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1、2 2.6 6幂函数与二次函数幂函数与二次函数 知识梳理-2-知识梳理双基自测211.幂函数(1)幂函数的定义:形如(R)的函数称为幂函数,其中x是,是.(2)五种幂函数的图象y=x 自变量 常数 知识梳理-3-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质 R R R 0,+)x|xR,且x0 R 0,+)R 0,+)y|yR,且y0 增 x0,+)时,增,x(-,0)时,减 增 增 x(0,+)时,减,x(-,0)时,减 知识梳理-4-知识梳理双基自测212.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.f(x)=ax2+bx+c(a0)f
2、(x)=a(x-h)2+k(a0)(h,k)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)x1,x2 知识梳理-5-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质 知识梳理-6-知识梳理双基自测21知识梳理2-7-知识梳理双基自测341 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)知识梳理-8-知识梳理双基自测23412.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)f(0)f(2)B.f(0)f(-2)f(2)C.f(2)f(0)f(-2)D.f(0)f(2)f(-2)答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理-9-知识梳理双基自测23413.若幂函
3、数 的图象不经过原点,则实数m的值为.答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理-10-知识梳理双基自测23414.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点 则此函数的解析式为;在区间上单调递减.答案解析解析关闭 答案解析关闭-11-考点1考点2考点3例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(nZ)在(0,+)内是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2A.bacB.abcC.bcaD.ca0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)内单调递增.(3)当1时,曲
4、线下凸;当01时,曲线上凸;当0时,曲线下凸.-13-考点1考点2考点33.比较幂值大小的常见类型及解决方法:(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较;(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较;(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.-14-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)已知幂函数f(x)的图象经过点 ,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2f(x2);x1f(x1)x2f(x2);其中正确结论的序号是()A.B.C.D.答案解析解析关闭 答案解析关闭-15-考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f
5、(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思考求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3解法三(利用交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.-19-考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴
6、、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.-20-考点1考点2考点3对点训练对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=.答案解析解析关闭 答案解析关闭-21-考点1考点2考点3考向一二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x-2,a,若函数的最小值为m,求m.思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?-22-考点1考点2考点3解函数y=x2-2x=(x-1)2-1,对称轴为直线x=1,x=1不一定在区间-2,a内,当-21时,函数在-2,1上单调递减,在1,a上单调递增,则当x=1时,y取得最
7、小值,即ymin=-1.-23-考点1考点2考点3考向二与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.思考如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭 答案解析关闭-24-考点1考点2考点3考向三二次函数中的恒成立问题例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)x+k在区间-3,-1上
8、恒成立,求k的取值范围.思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?-25-考点1考点2考点3解(1)函数f(x)的最小值为f(-1)=0,a=1,b=2.f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-,-1,单调递增区间为-1,+).(2)f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,等价为x2+x+1k在区间-3,-1上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上单调递减.故g(x)min=g(-1)=1.因此k1,即k的取值范围为(-,1).-26-考点1考点2考点3解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论
9、哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x0a,b,使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在a,b上的取值范围是f(x0)在a,b上的取值范围的子集,即3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值.-27-考点1考点2考点3对点训练对点训练3(1)若函数f(x)=x2+ax+b在区
10、间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关(2)已知当x0,1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a有最大值2,则a的值为.(3)已知a是实数,当x-1,1时,函数f(x)=2ax2+2x-3恒小于零,则a的取值范围为.答案 答案关闭-28-考点1考点2考点3所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.(2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.当a1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2.综上可知,a=-1或a=2.-29-考点1考点2考点3(3)由题意知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立.当x=0时,-30,符合题意;