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1、双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 （二）（二）双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 （二）（二）我们的目标：我们的目标：2、掌握共渐近线的双曲线系方程、掌握共渐近线的双曲线系方程 及其应用。及其应用。1、巩固双曲线的几何性质。、巩固双曲线的几何性质。3、解决直线被双曲线所截得的解决直线被双曲线所截得的 弦长问题弦长问题。一、特征三角形：一、特征三角形：双曲线双曲线 渐近线方程为渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为焦点到渐近线的距离为 .如右图一，在如右图一，在OAB中，中，OA=.AB=.OB=.e=.点点B的坐标为的坐标为 ，过过B作作x轴的垂线为：轴的垂线为：.(如图二如图二)
2、如图三如图三,A,A1 1A A2 2为双曲线的实轴为双曲线的实轴,B B1 1B B2 2为双曲线的虚轴为双曲线的虚轴,OCD中中,OC=.CD=.OD=.e=.图一图一图二图二图三图三bCba双曲线的准线双曲线的准线abC同上同上yxoF2MF1ABDC通径：通径：与实轴垂直的焦点弦。与实轴垂直的焦点弦。焦点弦：焦点弦：过双曲线一个焦点的过双曲线一个焦点的直线截双曲线所得的线段。直线截双曲线所得的线段。焦半径：焦半径：双曲线上的点到焦点双曲线上的点到焦点的线段（焦半径公式）。的线段（焦半径公式）。请指出右图中的焦半径，焦点弦和通径请指出右图中的焦半径，焦点弦和通径.二、弦长中的最值问题：二
3、、弦长中的最值问题：例例1.1.直线直线 l 过双曲线过双曲线C：的左焦点，的左焦点，若若 l 只与只与C的左支相交，弦长的最小值为的左支相交，弦长的最小值为 .若若 l 与与C的左右两支都相交，弦长的最小值为的左右两支都相交，弦长的最小值为 .设直线设直线 l 截双曲线截双曲线C所得的弦长为所得的弦长为d：若若d9/2,满足条件的直线满足条件的直线 l 有有 条条 若若d9/2,满足条件的直线满足条件的直线 l 有有 条条 若若9/2d8,满足条件的直线满足条件的直线 l 有有 条条9/2801234y yxoF F2 2F F1 1A AB BD DC C过双曲线过双曲线C 的右焦点的右焦
4、点F2作直线作直线 l：（1）若若 l 只与只与C的右支相交，的右支相交，所得的弦长中所得的弦长中通径最短（试证明），通径长为通径最短（试证明），通径长为 。截得的弦长大于通径的直线截得的弦长大于通径的直线 l 有有 条。条。截得的弦长小于通径的直线截得的弦长小于通径的直线 l 有有 条。条。（2）若）若 l 与与C的左右两支都相交，的左右两支都相交，所得的弦长中实轴所得的弦长中实轴最短（试证明）最短（试证明）,为为 。截得的弦长大于截得的弦长大于2a的直线的直线 l 有有 条。条。截得的弦长小于截得的弦长小于2a的直线的直线 l 有有 条。条。练习练习：过双曲线过双曲线 的右焦点作直线的右焦
5、点作直线 l，交双曲线于交双曲线于A,B两点，若两点，若ABAB5 5，则这样的直线则这样的直线 l 有有 条。条。202a204xyoab已知渐近线和双曲线上的已知渐近线和双曲线上的点可否判断双曲线焦点在点可否判断双曲线焦点在哪个轴上哪个轴上?（1）想一想想一想?以以y=为渐近线的双为渐近线的双曲线有哪些，可如何表示？曲线有哪些，可如何表示？（2）0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线（且且(2)对对于方程于方程和和所表示的双曲所表示的双曲线线有如下有如下结论结论：（1）有相同的
