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1、第二章 傅立叶变换2.1引言 随着计算机数字集成电路的发展，人随着计算机数字集成电路的发展，人们对各种二值正交函数研究产生兴趣，这们对各种二值正交函数研究产生兴趣，这样对通信、数字信号处理等领域提供多种样对通信、数字信号处理等领域提供多种研究手段。研究手段。作为最基本的研究工具，傅立叶分析作为最基本的研究工具，傅立叶分析有着极其广泛的应用。尤其快速傅立叶变有着极其广泛的应用。尤其快速傅立叶变换（换（FFT）获得了广泛的应用和发展，特）获得了广泛的应用和发展，特别在通信领域里，傅立叶分析方法是研究别在通信领域里，傅立叶分析方法是研究其他变换方法的基础。其他变换方法的基础。本章从傅立叶级数，正交函
2、数展开问本章从傅立叶级数，正交函数展开问题开始讨论，引出傅立叶变换，建立信号题开始讨论，引出傅立叶变换，建立信号频谱的概念通过对典型信号频谱及傅立叶频谱的概念通过对典型信号频谱及傅立叶变换性质的研究，掌握基本的傅立叶分析变换性质的研究，掌握基本的傅立叶分析方法的应用。方法的应用。2.2 周期信号的傅立叶分析一一 三角函数的傅立叶级数三角函数的傅立叶级数 在高等数学课中，已知傅立叶级数的定在高等数学课中，已知傅立叶级数的定义，周期函数义，周期函数f(t)可由三角函数的线性组合可由三角函数的线性组合来表示：若来表示：若f(t)周期函数为周期函数为T1，角频率为，角频率为频率为频率为 那么该周期函数
3、那么该周期函数f(t)的三角傅立叶级的三角傅立叶级数的展开表达式为数的展开表达式为(式式21)式中式中n为正整数为正整数其级数中各个分量（幅度）值的计算为：其级数中各个分量（幅度）值的计算为：常数（直流分量）常数（直流分量）(式式22)余弦分量的幅度余弦分量的幅度(式式23)正弦分量的幅度正弦分量的幅度(式式24)其中其中n1，2，3上面积分区间式在周期函数的一个周期内上面积分区间式在周期函数的一个周期内即即可以取可以取上述三角函数组或三角函数集是一组完备上述三角函数组或三角函数集是一组完备的正交函数集，集中每二项之间都满足正的正交函数集，集中每二项之间都满足正交函数的定义。交函数的定义。还必
4、须说明，并非任意周期信号都能还必须说明，并非任意周期信号都能进行傅立叶级数的展开，进行傅立叶级数的展开，f(t)必须满足狄里必须满足狄里赫利赫利 条件才能展为傅立叶级数，其狄里赫条件才能展为傅立叶级数，其狄里赫利条件为：利条件为：(1)在一周期内，没有间断点，如果有间断在一周期内，没有间断点，如果有间断点，其数目应是有限个。点，其数目应是有限个。(2)在一周期内，极大值和极小值的数目应在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。是有限个。(3)在一周期内，信号在一周期内，信号f(t)是绝对可积的，即是绝对可积的，即等于有限值。等于有限值。通常，我们遇到的信号都能满足狄里通常，我们遇到的信号都能
5、满足狄里赫利赫利 条件，因此无特殊需要，以后就不再条件，因此无特殊需要，以后就不再提及这一条件提及这一条件将式将式2-1中同频率项加以合并，可以写出另中同频率项加以合并，可以写出另一种形式。一种形式。(式式2-5)或：或：(式式2-6)比较式比较式2-1，得到傅立叶级数中各项系，得到傅立叶级数中各项系数间的关系：数间的关系：(式式2-7)从式从式2-1看出，周期函数只要满足狄里赫看出，周期函数只要满足狄里赫利条件，就可以展成式利条件，就可以展成式2-1的级数形式。的级数形式。也就是可以分解成直流分量及许多余弦也就是可以分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量。通常把频率为分量和正弦分量。通常把频
6、率为f1（与（与周期函数同频率）的分量称为基波（分周期函数同频率）的分量称为基波（分量）频率为量）频率为2 f1，3f1分别称为二次分别称为二次谐波（分量），三次谐波（分量）谐波（分量），三次谐波（分量）等等。等等。从从2-2到到2-7看出，各分量的幅度（看出，各分量的幅度（系数）系数）及相位及相位 都是都是 的函数的函数 如果把如果把 对对 的关系绘成图的关系绘成图2-1(a)可清楚直观的看出各频率分量的相对大可清楚直观的看出各频率分量的相对大小及各频率分量随小及各频率分量随 变化的规律。变化的规律。所以一般称图所以一般称图2-1为信号的幅度频谱简称为为信号的幅度频谱简称为幅度谱。其中图中每
