变分法，此法的主要困难是在全域范围内选取满足全部约束条件的基函数。有限元法是古典变分法与分片插值法相结合的产物，可避免古典变分法寻求基函数的困难，而且不规则的割分法比有限差分法有更大的灵活性，适用范围极广。有限元法我们将会在以后的课程中专门介绍。弹性力学中
17、的变分法又称为能量法能量法。弹性力学中，研究的泛函就是弹性体的能量，如形变势能形变势能、外力势能外力势能等。变分法按照所取的基本未知函数，可以分为位移变分法位移变分法或应力变分法应力变分法。本章只介绍位移变分法。二、形变势能密度 单位体积中具有的形变势能（即应变能或内力势能）。如图所示，假定弹性体在受力作用的过程中始终保持平衡，因而没有动能的改变，且弹性体的非机械能也没有变化，这样应力所做的功完全转换为物体的形变势能，存储于体内。应力所做的功为 同样，弹性体只在两个互相垂直的方向x，y方向）受均匀的剪切力 ，相应的剪切应变为 ，形变能密度为 。根据能量守恒定律能量守恒定律，形变势能的多少与弹性
18、体受力的次序无关，完全决定于应力及形变的最终大小。（用反证法很容易得到结论）。假定六个应力分量和六个形变分量全部同时按同样的比例增加到最后的大小，这样可以简单的算出相应于每个应力分量的形变势能密度，叠加后得出弹性体的全部形变势能密度：平面问题中，弹性体的形变势能密度的表达式为，三、形变势能 平面问题中，弹性体的形变势能为l 将平面问题的物理方程 代入得，l求导，得 上式的物理意义是弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。将几何方程 代入可以得到位移分量表示的形变势能密度：l形变势能为：由 看出，形变势能是形变分量或位移分量的二次泛函。叠加原理不再适用，即 。
19、同时 。四、外力功与外力势能 外力功即外力（体力和面力）在实际位移上所做的功。若弹性体在平面域A中，所受的体力分量为 在边界上的面力分量为 ，则外力功为 l 取 （或 ）时 外力功和势能等于零，由于外力做功消耗了外力势能，因此，发生实际位移时，弹性体的外力势能是，l 一、位移变分方程 1、虚位移l 力学词典力学词典定义：在一定位置上、为约束所允许的、假想的无限小位移，记作 。它与实位移不同，实位移是指系统各质点在真实运动中受主动力作用经历一定时间的位移，记作 。在完整定常约束下，实位移是无数虚位移中的一个；在完整非定常约束下（约束方程为 ），实位移不是虚位移中的一个。虚位移与数学中变分的性质相
20、同，可用一个符号。在分析力学中，利用虚位移概念建立了虚位移原理；在动力学中，虚位移原理与达朗伯原理结合导出了动力学普遍方程（达朗伯拉格朗日原理）。5-5 位移变分方程 达朗伯原理：有约束的质点系得动力学问题的原理,表达式为 动力学普遍方程：任一瞬间，作用在具有理想约束的质点系上所有动力和惯性力，在瞬时任何虚位移上的原功之和等于零。表达式为：l 在本课中，设某单位厚度弹性体，在外力作用下处于平衡态，u、v为实际存在的位移分量，满足平衡方程及边界条件。假想这些位移分量发生了位移边界条件所允许的微小改变，这些微小的改变即为虚位虚位移移：。l 弹性体从实际位移状态进入邻近的虚位移状态，此时l l虽然微
21、分和变分的运算对象不同，但微分和变分都是微量，他们的运算方法是相同的。l 由于弹性体发生虚位移，引起的外力势能和形变势能的改变。外力功的变分和外力势能的变分为：2、虚应变l虚应变，由于位移的变分引起的应变的变分，l l形变势能的变分为，l （由于应力在变分以前已经发生，看为恒力，因此上式无 ）3、位移变分方程 在实际平衡状态发生位移的变分是，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。二、极小势能原理二、极小势能原理 极小势能原理极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应是总是能成为极值。可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。l由 l得
22、l 可以证明得，三、虚功方程l 虚功方程虚功方程：如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在虚应变上所做的虚功。l 实际上，位移变分方程、极小势能原理的表达式以及虚功方程三者本质是一样的。他们都是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时能量守恒定力的具体应用，只是表达方式有所不同。l 可以证明，位移变分方程（或极小势能原理或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，即，可以代替平衡方程和应力边界条件。显然所设梁的挠曲线方程 满足边界条件。由极小势能原理求系数a2和a3。形变势能为解：设梁的挠曲线为其边界条件为例题 悬臂梁在自由端受集中力P作用
