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1、第二章 随机变量习题课内容小结内容小结典例分析典例分析综合练习综合练习作业点评作业点评离散型离散型r.v的分布律的分布律连续型连续型r.v的的概率密度概率密度分布函数分布函数的性质的性质 分布律分布律与分布函数与分布函数 的关系的关系概率密度概率密度与分布函数与分布函数的关系的关系r.v及其概率分布及其概率分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布 正态分布正态分布指数分布指数分布均匀分布均匀分布一、内容小结一、内容小结一、内容小结一、内容小结1.重点概念重点概念:随机变量随机变量,分布函数分布函数,分布律分布律(离散型离散型),),概率密度函数概率密度函数(连续型连续型)。2.重点公式重点公式:B
2、.分布函数与概率密度函数之间的转化分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型连续型)A.分布律、概率密度函数的性质：分布律、概率密度函数的性质：C.联合分布联合分布 边缘分布边缘分布离散型离散型:D.边缘分布边缘分布+独立性独立性 联合分布联合分布 X,Y X,Y连续型且相互独立连续型且相互独立连续型且相互独立连续型且相互独立,则：则：则：则：X,YX,Y离散型且相互独立离散型且相互独立离散型且相互独立离散型且相互独立,则：则：则：则：A.利用分布函数及概率密度函数的性质解题利用分布函数及概率密度函数的性质解题.B.利用概率密度函数计算概率利用概率密度函数计算概率,随机变量随机变量X(或或(X,
3、Y)落在某区间落在某区间I(或某或某区域区域 G)的概率为的概率为 3.3.主要方法主要方法主要方法主要方法 C.求随机变量的函数的分布求随机变量的函数的分布,先求分布函数先求分布函数,再求导，求概率密度函数再求导，求概率密度函数.X 连续型连续型,y=g(x)为连续函数，则为连续函数，则Y=g(X)为连续型为连续型(X,Y)连续型连续型,z=g(x,y)为二元连续函数为二元连续函数,则则Z=g(X,Y)为连续型为连续型4.4.常见的重要分布常见的重要分布常见的重要分布常见的重要分布 A.二项分布二项分布,X服从服从b(n,p)B.Poisson分布分布,X服从服从()C.C.均匀分布均匀分布
4、均匀分布均匀分布D.D.指数分布指数分布指数分布指数分布E.E.正态分布正态分布正态分布正态分布F.F.二维正态分布二维正态分布二维正态分布二维正态分布课本课本P70,T5(2)(2)设设r.vX的分布律为的分布律为试确定常数试确定常数b；解：解：二、作业点评二、作业点评错解：错解：再对上式取极限得：再对上式取极限得：P70T6(2)(2)设随机变量的分布律为设随机变量的分布律为解：解：错解：错解：注：注：如果如果X是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则12345P71T8P71T8 有甲有甲,乙两种味道的酒各乙两种味道的酒各4杯杯,颜色相同。从颜色相同。从 中挑中挑4杯便能将杯便能将 甲甲
5、 种酒全部挑出，算是试验成功种酒全部挑出，算是试验成功.(1)某人随机地去挑某人随机地去挑,问他试验成功的概率问他试验成功的概率.(2)某人通过品尝区分两种酒某人通过品尝区分两种酒,他连续试验他连续试验10次次,结果成功结果成功3次次,问此人是否确有品尝区分的能力问此人是否确有品尝区分的能力.解解:(1)所求概率为所求概率为:1/=1/70(2)假设此人无品尝区分的能力假设此人无品尝区分的能力,记记X为为10次试验中成功次数次试验中成功次数 Xb(10,1/70)显然显然X=3是一小概率事件是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生根据小概率事件几乎不可能发生原理原理,可以认为原假设不对可以
6、认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力故此人有一定品尝区分能力.解法一解法一：（1）由于连续型随机变量由于连续型随机变量X的分布函数是连续的的分布函数是连续的（2）求求:(1)常数常数 A (2)概率密度函数概率密度函数 (3)P72,T16P72,T16 设连续型设连续型r.vX的分布函数为的分布函数为 以下同解法一以下同解法一 解法二：解法二：(3)或或 知道分布函数，求落在知道分布函数，求落在某区间的概率，没有必某区间的概率，没有必要对概率密度积分了，要对概率密度积分了，因为这样麻烦，直接用因为这样麻烦，直接用分布函数即可分布函数即可.P72,T17P72,T17 已知已知r.vX的概