7、条线代表某一频率分量幅度谱。其中图中每条线代表某一频率分量的幅度，简称谱线。连接各谱线顶点的虚曲的幅度，简称谱线。连接各谱线顶点的虚曲线称为包络线，它反映了各分量幅度随线称为包络线，它反映了各分量幅度随 变换的情况。类似地，还可画出各分量的相变换的情况。类似地，还可画出各分量的相位位 对对 的线图的线图(如图如图2-1b)，我们称为相，我们称为相位简称为相位谱。位简称为相位谱。图图2-1 由图看出，周期信号频谱的每条谱线由图看出，周期信号频谱的每条谱线只会出现在只会出现在 等整数离散频率点等整数离散频率点上称这种频谱为离散谱，这是周期信号频上称这种频谱为离散谱，这是周期信号频谱的主要特点。谱的
8、主要特点。二二指数形式的傅立叶级数指数形式的傅立叶级数 已知周期信号的傅立叶级数为已知周期信号的傅立叶级数为根据欧拉公式：根据欧拉公式：代入上式得到代入上式得到令令考虑考虑 是是 的偶函数，的偶函数，是是 的奇函数的奇函数所以有：所以有：代入上式有：代入上式有：(式式2-8)令令又因为又因为(式式2-9)于是得到于是得到f(t)的指数形式的傅立叶级数，即的指数形式的傅立叶级数，即其中其中 为指数傅立叶级数的系数，将为指数傅立叶级数的系数，将 ,代入代入用欧拉公式用欧拉公式得到指数傅立叶级数系数得到指数傅立叶级数系数（或简（或简写为写为 ）表达式）表达式(式式2-10)其中其中n为从为从-到到+
9、的整数的整数由式由式2-7和式和式 得到得到 和其他系数和其他系数的关系：的关系：(式式2-11)(式式2-11)指数傅立叶级数系数指数傅立叶级数系数为为 的的函数，同样可以画出指数形式表示的信号函数，同样可以画出指数形式表示的信号频谱，一般频谱，一般Fn为复函数，所以称其复数频为复函数，所以称其复数频谱。谱。可画出复数幅度频谱可画出复数幅度频谱 如图如图2-2，如果，如果Fn 为实数，可以用为实数，可以用Fn的正、的正、负数表示负数表示 的的0，。这样幅度谱和相位谱。这样幅度谱和相位谱可以合画在一张图上。如图可以合画在一张图上。如图2-3图图2-2图图2-3讨论：讨论：(1)由图由图2-3看
10、出，图中每条谱线长度看出，图中每条谱线长度(2)由式由式2-9看出，式中不仅包括正频率项，看出，式中不仅包括正频率项，还包括负频率项，因此这种频谱相对于纵还包括负频率项，因此这种频谱相对于纵轴左右式对称的。轴左右式对称的。(3)由图由图2-1和图和图2-3可以看出这两种频谱的可以看出这两种频谱的表示方法实质上是一样的，只是形式有些表示方法实质上是一样的，只是形式有些不同。图不同。图2-1中每条谱线代表相应分量的幅中每条谱线代表相应分量的幅度，而图度，而图2-2中，每个分量幅度一分为二，中，每个分量幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半。在正、负频率相对应的位置上各为一半。正、负频率上
11、相应的两条谱线合起来代表正、负频率上相应的两条谱线合起来代表一个分量的幅度。一个分量的幅度。(4)应当指出在指数复数频谱中，出现了负应当指出在指数复数频谱中，出现了负频率。这是由于将频率。这是由于将sin(n1 1t t)和和cos(n1t)按按欧拉公式写成复指数形式引起的，即写成欧拉公式写成复指数形式引起的，即写成和和两项，从而引入了两项，从而引入了项，所以这完全是数学运算的结果，具有项，所以这完全是数学运算的结果，具有数学意义，并没有物理意义。只有将负频数学意义，并没有物理意义。只有将负频率和相应正频率项，通过数学运算合并起率和相应正频率项，通过数学运算合并起来才是实际的频谱函数，具有相应
12、的物理来才是实际的频谱函数，具有相应的物理意义意义三三 周期信号的功率特性周期信号的功率特性 将傅立叶级数表示式，式将傅立叶级数表示式，式2-1和式和式2-9等等式两边平方，并在一个周期内进行积分，并式两边平方，并在一个周期内进行积分，并乘以乘以1/T1。再利用三角函数及复指数函数的。再利用三角函数及复指数函数的正交性。正交性。即在一个即在一个n个函数个函数构成的函数集中，如果在区间构成的函数集中，如果在区间(t1,t2)内满足内满足正交性，有如下关系式：正交性，有如下关系式：其中其中 为常数，如果为常数，如果 1，有，有这样可得到周期信号这样可得到周期信号f(t)的平均功率的平均功率P与与傅
