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1、2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的综合应用 考点考点考考 纲纲 解解 读读1 1运用数列的概念、公式、运用数列的概念、公式、性质解决简单的实际问题性质解决简单的实际问题以数列知识为载体考查数以数列知识为载体考查数学建模和运用数列知识解学建模和运用数列知识解决实际问题的能力决实际问题的能力.数列的综合应用问题既能考查学生的潜能,又具有较强的区分度,创新应用问题选材也可以用数列为背景,在近几年的高考试题中,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式相关联,还可与三角、几何、复数等知识相结合,题目新颖,难度较大,对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较高,学生
2、面对问题时的心理压力也较大.在复习中要重视紧扣等差、等比数列的性质和定义,做到合理地分析,灵巧地选择公式或性质,找到解决问题的突破口与思路,本节内容在高考中主要考查等差、等比的综合问题,递推与求和的综合,数列与其他知识的综合,数列实际应用.数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解是对基础和能力的双重检验,而三者的证明题是近几年来高考热点.一般情况下,本节内容无论是选择题、填空题还是解答题中都是以中档题与难题为主,难度较大.数列的综合应用通常有三种的类型1.数列知识范围内的综合应用(1)等差、等比数列以及递推数列之间的综合应用;(2)紧扣等差、等比数列的定义和性
3、质,作出合理的分析,灵巧地选择公式或性质解决问题.2.数列的实际应用问题(1)构造等差、等比数列的模型,然后利用数列的通项公式和求和公式求解;(2)通过归纳得到结论,再用数列知识求解.运用数列知识解决实际应用问题时,应在认真审题的基础上,认清问题的那一部分是数列问题,又是哪种数列(等差数列、等比数列)的问题,在a,d(或q),n,an,Sn中哪些量是已知的,哪些量是待求的,特别是认准项数n为多少.充分运用“观察归纳猜想证明”的方法,建立等差(比)数列,递推数列的模型,再综合利用其他相关知识来解决问题.3.数列与其他分支知识的综合应用(1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角等高考重点知识的综合
4、.(2)解决有关此类综合问题时,首先要认真审题、弄清题意,分析出涉及哪些数学分支内容,在每个分支中各是什么问题;其次,要精心分解,把整个大题分解成若干个小题或若干步骤,使它们成为在各自分支中的基本问题;最后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题的结论.1.(2011年房山区期末)已知数列an的通项公式an=log2 (nN*),设其前n项和为Sn,则使Sn-4成立的自然数n有()(A)最大值15.(B)最小值15.(C)最大值16.(D)最小值16.【解析】由已知,Sn=log2+log2+log2+log2=log2,log215且nN*,n的最小值为16.【答案】D2.(2011年范水
5、高中高三数学期末考试)某工厂的产量第二年比第一年增长的百分率是p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,若p1+p2=m(定值),则年平均增长的百分率的最大值是.【解析】设年平均增长的百分率为p,可知(1+p)2=(1+p1)(1+p2)()2,1+p =1+,p,p的百分率的最大值是.【答案】3.(2011年石景山一模理14)函数y=x2(x0)的图象在点(an,)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,nN*,若a1=16,则a3+a5=,数列an的通项公式为.【解析】由导数的几何意义可知,k=2x =2an,所以切线方程为y=2anx-,切线与x轴交点的横坐标0=2anan+1-,可得an+
6、1=an.a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a3+a5=5.an+1=an,an是以16为首项,为公比的等比数列.an=16()n-1=25-n.【答案】525-n4.某单位用3.2万元买了一台工作设备,已知该设备从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元(nN*),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止,一共使用了()(A)600天.(B)800天.(C)1000天.(D)1200天.【解析】由第n天的维修保养费为元(nN*),可以得出整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗
7、资为=+,当且仅当=时取得最小值,此时n=800.【答案】B题型1等差数列与等比数列的综合题例1(2011年浙江卷)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR),设数列的前n项和为Sn,且,成等比数列.(1)求数列an的通项公式及Sn;(2)记An=+,Bn=+,当n2时,试比较An与Bn的大小.【分析】(1)抓住数列中的项的两重身份,由等比中项求出等差数列的公差,从而求出其通项公式与前n项和Sn.(2)由(1)求出的通项公式,利用裂项相消法求An,利用公式法求Bn,利用二项式定理判断An与Bn的大小.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由()2=,得(a1+d)2=a1(a1+3d