7、率密度为的概率密度为:求其分布函数求其分布函数F(x)解解:yx12 0P72T20P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 某顾客的习惯是某顾客的习惯是,等待时间超过等待时间超过10分钟便离开分钟便离开.现知他一个月要到现知他一个月要到银银 行行5次次,求他未受到服务的次数不少于求他未受到服务的次数不少于1的概率的概率.分析分析:顾客一个月内顾客一个月内未受到服务未受到服务的次数为的次数为Y，要求的是要求的是PY 1；“未受到服务未受到服务”的事件的事件A为为X10；P65T25,28,31P65T
8、25,28,31 盒子里装有盒子里装有3只黑球只黑球,2只红球只红球,2只白球只白球.在其中任取在其中任取4 只球只球,以以X表表 示取到黑球的只数示取到黑球的只数,以以Y表示取到红球的只数表示取到红球的只数.解解:(1)Y X 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0 (1)求求X,Y的联合分布律的联合分布律 (2)求求(X,Y)的边缘分布律的边缘分布律 (3)X,Y是否相互独立是否相互独立.(2)X 0 1 2 3 1/35 12/35 18/35 4/35 Y 0 1 2 1/7 4/7 2/7(3)PX
9、=2,Y=1=12/35 PX=2=18/35 PY=1=4/7PX=2PY=1=72/245 12/35=84/245 X与与Y不相互独立不相互独立.P74T30P74T30 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 (1)求边缘概率密度求边缘概率密度 (2)X,Y是否相互独立是否相互独立.解：解：这样做对吗这样做对吗？11-1为确定积分限为确定积分限,先画出被积函数不为先画出被积函数不为0的区域的区域 积分变量积分变量y的取值范围与的取值范围与x有关，讨论有关，讨论x固固定定x x后后对对y y求求积积分分!注注意意取取值值范范围围注意积分限注意积分限同理同理 显然显
10、然 X与与Y不是相互独立的不是相互独立的.11-1P72,T26 设设r.v（X，Y）的概率密度为）的概率密度为求求(1)常数常数k；(2)分布函数。分布函数。解：解：(1)由概率密度函数的性质由概率密度函数的性质(2)解：解：注：注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要 全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只 考虑考虑x0,y0与与x0,y0 时时 FY(y)=PX lny=(lny)分析：分析：一维连续型一维连续型r.v函数的分布，分布函数法。函数的分布，分布函数法。解解:由由X,Y相互独
11、立相互独立,易得易得 (X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)Pij 1/6 1/3 1/8 1/4 1/24 1/12 X+Y 0 1 1 2 2 3 P67T45 X,Y相互独立相互独立,求求X+Y的分布律的分布律 X 0 1 2 Y 0 1 Pk 1/2 3/8 1/8 Pk 1/3 2/3 X+Y 0 1 2 3 Pk 1/6 11/24 7/24 1/12解解:(X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数P76T51P76T51 设设X,Y为相互独立的随机变量为相互独立的随机变量,它们都服从它们都服从 分布分布.证明证明 的概率密度为的概率密度为极坐标
12、变换极坐标变换P75T46设设X和和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为是相互独立的随机变量，其概率密度为其中其中 0,0 为常数，求为常数，求X+Y的概率密度的概率密度解解:Z=X+Y的的概率密度概率密度被积函数的非零区域为被积函数的非零区域为积分得：积分得：G当当 z0时时若求若求 Z=X-Y的的概率密度概率密度f(x,x-z)的非零区域为的非零区域为当当 z0时时当当 z0时时(X,Y)的联合分布为的联合分布为G三三、大大作作业业点点评评一、是非题一、是非题 2、设、设 是离散型随机变量是离散型随机变量 X的分布函数，则恒有的分布函数，则恒有 。不一定等于不一定等于0 。分析：分析：而而