13、立叶级数系数的关系。傅立叶级数系数的关系。(式式2-12)此式表明，周期信号的平均功率等于傅此式表明，周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开式中各谐波分量有效值的立叶级数展开式中各谐波分量有效值的平方和，也就是说时域和频域的能量是平方和，也就是说时域和频域的能量是守恒的，式守恒的，式2-12称为帕塞瓦尔定理。称为帕塞瓦尔定理。四四 函数的对称性与傅立叶系数的关系函数的对称性与傅立叶系数的关系 波形的对称性有两类：一类式对整周波形的对称性有两类：一类式对整周期内对称，如偶函数和奇函数。另一类是期内对称，如偶函数和奇函数。另一类是对半个周期内对称，如奇谐函数。对半个周期内对称，如奇谐函数。如果如果f
14、(t)是实函数，满足上述某种对是实函数，满足上述某种对称性使其傅立叶级数中有些项将不出现。称性使其傅立叶级数中有些项将不出现。1 偶函数偶函数 若信号波形相对纵轴是对称的，即满若信号波形相对纵轴是对称的，即满足足 这样在一个对称周期内求级数系数为：这样在一个对称周期内求级数系数为：以上结果由于以上结果由于 为偶函数，为偶函数，为奇函数，在一个对称区间为奇函数，在一个对称区间积分，偶函数为半区间积分的积分，偶函数为半区间积分的2倍，奇函倍，奇函数积分为零。数积分为零。由此得到其它系数的结果：由此得到其它系数的结果：所以偶函数的所以偶函数的Fn为实数，偶函数的为实数，偶函数的傅立叶级数中不含有正弦
15、项，只含有直流项傅立叶级数中不含有正弦项，只含有直流项和余弦项。和余弦项。例如，如图例如，如图2-4所示，周期函数为偶函数，所示，周期函数为偶函数，它的傅立叶级数如下式：它的傅立叶级数如下式：图图2-42 奇函数奇函数 若信号的波形相对于纵坐标是反对称，若信号的波形相对于纵坐标是反对称，即即f(t)=-f(-t)，则，则f(t)是奇函数。是奇函数。这样得到级数中系数为：这样得到级数中系数为：其他系数为：其他系数为：所以，奇函数的所以，奇函数的Fn为虚数，奇函数的为虚数，奇函数的傅立叶中不含有余弦项，只含有正弦项。傅立叶中不含有余弦项，只含有正弦项。有时奇函数叠加一个直流分量，虽然有时奇函数叠加
16、一个直流分量，虽然不是奇函数，但该函数等于奇函数加一个不是奇函数，但该函数等于奇函数加一个常数（直流分量），分解后仍然不包含余常数（直流分量），分解后仍然不包含余弦项，例如图弦项，例如图2-5为周期锯齿奇函数信号为周期锯齿奇函数信号 其傅立叶级数展开式如下其傅立叶级数展开式如下3 奇谐函数奇谐函数 若函数波形沿时间轴平移半个周期并相若函数波形沿时间轴平移半个周期并相对该轴上下反转，其波形和原来一样，没有对该轴上下反转，其波形和原来一样，没有发生变化，即：发生变化，即：图图2-5称该函数为半波对称函数也称奇谐函数。称该函数为半波对称函数也称奇谐函数。由定义看出，该函数的级数中的直流分量由定义看出
17、，该函数的级数中的直流分量a0必然为零。必然为零。设第二个积分式设第二个积分式 ，所以有，所以有由于由于所以所以同理可得：同理可得：如图如图2-6所以所以f(t)为奇谐函数，其傅立叶级数中含有为奇谐函数，其傅立叶级数中含有基波和奇次谐波的正弦项和余弦项。基波和奇次谐波的正弦项和余弦项。图图2-62.3 典型周期信号的傅立叶级数 矩形周期信号是一个很重要的信号，其矩形周期信号是一个很重要的信号，其展开的傅立叶级数及其频谱有着重要意义。展开的傅立叶级数及其频谱有着重要意义。设周期矩形脉冲信号设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为的脉冲宽度为其幅度为其幅度为E E，重复周期为，重复周期为T T1 1
18、，则角频率，则角频率如图如图2-7图图2-7 此信号在一个周期内此信号在一个周期内 的表的表达式为：达式为：首先把首先把f(t)展成三角傅立叶级数展成三角傅立叶级数其中直流分量其中直流分量余弦分量为余弦分量为其中其中Sa为抽样函数为抽样函数由于由于f(t)为偶函数，所以为偶函数，所以其三角傅立叶级数为其三角傅立叶级数为或写成：或写成：下面再将下面再将f(t)展成指数傅立叶级数，即展成指数傅立叶级数，即所以所以得到直流分量得到直流分量各次谐波分量各次谐波分量 图图2-8(a)(b)分别画出幅度频谱和相位频分别画出幅度频谱和相位频谱，由于谱，由于cn为实数，可以把幅度谱和相位谱为实数，可以把幅度谱
19、和相位谱合画成一副图，如图合画成一副图，如图2-8(c)，用，用Fn可以画出可以画出复数频谱，如图复数频谱，如图2-8(d)。讨论：讨论：(1)周期矩形脉冲同一般周期信号一样，其频周期矩形脉冲同一般周期信号一样，其频谱离散的，两谱线的间隔为谱离散的，两谱线的间隔为 ，当脉冲重，当脉冲重复周期复周期T1愈大，愈大，1愈小，谱线就越靠近。愈小，谱线就越靠近。图图2-8(2)由由c0,cn可知直流分量基波及各谐波分量可知直流分量基波及各谐波分量大小正比于脉冲幅度大小正比于脉冲幅度E和脉冲宽度和脉冲宽度，而反，而反比于周期比于周期T T1 1。谱线的幅度按包络线的规律变化，即按谱线的幅度按包络线的规律
