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1、 提提纲18-10 势垒贯穿（隧道效穿（隧道效应）18-9 一一维无限深方无限深方势阱阱 隧道效隧道效应和和扫描隧道描隧道显微微镜STM 薛定薛定谔方程方程 标准化条件及解的物理意准化条件及解的物理意义。几点几点讨论 力力场中粒子的薛定中粒子的薛定谔方程方程 定定态薛定薛定谔方程方程18-8 薛定薛定谔方程方程 自由粒子的自由粒子的 薛定薛定谔方程方程作作业：18-28、29、3218-8 薛定薛定谔方程方程 在量子力学中，微在量子力学中，微观粒子的运粒子的运动状状态由波函数由波函数 来描写；状来描写；状态随随时间的的变化遵循着一定的化遵循着一定的规律。律。1926年，薛定年，薛定谔在德布在德
2、布罗意关系和意关系和态叠加原理叠加原理 的基的基础上，提出了薛定上，提出了薛定谔方程做方程做为量子力学的量子力学的 又一个基本假又一个基本假设来描述微来描述微观粒子的运粒子的运动规律。律。本章将本章将简单介介绍量子体系的运量子体系的运动状状态如何用如何用 波函数波函数来描述；力学量如何用来描述；力学量如何用力学量算符力学量算符来来 描述。描述。建立薛定建立薛定谔方程的主要依据和思路：方程的主要依据和思路：*要研究的微要研究的微观客体具有波粒两象性，客体具有波粒两象性，应该满足足 德布德布罗意关系式意关系式*满足非相足非相对论的能量关系式，的能量关系式，对于一个能量于一个能量为E，质量量为m，动
3、量量为P的粒子：的粒子：*若若 是方程的解，是方程的解，则 也是它的解；也是它的解；若波函数若波函数 与与 是某粒子的可能是某粒子的可能态，则 也是也是该粒子的可能粒子的可能态。因此，因此，波函数波函数应遵从遵从线性方程性方程。*自由粒子的外自由粒子的外势场应为零。零。自由粒子的自由粒子的 薛定薛定谔方程方程沿沿x方向运方向运动的的动能能为E和和动量量为 的自由粒子的波函数的自由粒子的波函数为自由粒子的自由粒子的质量，因量，因为势能能为零，所以零，所以所以得出一所以得出一维自由粒子运自由粒子运动所遵从的薛定所遵从的薛定谔方程：方程：一个一个动能能为E和和动量量为 ，即，即波矢波矢为 的自由粒子
4、，在坐的自由粒子，在坐标表象的波函数：表象的波函数：同同样推广到三推广到三维如下：如下：显然，波函数然，波函数对时间求求导，可得出：，可得出：波函数波函数对空空间求求导可得出：可得出：定定义算符：算符：则得：得：考考虑自由粒子的能量：自由粒子的能量：又因又因为：得出：得出：许多多单色平面波色平面波线性叠加的性叠加的态仍是上述方程的解。仍是上述方程的解。自由粒子的自由粒子的 薛定薛定谔方程方程量子体系的运量子体系的运动状状态由由波函数波函数来描述，来描述，力学量用力学量力学量用力学量算符算符来描述。来描述。在一个确定的量子体系中在一个确定的量子体系中测量某些力学量的量某些力学量的值，不一定有确定
5、不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的。若其中某个力学量有确定的 测量量值，则该波函数所描述的状波函数所描述的状态是是该力学量力学量 的的本征本征态。下面下面简单介介绍量子力学算符和量子力学算符和 经典力学中的力学量的典力学中的力学量的对应关系：关系：前面已前面已经从从经典自由典自由 粒子的波函数得出了粒子的波函数得出了 它它应满足的方程，从足的方程，从 中我中我们可得到些启示，可得到些启示，从上式推从上式推导可知若有如下可知若有如下对应关系：关系：可得出：可得出：动量量 算符算符动能能 算符算符 力力场中粒子的薛定中粒子的薛定谔方程方程如果粒子在如果粒子在势场 中运中运动，能量：，能量：其