13、 X 是离散型随机变量，是离散型随机变量，因为因为3、函数、函数 为某随机变量为某随机变量X的分布函数。的分布函数。是一个不减函数是一个不减函数,而而在区间在区间上先增后减。上先增后减。分析：分析：5、设、设r.v,则则增大时增大时保持不变。保持不变。分析：分析：不管不管 变不变变不变保持不变。保持不变。1 1、概率等于、概率等于0 0的随机事件即是不可能事件的随机事件即是不可能事件。1 1、设随机变量、设随机变量的密度函数为的密度函数为则使则使成立的常数成立的常数。分析分析：所以所以二、填空题二、填空题由题意知由题意知分析分析：如课后如课后21题题在区域在区域D上服从均匀分布，其中上服从均匀
14、分布，其中D5、设二维设二维r.v是由是由轴，轴，轴及直线轴及直线所围成的三角区域，则所围成的三角区域，则分析：分析：则则1、当、当时，时，可以是随机变量可以是随机变量的概率密度函数的概率密度函数概率密度函数有如下性质：概率密度函数有如下性质：在区间在区间上满足上面两条性质，故选（上满足上面两条性质，故选（A）。）。分析：分析：三、选择题三、选择题4、设、设相互独立，且都服从相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，则上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 。分析：分析：故选（故选（A）。另三个选项可按求随机变量函数的分布函）。另三个选项可按求
15、随机变量函数的分布函数的方法求。数的方法求。由已知得到由已知得到分析：分析：的分布函数为的分布函数为1、设、设D.r.v 的分布律为的分布律为 A为常数为常数求求(1)常数常数A；（2）的分布函数的分布函数的分布律，的分布律，的分布律。的分布律。四、解答题四、解答题(1)X的分布律为的分布律为公式形式公式形式然后用定义求然后用定义求 由于由于X=-1,0,1,2,故将故将定定义域义域分成分成注：除第一个区间外后面的区间为左闭右开。注：除第一个区间外后面的区间为左闭右开。如课后如课后5,6,40,41题题2、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为试求试求（1）常数）常数A,
16、B;(2)X的概率密度函数的概率密度函数(3)X落在区间落在区间 的概率的概率（4）的概率密度。的概率密度。（1）利用）利用是连续函数这一性质。是连续函数这一性质。求得求得分析：分析：如课后如课后16,17,42题题根据根据y的情的情况讨论况讨论要根据要根据的的定义域再次对定义域再次对 讨论讨论故故如课后如课后26,27,29,42题题5 5如课后如课后34,35题题五、应用题五、应用题四、综合练习四、综合练习例例 在在(0,1)上任意取两个点上任意取两个点,试求两点间的距离的分布函试求两点间的距离的分布函数数.(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数令令Z=|X-Y|,则所求为则所求为FZ(z
17、),解解:设设X为第一个点的坐标为第一个点的坐标,Y为第二个点的坐标为第二个点的坐标,X,Y均服从（均服从（0,1)上的均匀分布上的均匀分布,且且X与与Y相互独立相互独立.11G11GP71T11 有有10台机床，每台发生故障的概率为台机床，每台发生故障的概率为0.08,而而10台机床工台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至 少要配备几个维修少要配备几个维修工人工人,才能保证有故障而不能及时排除才能保证有故障而不能及时排除 的概率不大于的概率不大于5%。解：解：设设r.vX表示表示10台机床同时发生故障的台数台机床同时发生故障的台数至少要配备至少要配备2个维修工人。个维修工人。XB（10，0.08）设需配备设需配备m个维修工人个维修工人（0 m m如果用如果用 来讨论来讨论m，结，结果果 m=3,正确吗？正确吗？(3)设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为解：解：注：不能说因为注：不能说因为X服从泊松分布，所以服从泊松分布，所以课本课本P70,T5,(3)T32、设（设（X,Y）分布律为）分布律为 分析分析：先求边缘分布律：先求边缘分布律问问:取何值时，取何值时，X，Y相互独立？相互独立？12XY1 2 312XY1 2 3由由X，Y独立性得：独立性得：