20、变化，即按规律变化。规律变化。并且并且时时(m=1,2)谱线的谱线的包络线经过零点。包络线经过零点。(3)周期矩形信号包含有无穷多条谱线，周期矩形信号包含有无穷多条谱线，即可分解为无穷多个频率分量，但信号的即可分解为无穷多个频率分量，但信号的当当 时，谱线的包络线时，谱线的包络线为极值点。为极值点。在允许一定失真的条件下，经常把在允许一定失真的条件下，经常把0到到第一个零点频率第一个零点频率 之间的宽度，定为周期矩之间的宽度，定为周期矩形脉冲的频谱的宽度，即形脉冲的频谱的宽度，即 用符号用符号B和和Bf表示，即表示，即或或 看出，频带宽度看出，频带宽度B与矩形脉冲宽度与矩形脉冲宽度成成反比。反
21、比。(4)脉宽脉宽和周期和周期T T1 1对频谱的影响对频谱的影响当当不变，不变，T T1 1变化时变化时不变，说明过零点的频率不变，不变，说明过零点的频率不变，T T1 1主要能量集中在第一个零点以内。主要能量集中在第一个零点以内。加大，则加大，则 减小，这样谱线间间隔变密。减小，这样谱线间间隔变密。当当T1不变，不变，变化变化T1不变，则不变，则1不变，谱线间隔保持不变，不变，谱线间隔保持不变，变化，则过零点频率发生变化。变化，则过零点频率发生变化。加大（加大（）过零点频率减小）过零点频率减小 则过零点频率减小到趋于零。则过零点频率减小到趋于零。反过来，反过来，过零点频率趋于无穷大过零点频
22、率趋于无穷大2.4 傅立叶变换一一 傅立叶变换定义傅立叶变换定义 从上节周期矩形的频谱分析中看出，当从上节周期矩形的频谱分析中看出，当周期周期 时，其谱线间隔时，其谱线间隔 ，这样谱，这样谱线连成一片，即由离散频谱变成连续频谱，线连成一片，即由离散频谱变成连续频谱，这时函数这时函数f(t)由周期信号变成了非周期信号。由周期信号变成了非周期信号。但由于但由于每个频率分量变成了无穷小，但所有这些无每个频率分量变成了无穷小，但所有这些无穷小分量的叠加应该应该是非周期信号的有穷小分量的叠加应该应该是非周期信号的有限能量值，并且这些无穷小量之间的相对大限能量值，并且这些无穷小量之间的相对大小也是不一样。
23、小也是不一样。为了研究这具有限能量信号，即非周期为了研究这具有限能量信号，即非周期信号的频谱及各分量的相对大小，采用了频信号的频谱及各分量的相对大小，采用了频谱密度函数的概念。谱密度函数的概念。设一周期信号设一周期信号f(t)及复数频谱及复数频谱F(n1)，如图如图2-9，将，将f(t)展成指数傅立叶级数。展成指数傅立叶级数。图图2-9其系数即频谱为其系数即频谱为两边乘以两边乘以T1，得：，得：即：即：(式式2-13)当当 时，时，由周期信号转变成非，由周期信号转变成非周期信号，这时谱线间隔周期信号，这时谱线间隔 而而离散频率离散频率n1变成连续频率变成连续频率。这时这时 但但 趋近一有趋近一
24、有限值，并且变成一个连续函数限值，并且变成一个连续函数F()，即：，即：其中其中 表示单位频带的频谱值，即定表示单位频带的频谱值，即定义为频谱密度函数，所以义为频谱密度函数，所以F()称为原函数称为原函数f(t)的频谱密度函数（简称频谱函数）的频谱密度函数（简称频谱函数）若以若以 幅度为高，以间隔幅度为高，以间隔1为宽，为宽，组成矩形如图组成矩形如图2-9(c)所示，则该小矩形面积所示，则该小矩形面积等于等于n 1频率处频谱值频率处频谱值F(F(n1)这样在非周期信号的情况下，有这样在非周期信号的情况下，有（式（式2-14）同样，傅立叶级数同样，傅立叶级数考虑谱线间隔考虑谱线间隔 上式可写成上
25、式可写成在极限情况下，各变量改变为在极限情况下，各变量改变为所以其傅立叶级数变成积分形式，即所以其傅立叶级数变成积分形式，即（式（式2-15）上面的式上面的式2-14和式和式2-15就是周期信号的傅就是周期信号的傅立叶级数及系数立叶级数及系数 ，通过取极限方法，通过取极限方法得到非周期信号频谱的表达式，称之为傅得到非周期信号频谱的表达式，称之为傅立叶变换，通常称式立叶变换，通常称式2-14为傅立叶正变换，为傅立叶正变换，式式2-15为傅立叶逆变换。为傅立叶逆变换。为了方便，我们给了如下定义符号为了方便，我们给了如下定义符号傅立叶正变换傅立叶正变换傅立叶逆变换傅立叶逆变换其中其中F()是是f(t