8、).因为d0,所以d=a,所以an=na,Sn=.(2)因为=(-),所以An=+=(1-).因为=2n-1a,所以Bn=+=(1-).当n2时,2n=+n+1,即1-0时,AnBn;当aBn.【点评】等差数列、等比数列是两种特殊数列,在处理等差数列与等比数列的综合题时,要注意灵活运用它们的定义、性质,对于等比数列还要注意对公比的讨论.变式训练1已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项,第2n项,按原来顺序组成一个新数列bn,记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达
9、式.(2)由已知得,bn=22n+1=2n+1+1,Tn=b1+b2+bn=(22+23+2n+1)+n=+n=2n+2-4+n.【解析】(1)依题意得解得an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用例2已知二次函数f(x)=x2-(m+2)x+m+2(xR)同时满足:不等式f(x)0的解集有且只有一个元素;在定义域内存在x1,x2,使得x1+x2=0,但f(x1)f(x2).设数列an的前n项和Sn=f(n).(1)求f(x)的表达式;(2)求数列an的通项公式.【分析】由不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,可得=0,再
10、由Sn可得an.【解析】(1)f(x)0的解集有且只有一个元素,=-(m+2)2-4(m+2)=0,m=-2或m=2.当m=-2时,函数f(x)=x2是一个偶函数,故不存在x1,x2,使得x1+x2=0,且f(x1)f(x2).当m=2时,函数f(x)=x2-4x+4,在定义域内存在x1,x2,使得x1+x2=0,且f(x1)f(x2),故f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,an=【点评】以函数知识为背景,以数列知识为辅,考查学生对知识的综合把
11、握,符合高考题在知识的交汇处出题的特点.变式训练2(江西省南康中学2011届下学期高三理科数学二轮专题复习)已知函数f(x)=(xR),点P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数f(x)图象上的两个点,且线段P1P2的中点P的横坐标为.(1)求证:点P的纵坐标是定值;(2)若数列an的通项公式为an=f()(mN*,n=1,2,m),求数列an的前m项Sm.【解析】(1)由题可知:x1+x2=2=1,所以y1+y2=f(x1)+f(x2)=+=.点P的纵坐标yp=是定值,问题得证.(2)由(1)可知:对任意自然数m,n,f()+f()=恒成立.由于Sm=f()+f()+f()+f()+f(
12、)故可利用倒序求和的方法.Sm=f()+f()+f()+f()+f(),Sm=f()+f()+f()+f()+f(),2Sm=f()+f()+f()+f()+f()+f()+2f()=(m-1)+2f(1)=(3m-1),所以Sm=(3m-1).例3(2011年湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.题型3数列在实际问题中的应用(1)求第n年初M的价值an的表达式;(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须
13、在第9年初对M更新.【分析】分析理解题意,与等差、等比数列的定义相联系,注意分类讨论求数列的和,借助数列的单调性求范围.【解析】(1)当n6时,数列an是首项为120,公差为-10的等差数列.an=120-10(n-1)=130-10n,当n6时,数列an是以a6为首项,公比为的等比数列,又a6=70,所以an=70()n-6.因此,第n年初,M的价值an的表达式an=(2)设Sn表示数列an的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当1n6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;当n7时,Sn=S6+(a7+a8+an)=570+7041-()n-6=78
14、0-210()n6,An=,因为an是递减数列,所以An是递减数列,又A8=8280,A9=7680,所以须在第9年初对M更新.【点评】在实际问题中,常出现等差数列或等比数列模型,利用所学到的等差、等比数列的知识便可使问题顺利解决.数列是特殊的函数,从而常与函数的特性联系起来.变式训练3某油库已储油料a吨,按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%,且每年运出b吨.设an为正式运营后第n年的储油量.(1)写出an的表达式;(不要求证明)(2)为抵御突发事件,该油库年底储油量不得少于a吨,如果b=a,该油库能否长期按计划运营?如果可以,请加以证明;
15、如果不行,请说明理由.(取lg2=0.30,lg3=0.48)【解析】(1)依题意,油库原有储油量为a吨,则a1=a-b,a2=a1-b=()2a-(+1)b,a3=a2-b=()3a-()2+1b.猜想:an=()na-()n-1+()n-2+1b=()na-4()n-1b(nN*).(2)当b=a时,该油库第n年年底储油量不少于a吨,即()na-4()n-1aa,即()n3,nlo3=4.8.所以不能长期运营.1.等差、等比数列是基本数列,往往结合实际问题出题,并与递推公式相联系,主要应用函数与方程、分类讨论、化归、整体等思想来解题.2.在解数列应用题时,要重视建模的方法,将实际问题转化为数列问题.3.探索型问题是高考数列题中的重要题型之一,该问题有两种形式:其一是不知结论,经过自己去探索、发现,从而得到结论.思维过程是:“观察分析归纳猜想证明”.其二是“存在性”问题,解题思路是:假设满足条件的对象存在,在此基础上,寻找出对象存在的条件,从而肯定假设;或推导出矛盾,从而推翻假设,得出结论.