23、，如图所示。试用极小势能原理求最大挠度。P Pxy外力势能为则总势能为应用极小势能原理则积分得由上述两方程解得故挠曲线为最大挠度值为 第六节 位移变分法 在第五节中，我们得到了位移变分方程位移变分方程,在实际平衡状态发生位移的变分是，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。本节中将介绍变分法中的一种：位移变分法。位移变分法。l 位移变分法位移变分法，就是首先取位移为基本未知函数；位移函数应预先满足上的约束（位移）边界条件；然后再另起满足位移变分方程。1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；2）位移分量表达式应预先满足位移边界条件；3）令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数。l 位移变
24、分法有许多方法，如瑞利里茨法，伽辽金法等。首先，我们从用瑞利里茨法解决梁的弯曲问题的回顾来开始讨论。例题例题 如图所示，一端固定、一端自由的压杆，长度为l,抗弯刚度为EI，临界载荷，试用瑞利里茨法求解。（1）假设挠度曲线为抛物线 则弯曲应变能为：形变势能 外力势能 总势能 由瑞利里茨法得 得：下面重点介绍一下瑞利里茨法。1、设定位移的试函数为 2、位移的试函数满足位移边界条件 边界 上，令 ，分别等于给定的约束位移值 ，即 令 ，分别等于零，即 这样，位移的试函数 满足了 上的位移边界条件。3、令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数。将上两式代入位移变分方程，得 归纳后得，由于 、是任意的和
25、独立的，因此，它们的系数为零，即 这是各个系数的一次方程，可求出各个系数。4、求位移分量：将所求系数带入 问题求解。例1：如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移解：设位移它们是满足位移边界（左边和下边）的边界条件的。在平面应力状态下可得xyq1q2bao即可得由即解得 这个问题的位移状态是非常简单的，而采用的位移表达式正好是该问题的解答解答。这在变分法中是很少遇到的，只有在所取的试函数正好与精确解答一直时才会出现。例2：如图所示，宽为2a而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为不计体力，试求薄板的位移和应力。解：取坐标轴如图所示。设位移分量为aabboxy可以满足位移边
26、界条件，即 此外，由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，所以位移的对称性也满足。本题不计体力，即 ，相应的线积分不存在。简化为 同时考虑位移的对称性，得 将位移分量表达式带入上式，再积分，带入 得到 的两个线性方程，从而得到系数 。最后得到位移分量的解答如下：例题3(课后5-11)铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，只受重力作用，设 ，试取位移分量的表达式为用瑞利-里茨法求解位移分量(取A1项及B1项)及应力分量。aaaaxy解：当只取A1项及B1项时：形变势能现计算 和 在用瑞利-里茨法时，要求由解之得所以例题4 单位厚度（）的深梁，两侧边固定，上下边受均布载荷q作用，如图所示，使用
27、位移变分法求解其位移。（取 ）解：分析弹性体形状和载荷方式，我们可以得到：深梁的位移对称于y轴，反对称于x轴。因此，位移分量u为x、y的奇函数，位移分量v为x、y的偶函数。假定位移试函数为 试函数满足两端的约束边界条件：同时满足对称性质。用瑞利里兹法求解：（1）假设只取u，v中一项，设定位移的试函数为（2）位移的试函数满足位移边界条件 （3）令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数。将u，v带入平面应力问题的形变势能公式：得到：积分得：代入位移变分方程 本题中 得到的求的方程为：将已知条件 代入，方程简化为：求出各个系数：（4）求位移分量：将所求系数带入u,v的表达式得：例题 5 如图所示的薄