6、薛定其薛定谔方程：方程：定定义哈密哈密顿算符算符：（也称能量算符）（也称能量算符）则薛定薛定谔方程方程为：称称 为在坐在坐标表象中的表象中的势能算符。能算符。定定态薛定薛定谔方程方程两两边除以除以 可得：可得：若作用在粒子上的若作用在粒子上的势场 不不显含含时间 t 时，在在经典力学中典力学中这相相应于粒子机械能守恒的情于粒子机械能守恒的情 况，薛定况，薛定谔方程可用分离方程可用分离变量法求它的特解。量法求它的特解。由于空由于空间变量与量与时间变量相互独立，所以等式两量相互独立，所以等式两边 必必须等于同一个常数，等于同一个常数，设为E则有：有：可可见E具有能量的量具有能量的量纲 与自由粒子波
7、函数与自由粒子波函数类比比 它代表粒子的能量。它代表粒子的能量。把常数把常数A归到空到空间部分，部分，薛定薛定谔方程的特解方程的特解为：定态波函数对应的几率密度与的几率密度与时间无关。无关。由由这种形式的波函数所描述的状种形式的波函数所描述的状态称之称之为定定态。其波函数其波函数为定定态波函数。波函数。定定态薛定薛定谔方程方程下面将举例求解处于定于定态下的粒子具有确定的能量下的粒子具有确定的能量E、粒子在空粒子在空间的的 概率密度分布不随概率密度分布不随时间变化，而且力学量的化，而且力学量的测量量值的的 几率分布和平均几率分布和平均值都不随都不随时间变化。化。18-9 一一维无限深方无限深方势
8、阱阱以一以一维定定态为例，求解已知例，求解已知势场的定的定态薛定薛定谔方程。方程。了解怎了解怎样确定定确定定态的能量的能量E，从而看出能量量子化是，从而看出能量量子化是 薛定薛定谔方程的自然方程的自然结果。果。已知粒子所已知粒子所处的的势场为：粒子在粒子在势阱内受力阱内受力为零，零，势能能为零。零。在阱外在阱外势能能为无无穷大，在阱壁上受大，在阱壁上受 极大的斥力。称极大的斥力。称为一一维无限深方无限深方势阱阱。其定其定态薛定薛定谔方程方程：在阱内粒子在阱内粒子势能能为零，零，满足：足：在阱外粒子在阱外粒子势能能为无无穷大，大，满足足：方程的解必方程的解必处处为零零。根据波函数的根据波函数的标
9、准化条件，在准化条件，在边界上界上所以，粒子被束所以，粒子被束缚在阱内运在阱内运动。在阱内的薛定在阱内的薛定谔 方程可写方程可写为：类似于似于简谐振子的方程，其通解：振子的方程，其通解：代入代入边界条件得：界条件得：所以，所以，n不能取零，否不能取零，否则无意无意义。因因为结果果说明粒子被束明粒子被束缚在在势阱中，能量只能阱中，能量只能 取一系列分立取一系列分立值，即它的能量是量子化的。，即它的能量是量子化的。结论：由由归一化条件一化条件一一维无限深方无限深方势阱中运阱中运动的粒子其波函数：的粒子其波函数：讨论：#零点能的存在零点能的存在 称称为基基态能量。能量。#能量是量子化的。是由能量是量
10、子化的。是由标准化条件而来。准化条件而来。能能级间隔：隔：当当 能能级分布可分布可视为连续的。的。#称称 为量子数；量子数；为本征本征态；为本征能量。本征能量。o一一维无限深方无限深方势阱中粒子的能阱中粒子的能级、波函数和几率密度、波函数和几率密度稳定的定的驻波能波能级n+1个个节点点能量本征能量本征值 对应的能量本征函数的能量本征函数 组成成完完备的集合。能量量子数的集合。能量量子数n从从1至至 在坐在坐标表象中任何一个叠加表象中任何一个叠加态的波函数都可用的波函数都可用这一一 组完完备的本征函数展开。的本征函数展开。这组完完备集合集合满足足正交性正交性。所所谓叠加叠加态，就是各本征，就是各
