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1、力学中的变换武际可北京大学力学与工程科学系引 言n n古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclites,约公元前540年前480年）说:“人不能两次踏入同一条河”。极言万物无时无刻不在变化。研究事物的变化乃是科学的真谛。不过，为了区分事物、为了识别变化的事物，我们必须抓住变化事物的不变性质。所以认识在变化过程中，事物的不变性质，乃是研究这种事物的关键。引 言n n在力学中，最早朴素在力学中，最早朴素地认识不变性质的，地认识不变性质的，大约是物体处于平衡大约是物体处于平衡时，进行微扰平衡不时，进行微扰平衡不改变。改变。1313世纪约旦努世纪约旦努在他的在他的重物的科学重物的科学中，就以这种观点中，就
2、以这种观点来处理杠杆平衡问题。来处理杠杆平衡问题。实际上，这就是后来实际上，这就是后来发展的虚功原理的萌发展的虚功原理的萌芽。芽。引 言n n力学是研究物质在空间中位置变化的科学，而几何学是专门研究空间结构的学科。所以力学和几何学有着天生不可分的联系。所以在1627年出版的我国最早的力学文献远西奇器图说中说“数学、度学，重学之必须，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里重学就是力学，度学就是指几何学。引 言n n所以力学同数学的发展是同步的，或者说，有什所以力学同数学的发展是同步的，或者说，有什么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的程度上也可以说有什么样
3、的力学就有什么样的数程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数学自古便有紧密联系的传统。力学的任务是研究学自古便有紧密联系的传统。力学的任务是研究物质在空间中的运动，而几何是研究空间的，所物质在空间中的运动，而几何是研究空间的，所以力学与几何有着最为密切的联系。力学与物理以力学与几何有着最为密切的联系。力学与物理学的革命性的发展常常是和几何联系在一起的学的革命性的发展常常是和几何联系在一起的n n从阿基米德到斯梯芬时代，力学的研
4、究内容是静从阿基米德到斯梯芬时代，力学的研究内容是静力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应的计算工具是常量的代数运算。的计算工具是常量的代数运算。引 言n n从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是解决在引力作用下的主要内容是自由质点的运动，特别是解决在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工
5、具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。科的开拓者。n n从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学主要的研究内从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学主要的研究内容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了n n维空间维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几何。的概念，后来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几何。而在分析方面的主要工具则是引进了泛函的概念，并且发而在分析方面的
6、主要工具则是引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法，拉格朗日自己就展了求泛函极值的方法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。是早期开拓变分法的主将。引 言n n在在2020世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至
7、在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的主要工具就是拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分主要工具就是拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分等。至今经过了等。至今经过了100100多年的发展，它仍然是世界上都很关多年的发展，它仍然是世界上都
8、很关心的研究领域。心的研究领域。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n在所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化。为了在所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化。为了描述位置的变化，从历史上说，首先就要把位置用数量来描述位置的变化，从历史上说，首先就要把位置用数量来表述。这就是坐标的引进。表述。这就是坐标的引进。n n16371637年笛卡尔（年笛卡尔（Rene Descartes Rene Descartes，1596-1650)1596-1650)发表发表La La GomtrieGomtrie 奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变换的概念。
9、换的概念。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n18931893年李（年李（Marius Marius SophusSophus Lie Lie ，1842-1842-18991899）出版了他积九出版了他积九年研究的成果于三卷年研究的成果于三卷书书TheorieTheorie derder TransformationsgruppTransformationsgruppenen 中中。奠定了李群奠定了李群也就是变换群的基础。也就是变换群的基础。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n18721872年，德国数学家克莱年，德国数学家克莱因（因（Felix Christian KleinF