6、顶点（2）有相同的焦点 （3）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线 （5）有相同的准线 其中正确的是 ()A.（1）（4）B.（2）（4）C.（3）（4）D.（4）（5）提示：提示：对于方程 而对于方程 显然分别是a，b，c的 倍，因此倍，因此这两条双曲线的离心率相同，渐近线也相同。小结：小结：1.1.用弦长公式计算时与椭圆是一样的用弦长公式计算时与椭圆是一样的2.2.过焦点的弦用定义计算时是有差异的：（若弦过过焦点的弦用定义计算时是有差异的：（若弦过F F1 1）如果弦端点如果弦端点A A，B B在不同支上，则有在不同支上，则有|AB|=|AB|=|BF|BF1 1|-|AF|-|AF1 1
7、|如果弦端点如果弦端点A A，B B在同一支上，则有在同一支上，则有|AB|=|BF|AB|=|BF1 1|+|AF|+|AF1 1|（若弦过若弦过F F2 2时，也可类似处理）时，也可类似处理）四、弦长及焦三角形面积的计算四、弦长及焦三角形面积的计算例例2.2.经过双曲线经过双曲线 的左焦点的左焦点F1,作倾斜角为作倾斜角为 的弦的弦AB.(1)求求AB;(2)求求F F2 2ABAB的周长的周长l(其中其中F F2 2为双曲线的右焦点。为双曲线的右焦点。)(3)(3)求求F2AB的面积的面积S.变式一：变式一：经过双曲线经过双曲线 的左焦的左焦F1，作倾斜角为作倾斜角为 的弦的弦AB.(1
8、)求求AB;(2)求求F F2 2ABAB的周长的周长L(L(其中其中F F2 2为双曲线的右焦点。为双曲线的右焦点。)(3)求求F2AB的面积的面积S.(与椭圆大同小异与椭圆大同小异)333例例例例3:3:3:3:给定椭圆给定椭圆给定椭圆给定椭圆 ,求和这椭圆有公共焦点的求和这椭圆有公共焦点的求和这椭圆有公共焦点的求和这椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，求出相应四边形各顶点的坐标。求出相应四边形各顶点的坐标。求出相应四边
9、形各顶点的坐标。求出相应四边形各顶点的坐标。解：解：解：解：已知椭圆为已知椭圆为已知椭圆为已知椭圆为 ，焦点，焦点，焦点，焦点F F1 1(0 0，2 2),),),),F F2 2(0 0，-2)-2)，设双曲线方程为设双曲线方程为设双曲线方程为设双曲线方程为 由椭圆和双曲线关于坐标由椭圆和双曲线关于坐标由椭圆和双曲线关于坐标由椭圆和双曲线关于坐标 轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，其面积其面积其面积其面积,由由由由 当且仅当当且仅当当且仅当当
10、且仅当 ,即即即即 a a2 2=2=2时等号成立，时等号成立，时等号成立，时等号成立，双曲线方程为双曲线方程为双曲线方程为双曲线方程为 四边形四个顶点的坐标是四边形四个顶点的坐标是四边形四个顶点的坐标是四边形四个顶点的坐标是 课后小结：课后小结：1、双曲线的、双曲线的2个特征三角形个特征三角形2、几何法作双曲线的准线、几何法作双曲线的准线3、过焦点的直线交双曲线所得的弦长中：、过焦点的直线交双曲线所得的弦长中：1)若直线只和双曲线的一支相交，通径最短若直线只和双曲线的一支相交，通径最短 2)若直线和双曲线的两支都相交，实轴最短若直线和双曲线的两支都相交，实轴最短4、弦长的求法：、弦长的求法：
11、1)1)用弦长公式计算时与椭圆是一样的用弦长公式计算时与椭圆是一样的 2)2)过焦点的弦用定义计算时和椭圆是有差异的：过焦点的弦用定义计算时和椭圆是有差异的：（若弦过（若弦过F F1 1）如果弦端点如果弦端点A A，B B在不同支上，则有在不同支上，则有|AB|=|AB|=|BF|BF1 1|-|AF|-|AF1 1|如果弦端点如果弦端点A A，B B在同一支上，则有在同一支上，则有|AB|=|BF|AB|=|BF1 1|+|AF|+|AF1 1|（若弦过若弦过F F2 2时，也可类似处理）时，也可类似处理）作业：作业：1.1.纠错纠错.2.2.复习总结整理复习总结整理.3.3.完成综合试卷完成综合试卷