26、)的频谱函数，一般为复函数的频谱函数，一般为复函数可写成：可写成：式中式中 是是 的模，它代表信号的模，它代表信号f(t)中各中各频率分量的相对大小，而频率分量的相对大小，而 是是F()的相的相位函数，它表示信号中各频谱分量之间的位函数，它表示信号中各频谱分量之间的相位关系，所以称相位关系，所以称 为幅度频谱，为幅度频谱，相位频谱，如图相位频谱，如图2-9,和和 都是频率都是频率的连续函数，其形状与相应的周期信号频的连续函数，其形状与相应的周期信号频谱包络线相同，并且谱包络线相同，并且 是是的偶函数，的偶函数，是是的奇函数。的奇函数。二二 傅立叶逆变换的三角形式傅立叶逆变换的三角形式 与周期信
27、号类似，其傅立叶逆变换有与周期信号类似，其傅立叶逆变换有指数形式，也可改写成三角函数形式，即指数形式，也可改写成三角函数形式，即 因为因为f(t)是实函数是实函数 为为的偶函数。的偶函数。为为的奇函数，上式第二项为零。上式可写成的奇函数，上式第二项为零。上式可写成可见，非周期信号和周期信号一样，也可以可见，非周期信号和周期信号一样，也可以分解为许多不同频率的正、余弦分量。分解为许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是非周期信号由于周期趋于无所不同的是非周期信号由于周期趋于无限大，而各频率的分量幅度限大，而各频率的分量幅度 趋于无限趋于无限小，所以其频谱改用频谱密度函数表示小，所以其频谱改用频谱密
28、度函数表示 必须指出，非周期函数傅立叶变换的存必须指出，非周期函数傅立叶变换的存在条件是，在条件是，f(t)在无限区间内满足绝对可积条在无限区间内满足绝对可积条件，即：件，即：类似于周期函数展类似于周期函数展成傅立叶级数必须满足狄里赫利条件。成傅立叶级数必须满足狄里赫利条件。2.5 典型非周期信号的傅立叶变换 利用傅立叶变换求几种典型非周期信号利用傅立叶变换求几种典型非周期信号频谱。频谱。一一 单边指数信号单边指数信号其表达式为其表达式为其中其中为正实数。为正实数。其傅立叶变换为：其傅立叶变换为：得幅度谱得幅度谱相位谱相位谱波形如图 2-10图图 2-10二二 双边指数信号双边指数信号其表达式
29、为其表达式为为正实数。为正实数。其傅立叶变换为其傅立叶变换为 幅度谱为幅度谱为相位谱为相位谱为其其f(t)和幅度谱如图和幅度谱如图2-11图图2-11三三 矩形脉冲信号矩形脉冲信号其表达式为其表达式为E为脉冲幅度，为脉冲幅度，为脉冲宽度为脉冲宽度其傅立叶变换为其傅立叶变换为其幅度谱为其幅度谱为相位谱为相位谱为因为因为F()为实函数，可用一条为实函数，可用一条F()曲线曲线表示其幅度谱表示其幅度谱 和相位谱和相位谱其其f(t)和和F()曲线如图曲线如图2-12由此可见，矩形脉冲信号其能量在时域集中由此可见，矩形脉冲信号其能量在时域集中在在 有限范围内，但其频谱函数以有限范围内，但其频谱函数以的规
30、律变化，分布在无限宽的频率范围上，的规律变化，分布在无限宽的频率范围上，但信号能量主要集中在但信号能量主要集中在 （或（或）范围，所以通常认为这种信号占用频率范）范围，所以通常认为这种信号占用频率范围（频带）围（频带）B近似为近似为1/（或（或2/）即）即图图2-12四四 钟形脉冲信号钟形脉冲信号钟形脉冲也称高斯脉冲，其表达式为钟形脉冲也称高斯脉冲，其表达式为其傅立叶变换其傅立叶变换查积分表得查积分表得这是一个正实数，相位谱为零，高斯信号这是一个正实数，相位谱为零，高斯信号得傅立叶变换即频谱还是高斯型，其信号得傅立叶变换即频谱还是高斯型，其信号频谱如图频谱如图2-13被积函数为两个超越函数相乘
31、，比较麻烦被积函数为两个超越函数相乘，比较麻烦图图2-13五五 升余弦信号升余弦信号升余弦信号表达式为：升余弦信号表达式为：其傅立叶变换其傅立叶变换上式化简得到上式化简得到其其f(t)和其频谱如图和其频谱如图2-14由上图看出，升余弦脉冲的频谱比矩形的由上图看出，升余弦脉冲的频谱比矩形的频谱更加集中，其绝大部分能量集中在频谱更加集中，其绝大部分能量集中在 范围内。范围内。图图2-142.6 典型奇异函数的频谱 对于奇异函数，如冲激函数、阶跃函数、对于奇异函数，如冲激函数、阶跃函数、符号函数等是不满足绝对可积条件的，但其符号函数等是不满足绝对可积条件的，但其傅立叶即频谱是存在的，不用定义求出，而