28、板，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利里茨法的位移变分法求解，其中取a=b,。解：结合边界位移边界条件，同时考虑到对称性的情况:v为x的偶函数，u为x的奇函数。取试函数为：（1）假设只取u，v中一项，设定位移的试函数为（2）位移的试函数满足位移边界条件（3）令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数。将u，v带入平面应力问题的形变势能公式：同时已知a=b，得到：形变势能将U表达式带入位移变分方程考虑边界条件：体力 ，面力只存在于y=b边，将所得结果带入得，联立解得，（4）求位移分量：将所求系数带入u,v的表达式得：取 ，求得应力分量为：变分法小结变分法小结 1 位移变分法适用于具有各种
29、边界条件的问题，适用范围广。2 变分法中设定的试函数，一般局限于某种函数的范围内，并不完全任意，因此变分法的解答是近似的。3 位移为近似解答，求导运算后精度还会降低。因此，用位移变分法求解问题，应力的精度低于位移的精度。因此为了使所求应力分量达到所需精度，必须取更多的系数。4 虽然变分法的难点在于：a 试函数必须满足一定的边界条件；b 若试函数所取的项较多时，计算量很大；但与解常微分方程比较，变分法还是有效的、实际的，得到广泛应用的。5 变分法是有限元法的理论基础。将连续体中的变分原理应用到离散化的结构中，是导出有限单元法的主要途径。随着近几十年来有限元法的广泛应用和发展，变分法应用也得到很大
30、的促进。本章小结本章小结1 导数的差分公式导数的差分公式 基本差分公式基本差分公式2、应力函数的差分解法应力函数的差分解法 应力函数表示的相容方程的差分方程应力函数表示的相容方程的差分方程：该方程相当于应力函数的双调和方程。观察方程的脚标我们发现，的脚标与结点的序号之间有很有意思的联系：的脚标与结点的相对位置紧密相连。为本点、为近点、为角点、为远点，上式可以这样记忆：20本点本点 8近点近点+2角点角点+远点远点=0 应用差分公式，结点0处的应力分量表达式为：3、用应力函数的差分法求解问题的步骤用应力函数的差分法求解问题的步骤1）、在边界上选定基点A，令 ，计算边界上各点的 。2）、求出边界外
31、一行虚结点处的值3）、对每个内结点根据 列差分方程，联立求解个内结点的 值。4）、计算边界外一行各结点处的 值。5）、应用下列式子求各结点的应力值。4、变分法的概念及功与能的相关概念变分法的概念及功与能的相关概念 就本质而言，变分法就是把弹性力学基本方程的定解问题变为求泛函的极值（或驻值）问题，在求近似解时，进而又转换位求解函数极值（或驻值）问题，且将问题归结为求解线性方程组。形变势能密度：形变势能：5、变分方程、极小势能原理和虚功方程变分方程、极小势能原理和虚功方程 变分方程：变分方程：在实际平衡状态发生位移的变分是，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。极小势能原理极小势能原理：在给定
32、的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应是总是能成为极值。可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。极小势极小势能原理能原理的表达式为：虚功方程虚功方程：如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在虚应变上所做的虚功。实际上，位移变分方程、极小势能原理的表达式以及虚功方程三者本质是一样的。他们都是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时能量守恒定力的具体应用，只是表达方式有所不同。6、瑞利里茨法。1、设定位移的试函数为 2、位移的试函数满足位移边界条件 边界 上，令 ，分别等于给定的约束位移值 ，即 令 ，分别等于零，即 这样，位移的试函数 满足了 上的位移边界条件。3、令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数。将上两式代入位移变分方程，得 归纳后得，由于 、是任意的和独立的，因此，它们的系数为零，即 这是各个系数的一次方程，可求出各个系数。4、求位移分量：将所求系数带入 问题求解。写出基本差分公式 写出应力函数表示的相容方程的差分公式 瑞利里茨法的求解步骤