10、elix Christian Klein，1849-19251849-1925）n n在论文在论文VergleichendeVergleichende BetrachtungenBetrachtungen berber neuereneuere geometrischegeometrische ForschungenForschungen中提出以中提出以变换来区分非欧几何的理变换来区分非欧几何的理论。后来被称为论。后来被称为ErlangenErlangen programprogram爱尔朗根纲领。爱尔朗根纲领。爱尔朗根纲领。爱尔朗根纲领。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n在引进了坐标
11、和时间的变换后，人们自然要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不变。于是人们定义了以下三个力学量n n即：动量 、角动量 和能量 。人们立即发现，这三个力学量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移之下保持不变。这就是著名的力学中的三大守恒定律。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n19041904年罗伦茨（年罗伦茨（H.LorentzH.Lorentz，1853-19281853-1928）引进了时间）引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距在罗伦茨变换下，时空距离离n n 是不变是不变量。其中量。其中c c是光速。罗伦茨是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展
12、变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。中起了非常重要的作用。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。般的观点来讨论变换和不变量。n n在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统，组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统，设给定初值为设给定初值为 ，它的解是，它的解是 （1 1）n n这个解实际上给出了从这个解实际上给出了从 到到 的一个带参数的一个带参数t t 的变换。李是系统研究这种变换的第一
13、人。这个的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。群。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n设 为 的任一函数，一般来说如果 （2）则 就是在变换（1）之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为 进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。勒让德勒让德A.M.Legendre1752 1833 n n勒让德变换是从以下偏微分方程出发的 （3）其中令 ，再令R、S、T 仅是p、q函数。一些重要变换的历史一些重要变换的历史n n令曲面
14、 的切平面为 （4）则应当有 （5）（4）式就在函数变量x,y与p,q之给出了一个变换。即n n由(4)微分得 n n把以上结果代入（3）就得到（5），这一变换可以把一个拟线性方程化归为一个线性方程求解。勒让德变换的一般提法n n把以上思想推广。设有n个自变量的函数n n它具有直到二阶的连续微商，取新的一组变量n n (6)n n它们组成对 的一组变量替换，设其Jacobi行列式从（6）就可以把原变量反解出来。得 （7）（8）考虑新函数 n n可以证明 （9）n n 在勒让德变数替换下，两个函数U，和 的关系由（8）给出，对应的变量与函数的关系由（6）和（9）给出。它概括了力学与物理上各种作用
15、量之间的关系。n n在力学中常见的内能 与自由能 之间有关系 。n n变形能密度 与余变形能 密度之间有关系。它们都是勒让德变换的实例它们都是勒让德变换的实例在分析力学中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函数是T为动能，U为势能。哈米尔顿函数与拉格朗日函数之间的关系是这实际上也是一个勒让德变换。在这个变换下，拉格朗日方程就变换为哈米尔顿方程。从应变能到胡从应变能到胡从应变能到胡从应变能到胡鹫原理也可以归结为勒让德变换鹫原理也可以归结为勒让德变换鹫原理也可以归结为勒让德变换鹫原理也可以归结为勒让德变换 令令令令 分别为弹性体的位移场、应力张量场和分别为弹性体的位移场、应力张量场和分别为弹性体的位移场、
16、应力张量场和分别为弹性体的位移场、应力张量场和应变应变应变应变 张量场。张量场。张量场。张量场。是应变能密度函数是应变能密度函数是应变能密度函数是应变能密度函数 。D D为弹性体为弹性体为弹性体为弹性体所占的体积。则泛函所占的体积。则泛函所占的体积。则泛函所占的体积。则泛函 取驻值的充分必要条件是取驻值的充分必要条件是取驻值的充分必要条件是取驻值的充分必要条件是 我们列举了力学中的一些重要变换。通过这些变换以及在变换之下讨论不变量的思想，一直是力学乃至物理学研究客观规律的一种主导方法。这种方法指引下已经取得了许多重要成果，而且还在发挥着重要作用。1.我们可以说力学和物理研究的内容就是研究物质运
17、动在时间和空间变换下不变的性质。不同的变换觉得了不同的研究领域。2.人们对变换研究的范围，随着历史的发展也在不断地扩充。开始是研究坐标的变换，后来研究坐标与时间的变换。再后来考虑速度以及各种导数的变换，最后像勒让德变换那样，讨论未知函数也参与变换。于是我们有正则变换、接触变换、贝克隆变换、达布变换等等。力学和物理越发展，所引进的变换就越多。结结 论论结 论n 3.通过研究变换可以把问题分类，以区分不同问题的类型。n 4.通过变换可以把问题化简，化归到同一等价类的最简单的情形来求解。n 5.不同的变换下有不同的不变量，求得了不变量往往就得到动力学问题的一个第一积分，甚至得到问题的解。n 6.力学
18、和物理的许多规律往往表述为一定的方程或等式。方程和等式从另外的角度来看，也可以看作是一种特别的不变量。所以对变换和不变量的讨论实际上关系着整个力学和物理学的发展参参 考考 文文 献献n n武际可、王敏中、王玮，弹性力学引论（修订版），北武际可、王敏中、王玮，弹性力学引论（修订版），北京大学出版社，京大学出版社，20012001年年n n ，19821982年年n nPeter Peter J.OlverJ.Olver，Applications of Lie Groups to Differential Applications of Lie Groups to Differential EquationsEquations，Springer-Springer-VerlagVerlag，19891989