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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学第 2 章 变化率与导数章末分层突破学案北师大版选修 2-2 自我校对 加法与减法乘法与除法复合函数导数的定义函 数f(x)在 点xx0处 的 导 数 是f(x)在x0点 附 近 的 平 均 变 化 率yxf（x0 x）f（x0）x；当 x趋于 0 时的极限，即f(x0)limx0yx，这是数学上的“逼近思想”.对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和x0 的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形.利用导数的定义求函数yx21的导数.【精彩点拨】根据求导的步骤求解
2、即可.【规范解答】y limx0yxlimx0f（xx）f（x）x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学limx0（xx）2 1x21xlimx02xx（x）2x（x x）21x21limx02xx（xx）2 1x21xx21.再练一题 1.设f(x)在x处可导，则 limx0f（xh）f（xh）2h()A.2f(h)B.12f(x)C.f(x)D.4f(x)【解析】limx0f（xh）f（xh）2hlimx0f（xh）f（x）f（x）f（xh）2h12limx0f（xh）f（x）h12limx 0f（x）f（xh）hf(x).【答案】C 导数的几何意义利用导数的几何意义求切
3、线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0 x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.【规范解答】(1)可判定点(2，
4、6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2)，即y13x 32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x20 1，y0 x30 x016，直线l的方程为y(3x201)(xx0)x30 x016.又直线l过点(0，0)，0(3x20 1)(x0)x30 x016，整理得，x30 8，x0 2.y0(2)3(2)16 26，得切点坐标为(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).再练一题
5、 2.已知函数f(x)xaln x(aR).当a2 时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程.【解】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.当a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.求函数的导数求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决
6、一些切线斜率、瞬时速度等问题.求下列函数的导数.(1)y(1 x2)cos x；(2)yln xx 2x；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(3)yeax2bx.【精彩点拨】认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算.【规范解答】(1)y(1 x2)cos x，y 2xcos x(1 x2)(sin x)2xcos xsin xx2sin x.(2)yln xx2x，y（ln x）xxln xx22xln 2 1ln xx22xln 2.(3)yeu，uax2bx.yyuux eu(ax2bx)eu(2a
7、xb)(2axb)eax2bx.再练一题 3.求下列函数的导数.(1)yx x21x1x3；(2)y3x2xx5x9x；(3)y1ln2x.【解】(1)yx x21x1x3x311x2，y 3x22x3.(2)y3x32x5 9x-12，y 3(x32)x5 9(x-12)92x12192x-3292x11x21.(3)yu12，u1v2，v ln x.yyuuvvx12u-122v1x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1211ln2x2ln x1xln xx1ln2x.转化与化归思想为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的转化，以使问题易于理解.本章中转化与化
8、归思想主要体现在平均速度与瞬时速度的转化，平均变化率与瞬时变化率的转化.复合函数的导数f(x)f(u)(x)是利用两个简单函数导数的积求得，其中也体现了转化与化归思想.已知直线x2y40 与抛物线y2x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使ABP的面积最大.【精彩点拨】因为|AB|为定值，故使ABP的面积最大，只需求点P到AB的距离最大，问题转化为求平行于直线AB的切线的切点即可.【规范解答】设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图.由于直线x2y40 与抛物线y2x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P
9、点是抛物线的弧AOB上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，yx，y12x，由题意知kAB12，所以kl12x012，即x01，所以y01，所以P(1，1).再练一题 4.已知抛物线yx2，直线xy 20，求抛物线上的点到直线的最短距离.【导学号：94210052】【解】根据题意可知与直线xy20 平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则当xx0时，y 2x01，所以x012，所以切点坐标为12，14，切点到直线xy20 的距离d121422728，所以抛物线上的点到直线xy2 0 的最短距离为728
10、.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.(2016山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有 T性质，下列函数中具有T 性质的是()A.ysin xB.yln xC.yexD.yx3【解析】若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于 A：y cos x，若有 cos x1cos x2 1，则存在x12k，x22k(k Z)时，结论成立；对于 B：y1x，若有1x11x2 1，即x1x2 1，x0，不存在x1，x2，使得x
11、1x2 1；对于 C：y ex，若有 ex1ex2 1，即 ex1x2 1.显然不存在这样的x1，x2；对于 D：y 3x2，若有 3x21 3x22 1，即 9x21x22 1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.【答案】A 2.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1 的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_.【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得a1.【答案】1 3.(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1 相切，
12、则a_.【解析】法一：yxln x，y 11x，y|x 12.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x 1.y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相切，a0(当a0 时曲线变为y2x1 与已知直线平行).由y2x1，yax2（a2）x1，消去y，得ax2ax20.由 a28a0，解得a 8.法二：同方法一得切线方程为y 2x1.设y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01).y 2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由2ax0（a2）2，ax20（a2）x012x01，解
13、得x012，a8.【答案】8 4.(2015陕西高考)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y1x(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为 _.【解析】y ex，曲线y ex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y1x(x0)的导数为y1x2(x0)，曲线y1x(x0)在点P处的切线斜率k21m2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k2 1，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1).【答案】(1，1)5.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)1x3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y 3 2(x1
14、)，即y 2x1.【答案】y 2x 1 章末综合测评(二)变化率与导数(时间 120 分钟，满分150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)2x21，那么该质点从x1 到x2 的平均小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学速度为()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】yxf（2）f（1）21（2221）（2121）1 6.【答案】C 2.设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60 平行，则a()A.1 B.12C.12D.1【解析】y 2ax，于
15、是切线斜率kf(1)2a，由题意知2a2，a 1.【答案】A 3.下列各式正确的是()A.(sin)cos(为常数)B.(cos x)sin xC.(sin x)cos xD.(x5)15x6【解析】由导数公式知选项A中(sin)0；选项 B中(cos x)sin x；选项 D中(x5)5x6.【答案】C 4.设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a等于()【导学号：94210053】A.0 B.1 C.2 D.3【解析】令f(x)axln(x1)，则f(x)a1x1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12.a3.