32、傅立叶即频谱是存在的，不用定义求出，而用其他方法求取其频谱函数。用其他方法求取其频谱函数。一一 冲激函数的傅立叶变换冲激函数的傅立叶变换 冲激函数在时域和变换域中起着十分重冲激函数在时域和变换域中起着十分重要作用。要作用。1 冲激函数的傅立叶变换冲激函数的傅立叶变换 单位冲激函数单位冲激函数(t)(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为 可见，单位冲激函数的频谱为常数，可见，单位冲激函数的频谱为常数，也就是说在整个频率范围内，频谱是均匀也就是说在整个频率范围内，频谱是均匀分布的，所以频率分量幅度是相等的。称分布的，所以频率分量幅度是相等的。称为为“均匀谱均匀谱”或或“白色谱白色谱”。其其f(t)和其
33、频谱如图和其频谱如图2-152 冲激函数傅立叶逆变换冲激函数傅立叶逆变换 当然该冲激函数是频域的函数，即为当然该冲激函数是频域的函数，即为()可得，常数的傅立叶变换是冲激函数可得，常数的傅立叶变换是冲激函数图图2-15二二 冲激偶函数的傅立叶变换冲激偶函数的傅立叶变换同理可得：同理可得：又由于又由于同理得同理得三三 阶跃函数的傅立叶变换阶跃函数的傅立叶变换 阶跃函数不满足绝对可积条件，但其阶跃函数不满足绝对可积条件，但其频谱函数还是存在的，采用单边指数求极频谱函数还是存在的，采用单边指数求极限的方法来求取。限的方法来求取。对单边指数函数的频谱为：对单边指数函数的频谱为：对于阶跃函数，当对于阶跃
34、函数，当 时，单边指数时，单边指数函数趋近于阶跃函数，即函数趋近于阶跃函数，即那么其频谱为，当那么其频谱为，当 时，极限函数的时，极限函数的频谱即为阶跃函数的频谱。频谱即为阶跃函数的频谱。当当 时，时，可见是一个冲激函数，求其曲线下面积可见是一个冲激函数，求其曲线下面积即强度。即强度。又知又知所以得阶跃函数得傅立叶变换为所以得阶跃函数得傅立叶变换为其其u(t)和其频谱如图和其频谱如图2-16图图2-16其幅度谱为其幅度谱为四四 符号函数的傅立叶变换符号函数的傅立叶变换其表达式其表达式用单位阶跃函数表示符号函数，即用单位阶跃函数表示符号函数，即其傅立叶变换为：其傅立叶变换为：其幅度谱为其幅度谱为
35、相位频谱为相位频谱为其其sgn(t)和其频谱如图和其频谱如图2-17图图2-172.7 傅立叶变换的基本性质 由前面可知，由傅立叶变换建立时由前面可知，由傅立叶变换建立时间函数间函数f(t)与其频谱函数与其频谱函数F()之间是一一之间是一一对应关系，在信号分析中，经常遇到时对应关系，在信号分析中，经常遇到时域信号经过某种运算在频域中发生了怎域信号经过某种运算在频域中发生了怎样变化，反之也是这样。利用傅立叶变样变化，反之也是这样。利用傅立叶变换的某些性质给信号分析带来了很大方换的某些性质给信号分析带来了很大方便。便。一一 线性性质线性性质若若则则其中其中ai为常数，为常数，i为正整数为正整数例：
36、求例：求解：解：又又二二 对称性对称性若若则则如果如果f(t)是偶函数是偶函数则则这样体现出傅立叶变换的对称性，即这样体现出傅立叶变换的对称性，即f(t)的频谱为的频谱为F()，那么，那么F(t)的频谱为的频谱为f()例例1：求：求解：已知解：已知根据对称性性质根据对称性性质由于由于 为偶函数为偶函数例例2：求函数：求函数 的傅立叶变换的傅立叶变换解：已知解：已知其其根据对称性根据对称性三三 反转性质反转性质若若则则例例1：求：求u(-t)的频谱函数的频谱函数解：已知解：已知根据反转性质根据反转性质四四 时移特性时移特性若若则则例例1：已知：已知 如图如图2-18(a)，试求，试求如图如图2-
37、18(b)中中 的傅立叶变换的傅立叶变换 。解：从图中可以看出解：从图中可以看出图图2-18五五 尺度变换性质尺度变换性质若若则则其中其中a为非零实常数。为非零实常数。如果如果a-1，上式变成，上式变成即反转性质，若即反转性质，若a1则信号则信号f(at)表示信号表示信号f(t)沿时间轴压缩沿时间轴压缩a倍，而倍，而F(/a/a)则表示频谱函则表示频谱函数数F()沿频率轴扩展沿频率轴扩展a倍。倍。若若0a1，信号，信号f(at)沿时间轴扩展了沿时间轴扩展了1/a而而F(/a/a)沿频率轴压缩沿频率轴压缩F()频率波形的频率波形的1/a倍。倍。表明时域中的压缩对应着频域中的扩表明时域中的压缩对应
38、着频域中的扩展，而对时域中的扩展对应着频域中的压展，而对时域中的扩展对应着频域中的压缩。缩。得出一个结论：信号的持续时间与其得出一个结论：信号的持续时间与其占有的频带宽带成反比。占有的频带宽带成反比。例：已知例：已知 求求解：解：讨论：首先假设讨论：首先假设f(t)和和F()分别对时间分别对时间t和频率和频率的函数是收敛的函数。的函数是收敛的函数。（即（即t,f(t)0,F()0）有有同样同样有有 说明说明f(t)与与F()所覆盖的面积分别等于所覆盖的面积分别等于F()与与2f(t)在零点的数值在零点的数值F(0)和和2f(0)六六 频移特性频移特性若若则则 可见，若时间信号可见，若时间信号f
