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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【成才之路】2016年春高中数学第 1 章 解三角形 1.2 应用举例第1 课时 距离问题同步练习新人教 B版必修 5 一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成 60的视角，从B岛望C岛和A岛成 75的视角，则B、C间的距离是()A103 n mile B106 n mile C52 n mile D56 n mile 答案 D 解析 如图，由正弦定理，得BCsin60 10sin45，BC56.2某人向正东方向走x km 后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的
2、值为()A3 B23 C23或3 D3 答案 C 解析 由题意画出三角形如图则ABC30，由余弦定理，得cos30 x2 936x，x23或3.3 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B3a km C2a km D2a km 答案 B 解析 ACB120，ACBCa，由余弦定理可得AB3a(km)4(2016三亚高二检测)有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延伸()小学+初中+高中+努力=大学小学+初
3、中+高中+努力=大学A5 m B10 m C102 m D103 m 答案 C 解析 如图，在ABC中，由正弦定理，得xsin45 10sin30，x102 m.5江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和 30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A103 m B1003 m C203 m D30 m 答案 D 解析 设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知BAD45，CAD60，BDC30，AD30.分别在 RtADB、RtADC中，求得BD30，DC303.在DBC中，由余弦定理，得BC2DB2DC22DBDCcos30，解得BC3
4、0.6(2016南昌模拟)当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距 10 海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则 sin 的值为()A217B22C32D5714 答案 A 解析 连接BC 在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos120 700，BC107，再由正弦定理，得BCsin BACABsin，sin 217.二、填空题7两船同时从A港出发，甲船以每小时20 n mile 的速度向北偏东80的方向航行，乙船以每小时
5、12 n mile 的速度向北偏西40方向航行，一小时后，两船相距_ n mile.答案 28 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 解析 如图，ABC中，AB20，AC12，CAB4080120，由余弦定理，得BC2202 12222012cos120784，BC28(n mile)8一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min 后到点B处望见灯塔在船的北偏东65方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是_ km.(精确到 0.1 km)答案 5.2 解析 作出示意图如图由题意知，则AB2415606，ASB35，由正弦定理
6、，得6sin35 BSsin30，可得BS5.2(km)三、解答题9.如图，甲船以每小时302 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?解析 解法一：如图，连接A1B2，由已知，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A2B2102，A1A23022060102，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B
7、2是等边三角形，A1B2A1A2102.由已知，A1B1 20，B1A1B21056045，由A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22A1B22A1B212A1B1A1B2cos45202(102)222010222 200.B1B2102.因此乙船的速度的大小为1022060 302(n mile/h)答：乙船每小时航行302 n mile.解法二：如图，连结A2B1.由已知，A1B1 20，A1A23022060102，B1A1A2105，cos105cos(4560)cos45cos60sin45 sin60 2134.sin105 sin(45 60)sin45 cos60cos45s
8、in60 2134.在A2A1B1中，由余弦定理，得小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A2B21A1B21A1A222A1B1A1A2cos105(102)22022102202134100(4 23)A2B110(1 3)由正弦定理，得sin A1A2B1A1B1A2B1sin B1A1A220323422，A1A2B145，即B1A2B2604515，cos15sin105 2134.在B1A2B2中，由已知，A2B2102，由余弦定理，得B1B22A2B21A2B222A2B1A2B2cos15102(1 3)2(102)2210(13)1022134200.B1B
9、2102，乙船速度的大小为1022060 302 n mile/h，答：乙船每小时航行302 n mile.一、选择题1 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距 20 n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20(26)n mile/h B20(62)n mile/h C20(63)n mile/h D20(63)n mile/h 答案 B 解析 由题意可知NMS45，MNS105，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学则MSN1801054530.而MS20，在MNS中，由正弦
10、定理，得MNsin30 MSsin105，MN20sin30 sin105 1010sin60 cos30cos60sin30 1062410(62)货轮的速度为10(62)1220(62)(n mile/h)2一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时()A5 n mile B53 n mile C10 n mile D103 n mile 答案 C 解析 如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CDCA10，在 Rt AB
11、C中，求得AB5，这艘船的速度是50.510(n mile/h)二、填空题3甲船在岛A的正南B处，以 4 km/h 的速度向正北航行，AB10 km，同时乙船自岛A出发以 6 km/h 的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 _ 答案 1507 min 解析 如图，当两船航行t h 时，甲船到D处，乙船到C处，则AD104t，AC6t，CAD120，若AD 4t10，AC6t，CAD小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学60，所以CD2(6t)2(10 4t)226t(10 4t)(12)28t220t100，当t514h时，CD2最小，即两
12、船最近，t514h1507 min.4已知船在A处测得它的南偏东30的海面上有一灯塔C，船以每小时30 n mile的速度向东南方向航行半小时后到达B点，于B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距_ n mile.答案 5632 解析 如图，CAB453015，ACB18060120，AB301215，BCABsin CABsin ACB15sin15 sin120.sin15 sin(45 30)sin45 cos30cos45sin30 624，BC562(31)(n mile)三、解答题5如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD 6 000 m ACD
13、45，ADC75，目标出现于地面B处时测得BCD30，BDC15.求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)解析 由于ADC75，BDC15，ADB为直角题中有多个三角形而抓住ABD为直角三角形作为突破口可简化计算小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在ACD中，CAD60，ADCDsin45 sin60 63CD 在BCD中，CBD135，BDCDsin30 sin135 22CD，ADB90.在 Rt ABD中，ABAD2BD2426CD1 00042(m)答：炮兵阵地到目标的距离为100042米6如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行
14、望见此岛在北75东船行8 n mile后，望见这岛在北60东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险 解析 在ABC中，AC 8，ACB9060150，CAB907515，ABC15.ABC为等腰三角形，BCAC 8，在BCD中，BCD30，BC8，BDBCsin30 43.8.故该船没有触礁危险7.碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n mile的B处现在“白云号”以每小时10 n mile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile的速度由A处向南偏西60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近 解析 如右图，设经过th，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD 则根据题意，知在ACD中，AC8t，AD2010t，CAD60.由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcos60(8t)2(20 10t)228t(20 10t)cos60244t2560t400244(t7061)2400244(7061)2，当t7061时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近答：经过7061 h 后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近