16、【答案】D 5.已知二次函数f(x)的图像如图1 所示，则其导函数f(x)的图像大致形状是()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图 1 A B C D【解析】由图像知f(x)ax2c(a0)，f(x)2ax(a0，所以 ex1ex2，所以y 1，0)，所以 tan 1，0).又因为 0，)，所以 34，.【答案】D 二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上)13.设函数yf(x)是一次函数，若f(1)1，且f(2)4，则f(x)_.【解析】yf(x)是一次函数，设f(x)axb，f(x)a，则f(1)ab 1，又f(2)a 4.即a
17、 4，b3，f(x)4x3.【答案】4x3 14.若抛物线yx2xc上一点P的横坐标为 2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为 _.【导学号：94210054】【解析】y 2x1，当x 2 时，y 5.又P(2，6c)，6c2 5，c4.【答案】4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学15.设函数f(x)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则af（a）bf（b）cf（c）_.【解析】f(x)(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)，f(a)(ab)(ac)，同理f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)，代入原式中得值为0.【答
18、案】0 16.设函数f(x)cos(3x)(0 )，若f(x)f(x)是奇函数，则_.【解析】f(x)sin(3x)(3x)3sin(3x)，f(x)f(x)cos(3x)3sin(3x)2 cos3x3，当f(x)f(x)为奇函数时，3k2，kZ，k6，kZ，0，6.【答案】6三、解答题(本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10 分)求下列函数的导数.(1)y3x2xcos x；(2)ytan xx；(3)yx22x5x3.【解】(1)y(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)法一：y（
19、tan x）xtan xx2xcos2x tan xx2xcos2xtan xx2cos2xxsin xcos xx2cos2x.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学法二：ysin xxcos x（sin x）xcos xsin x（xcos x）x2cos2xxcos2xsin x（cos xxsin x）x2cos2xxsin xcos xx2cos2x.(3)y1x2x25x3x12x25x3，yx22(2)x35(3)x41x24x315x4.18.(本小题满分12 分)已知曲线yf(x)x38x2.(1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l
20、：ykx，求切线l的方程.【解】(1)f(x)x3 8x2，f(x)3x28，则f(0)8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y2 8(x 0)，即 8xy20.(2)设切点为P(a，a38a2)，切线斜率k3a28，则切线方程y(a38a2)(3a28)(xa)，又因为切线过原点，所以 0(a3 8a2)(3a28)(0 a)，即 2a320，所以a 1，即切线l斜率为k 5，切线l方程为y 5x，即 5xy0.19.(本小题满分12 分)(2016 广州高二检测)已知曲线yx3x2 在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l
21、也过切点P0，求直线l的方程.【解】(1)由yx3x2，得y 3x21，由已知得 3x214，解得x1.当x1 时，y0；当x 1 时，y 4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4).(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为14，因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y414(x 1)，即x4y170.20.(本小题满分12 分)(2016 北京高考改编)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在点(2，f(2)处的切线方程为y(e 1)x4.(1)求a，b的值；(2)求过点(2，
22、f(2)且与切线y(e1)x4 垂直的直线方程l.【解】(1)因为f(x)xea xbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，f（2）2e2，f（2）e1，即2ea22b2e2，ea 2be1.a2，be.(2)由(1)知kl11e，且f(2)2e2，y(2e 2)11e(x2).即所求直线l的方程为y11ex21e 2e2.21.(本小题满分12 分)已知函数f(x)aln xx2.(1)若a1，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)对于任意x2 使得f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.【解】(1)当a1 时，f(x)ln xx2，则f(x)1x2x，故在点(1，f(1)处的切
23、线斜率为kf(1)3，又f(1)1，即切点为(1，1)，故切线方程为y13(x1)，即 3xy20.(2)当x2 时，f(x)x，即ax2xx(x2)恒成立，即ax2在x2，)上恒成立.令tx2，当x2，)时，易知tmax 4，为使不等式ax2恒成立，则a4，故实数a的取值范围为 4，).22.(本小题满分12 分)(2016 无锡高二检测)已知两曲线f(x)x3ax，g(x)ax2bxc都经过点P(1，2)，且在点P有公切线.(1)求a，b，c的值；(2)设k(x)f（x）g（x），求k(2)的值.【解】(1)依题意，1a2，abc2，即a1，bc1.故f(x)x3x，g(x)x2bx1b，所以f(x)3x21，g(x)2xb，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由于两曲线在点P(1，2)处有公切线，故f(1)g(1)，即 4 2b，所以b2.故c1b 1.(2)由(1)可得f(x)x3x，g(x)x22x1，故k(x)f（x）g（x）x3xx22x1，故k(x)（x3x）（x22x1）（x3x）（x22x1）（x22x1）2（3x21）（x22x1）（x3x）（2x2）（x22x1）2x44x34x21（x22x1）2.故k(2)163216 1（441）2 33.