39、(t)乘以乘以 等效于等效于f(t)的频谱的频谱F()沿频率轴右移沿频率轴右移0 0，或者若，或者若时间信号时间信号f(tf(t)乘以乘以 等效于等效于f(tf(t)的频谱的频谱F()沿频率轴左移沿频率轴左移0。有时也称为频谱搬移性质，在通信系有时也称为频谱搬移性质，在通信系统中得到了广泛的应用，如调幅、同步解统中得到了广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等，如：调、变频等，如：频谱搬移实现原理为频谱搬移实现原理为f(t)乘以载频信号乘以载频信号 或或 ，其频谱为，其频谱为例例1：已知矩形调幅信号：已知矩形调幅信号 如图如图2-19，其中，其中G(t)为矩形脉冲，脉冲幅为矩形脉冲，脉冲幅度为度为
40、E，脉宽为，脉宽为，求，求f(tf(t)频谱。频谱。图图2-19解：对于矩形脉冲频谱前面已知解：对于矩形脉冲频谱前面已知所以有所以有例例2 已知已知f(t)=cos(0 0t t)，求，求f(t)的频谱。的频谱。解：解：根据频移性质：根据频移性质：可见周期余弦信号的傅立叶变换完全可见周期余弦信号的傅立叶变换完全集中在集中在0 0处，并且是对冲激，说明周期处，并且是对冲激，说明周期信号不满足绝对可积条件。信号不满足绝对可积条件。七七 微分特性微分特性1 时域微分特性时域微分特性若若则则例：求例：求解：解：由微分特性：由微分特性：2 频域微分特性频域微分特性若若则则八八 积分性质积分性质1 时域积
41、分性质时域积分性质若若则则例：如图例：如图2-20截平斜变函数截平斜变函数y(t)，求，求y(t)频谱。频谱。图图2-20解：图解：图2-20的截平、斜变函数表达式为：的截平、斜变函数表达式为：利用积分性质，求利用积分性质，求y(t)的频谱的频谱Y()，把，把y(t)看成脉幅为看成脉幅为1/t0，脉宽为，脉宽为t0的矩形脉的矩形脉冲冲f(t)的积分，即的积分，即其中其中得得f(t)的频谱的频谱F()为为利用积分性质求得：利用积分性质求得：由于由于F(0)=1，所以，所以2 频域积分性质频域积分性质若若 ，则：，则：此特性应用较少，不多加讨论。此特性应用较少，不多加讨论。九九 卷积定理（卷积性质
42、）卷积定理（卷积性质）1 时域卷积性质时域卷积性质若给定两个时间函数若给定两个时间函数 并知：并知：则则说明两个时间函数卷积的频谱等于两个时说明两个时间函数卷积的频谱等于两个时间函数频谱的乘积，即时域两信号卷积等间函数频谱的乘积，即时域两信号卷积等效于频域中频谱相乘。效于频域中频谱相乘。2 频域卷积性质频域卷积性质若若 ，则，则其中其中说明两时间函数相乘的频谱等效于两个函说明两时间函数相乘的频谱等效于两个函数频谱的卷积。数频谱的卷积。例：已知例：已知求余弦脉冲的频谱。求余弦脉冲的频谱。解：余弦脉冲解：余弦脉冲f(t)可看作由矩形脉冲可看作由矩形脉冲 与余弦周期信号与余弦周期信号 相乘，如图相乘
43、，如图2-21，其表达式为其表达式为图图2-21其其 的频谱为的频谱为而且：而且：根据频域卷积性质根据频域卷积性质整理简化为：整理简化为：例：如图例：如图2-22(a)，试求该信号，试求该信号f(t)的傅立叶的傅立叶变换变换F()图图2-22解：解：f(t)可看出是可看出是f1(t)和和f2(t)卷积得到的，即卷积得到的，即其中其中根据时域卷根据时域卷积性质：积性质：2.8 周期信号的傅立叶变换 为了统一分析周期信号和非周期信号的为了统一分析周期信号和非周期信号的方法，使傅立叶变换这一数学工具应用更方法，使傅立叶变换这一数学工具应用更广泛。虽然周期信号不满足绝对可积条件广泛。虽然周期信号不满足
44、绝对可积条件不能用傅立叶变换积分公式去求取，而其不能用傅立叶变换积分公式去求取，而其周期函数的频谱还是客观存在的，可以周期函数的频谱还是客观存在的，可以通过另外办法求取。尤其冲激函数存在是通过另外办法求取。尤其冲激函数存在是有意义的。在数学上已经证明，所以绝对有意义的。在数学上已经证明，所以绝对可积条件已成为不必要的限制条件。可积条件已成为不必要的限制条件。一一 正弦、余弦信号的傅立叶变换正弦、余弦信号的傅立叶变换 虽然前面已介绍了，这里还想讲解一下虽然前面已介绍了，这里还想讲解一下若若 ，由频移性质，由频移性质令令则则同理，同理，根据欧拉公式根据欧拉公式得：得：由上看出，复指数信号，余弦和正