11、本征态以一定的几率、以一定的几率、确定的本征确定的本征值、独立完整的存在于其中。、独立完整的存在于其中。实验上物理量的上物理量的测量量值，是各参加叠加，是各参加叠加态 的可能的本征的可能的本征态的本征的本征值。可以用本征。可以用本征态 出出现的几率来的几率来计算物理量的平均算物理量的平均值。18-10 势垒贯穿（隧道效穿（隧道效应）在在经典力学中典力学中,若若 ,粒子的粒子的动能能 为正正,它只能在它只能在 I 区中运区中运动。OIIIIII定定态薛定薛定谔方程方程 的解又如何呢？的解又如何呢？令：三个区三个区间的薛定的薛定谔方程化方程化为：IIIIII若考若考虑粒子是从粒子是从 I 区入射，
12、在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波 反射波；粒子从反射波；粒子从I区区经过II区穿区穿过势垒到到III 区，区，在在III区只有透射波。粒子在区只有透射波。粒子在处的几率要大的几率要大 于在于在处出出现的几率。的几率。其解其解为：根据根据边界条件界条件：求出解的形式画于求出解的形式画于图中。中。定定义粒子穿粒子穿过势垒的的贯穿系数：穿系数：IIIIII隧道效应当当 时，势垒的的宽度度约50nm 以上以上时，贯穿系数会小六个数量穿系数会小六个数量级以上。隧道效以上。隧道效应在在 实际上已上已经没有意没有意义了。量子概念了。量子概念过渡到渡到经典了。典了。隧道效隧道效应和和扫描隧道描隧道显
13、微微镜STM由于由于电子的隧道效子的隧道效应，金属中的，金属中的电子并不完全局限于子并不完全局限于 表面表面边界之内，界之内，电子密度并不在表面子密度并不在表面边界界处突突变为零，零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越度越为1nm。只要将原子只要将原子线度的极度的极细探探针 以及被研究物以及被研究物质的表面作的表面作为 两个两个电极，当极，当样品与品与针尖的尖的 距离非常接近距离非常接近时，它，它们的表的表 面面电子云就可能重叠。子云就可能重叠。若在若在样品与品与针尖之尖之间 加一微小加一微小电压Ub电子子 就会穿就会穿过电极极间的的势 垒形成隧道形成隧
14、道电流。流。隧道隧道电流流对针尖与尖与样品品间的距离十分敏感。的距离十分敏感。若控制隧道若控制隧道电流不流不变，则探探针在垂直于在垂直于样品品 方向上的高度方向上的高度变化就能反映化就能反映样品表面的起伏。品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy因因为隧道隧道电流流对针尖与尖与样品品间的距离十分敏感。的距离十分敏感。若控制若控制针尖高度不尖高度不变，通，通过隧道隧道电流的流的变化可化可 得到表面得到表面态密度的分布；密度的分布；使人使人类第一次能第一次能够实时地地观 测到到单个原子在物个原子在物质表面上表面上 的排列状的排列状态以及与表面以及与表面电子子 行行为
15、有关的性有关的性质。在表面科。在表面科 学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意域中有着重大的意义和广和广 阔的的应用前景。用前景。空气隙空气隙STM工作示意工作示意图样品品探探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上 原子的台原子的台阶、平台和原子、平台和原子 阵列。可以直接列。可以直接绘出表面出表面 的三的三维图象象利用光学中的受抑全反射理利用光学中的受抑全反射理论，研制，研制 成功光子成功光子扫描隧道描隧道显微微镜（PSTM)。1989年提出成象技年提出成象技术。它可用于不它可用于不导电样品的品的观察。察。STM样品必品必须具有一定程度的具有一定程度的导电性；性；在恒流工作模式下有在恒流工作模式下有时对表面某些沟表面某些沟 槽不能准确探槽不能准确探测。任何一种技。任何一种技术都有都有 其局限性。其局限性。