45、弦信号由上看出，复指数信号，余弦和正弦信号的傅立叶变换是在的傅立叶变换是在 处的冲激函数。处的冲激函数。二二一般周期信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换1令周期函数令周期函数f(t)的周期为的周期为T1，角频率为，角频率为 此周期信号的傅立叶级数为：此周期信号的傅立叶级数为：两边取傅立叶变换：两边取傅立叶变换：以上便是周期信号以上便是周期信号f(t)的傅立叶变换的公式的傅立叶变换的公式其中其中Fn为傅立叶级数的系数为傅立叶级数的系数 由公式看出，周期信号由公式看出，周期信号f(t)的傅立叶变换的傅立叶变换是由一些频域中冲激函数组成，且这些冲激是由一些频域中冲激函数组成，且这些冲激函数位于周
46、期信号的谐频处，即：函数位于周期信号的谐频处，即：每个冲激的强度等于每个冲激的强度等于f(t)的傅立叶级数的相应的傅立叶级数的相应系数系数Fn的的2倍。倍。还可以看出，周期信号的频谱是离散的，还可以看出，周期信号的频谱是离散的，这和前面这和前面f(t)展成傅立叶级数得到概念是一致展成傅立叶级数得到概念是一致的。的。注意，由于傅立叶变换是反映频谱密度的注意，由于傅立叶变换是反映频谱密度的概念，因此傅立叶变换不同于傅立叶级数，得概念，因此傅立叶变换不同于傅立叶级数，得到的频谱是一系列冲激函数，表明在无穷小的到的频谱是一系列冲激函数，表明在无穷小的频率范围内（即频谱点），取得了无限大的频频率范围内（
47、即频谱点），取得了无限大的频谱值，而不是有限值。谱值，而不是有限值。2周期信号傅立叶级数与相应单脉冲的傅立周期信号傅立叶级数与相应单脉冲的傅立叶变换的关系。叶变换的关系。周期信号周期信号f(t)的傅立叶级数的傅立叶级数其傅立叶系数为其傅立叶系数为从周期信号从周期信号f(t)中截取一个周期，得到一个非中截取一个周期，得到一个非周期的单脉冲信号周期的单脉冲信号f0(t)，其傅立叶变换为：，其傅立叶变换为：比较比较Fn和和F0()式，看出式，看出我们得出，周期信号的傅立叶级数的系数我们得出，周期信号的傅立叶级数的系数Fn等于其非周期单脉冲信号的傅立叶变换等于其非周期单脉冲信号的傅立叶变换F0()在在
48、n1频率点的值乘以频率点的值乘以 ，这样利，这样利用单脉冲傅立叶变换式可以很方便的求出用单脉冲傅立叶变换式可以很方便的求出相应周期信号的傅立叶级数的系数。相应周期信号的傅立叶级数的系数。例：单位冲激序列为例：单位冲激序列为 求该单求该单位冲激序列的傅立叶级数。位冲激序列的傅立叶级数。解：该序列的傅立叶级数为解：该序列的傅立叶级数为其中其中傅立叶级数为：傅立叶级数为：由此看出，单位冲激序列傅立叶级数只由此看出，单位冲激序列傅立叶级数只包含有位于包含有位于 的频率分量，并的频率分量，并且每个频率分量的大小是相等的，均等于且每个频率分量的大小是相等的，均等于 。例：已知周期矩形脉冲信号例：已知周期矩
49、形脉冲信号f(t)的幅度为的幅度为E，脉宽为脉宽为，周期为，周期为T T1 1，角频率为，角频率为 如图如图2-232-23，求周期脉冲信号的傅立叶级数和傅立，求周期脉冲信号的傅立叶级数和傅立叶变换。叶变换。图图 2-23解：利用本节给出的方法求解，相同的单脉解：利用本节给出的方法求解，相同的单脉冲冲f0(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为那么对应周期脉冲的傅立叶系数为那么对应周期脉冲的傅立叶系数为图图 2-23则傅立叶级数为：则傅立叶级数为：其傅立叶变换为：其傅立叶变换为：2.9 抽样信号的傅立叶变换一一抽样信号抽样信号 这里提出的这里提出的“抽样抽样”是利用抽样脉冲序列是利用抽样脉冲序列p(
50、t)从连续信号从连续信号f(t)中抽取一系列的离散样中抽取一系列的离散样值，这种离散信号常称为值，这种离散信号常称为“抽样信号抽样信号”，用，用fs(t)表示，如图表示，如图2-24所示。所示。这里和前面称为抽样函数的这里和前面称为抽样函数的Sa(t)具有完具有完全不同的含义，这里的抽样也可成为全不同的含义，这里的抽样也可成为“采样采样”或或“取样取样”。图图2-24 其抽样系统实现的原理如图其抽样系统实现的原理如图2-25，连续，连续信号经过抽样电路实现抽样后，变成了抽样信号经过抽样电路实现抽样后，变成了抽样信号，一般情况下，往往需要经量化、编码信号，一般情况下，往往需要经量化、编码变成数字