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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念明目标、知重点1了解导数概念的实际背景2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数1函数的变化率定义实例平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为f x2f x1x2x1，简记作：yx平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0 x的平均变化率在x0时的极限，即limx0f x0 xf x0 xlimx0yx瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率2.函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时
2、变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)limx0yx limx0f x0 xf x0 x.情境导学 某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是33.4，而此前的两天5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013 年 4 月 28 日最高气温3.5 和 5 月 28 日最高气温 18.6进行比较，可以发现二者温差为15.1，甚至超过了14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而
3、后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念思考 1 气球膨胀率小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)33V4，(1)当空气容量V从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)，气球的平均膨胀率为r1 r0100.62(dm/L)(2)当空气容量V从 1 L 增加到 2 L 时，气球半径增加了r(2)r(1
4、)0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r2 r1210.16(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是r V2r V1V2V1.思考 2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t 10.计算运动员在时间段 0t0.5，1t2内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？答在 0t0.5 这段时间里，vh0.5 h00.5 0 4.05(m/s)；在 1t2 这段时间里，vh2 h121 8.2(m/s)由以上计算体会到平均速
5、度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢思考 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1 和思考 2 中的平均变化率分别表示什么？答如果上述两个思考中的函数关系用yf(x)表示，那么思考中的变化率可用式子f x2f x1x2x1表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢思考1 中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率思考2 中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学思考 4 平均变化率也可以用式子yx表示，其中y、x的
6、意义是什么？yx有什么几何意义？答x表示x2x1是相对于x1的一个“增量”；y表示f(x2)f(x1)x、y的值可正可负，y也可以为零，但x不能为零观察图象可看出，yx表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)连线的斜率小结平均变化率为yxf x2f x1x2x1，其几何意义是：函数yf(x)的图象上两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)连线的斜率例 1 已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14，x25 时，函数增量y和平均变化率yx；(2)求当x14，x24.1 时，函数增量y和平均变化率yx；(3)若设x2x1x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义解f
7、(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x213x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x2(x)219x.yx2 x219xx2x 19.(1)当x14，x25 时，x1，y 2(x)2 19x 219 21，yx21.(2)当x14，x24.1 时 x0.1，y 2(x)2 19x 0.02 1.9 1.92.yx 2x1919.2.(3)在(1)题中yxf x2f x1x2x1f5 f454，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率在(2)题中，yxf x2f x1x2x1f4.1 f44.1 4，小学+初中+高中+努
8、力=大学小学+初中+高中+努力=大学它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率yxf x2f x1x2x1.跟踪训练1(1)计算函数h(x)4.9x26.5x10 从x1 到x1x的平均变化率，其中 x的值为 2；1；0.1；0.01.(2)思考：当|x|越来越小时，函数h(x)在区间 1,1 x 上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1 x)h(1)4.9(x)23.3 x，yx 4.9 x 3.3.当 x2 时，yx
9、 4.9 x3.3 13.1；当 x1 时，yx 4.9 x3.3 8.2；当 x0.1 时，yx 4.9 x3.3 3.79；当 x0.01 时，yx 4.9 x3.3 3.349.(2)当|x|越来越小时，函数f(x)在区间 1,1 x 上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.探究点二函数在某点处的导数思考 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，易知h(6549)h(0)，vh6549h0654900，而运动员依然是运动状态思考 2 观察跟踪训练1，当 x 0.000 01时，yx？这个平
10、均速度能描述物体的运动状态吗？小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答yx 4.9 x3.3 3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x1 这一时刻的速度思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求t2 时的瞬时速度，可考察在t2 附近的一个间隔t，当 t趋近于 0 时，平均速度v趋近于 limt0h2 th2t，这就是物体在t2 时的瞬时速度类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率limx
11、0f x0 xf x0 xlimx0yx叫做函数yf(x)在xx0处的导数思考 4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度小结1.函数的瞬时变化率：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limx0f x0 xf x0 xlimx0yx.2函数在某点处的导数：我们称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)limx0f x0 xf x0 x limx0yx.例 2 利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2 处的导数解由导数的定义知，函数在x2 处的导数f(2)limx0f2
12、xf2x，而f(2 x)f(2)(2 x)2 3(2 x)(2232)(x)2x，于是f(2)limx0 x2xxlimx0(x1)1.反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxf x0 xf x0 x；(3)取极限，得导数f(x0)limx0yx.跟踪训练2 求函数f(x)3x22x在x1 处的导数解y3(1 x)2 2(1x)(31221)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学3(x)24x，yx3 x24xx3x4，y|x 1 limx0yxlimx0(3 x4)4.例 3 将原油精
13、炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第x h 时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0 x8)计算第2 h 和第 6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数的定义，yxf2 xf2x2x2 7 2x15 2272 15x4x x27xxx 3，所以，f(2)limx0yxlimx0(x3)3.同理可得，f(6)5.在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3 与 5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温
14、度大约以5/h 的速率上升反思与感悟(1)本题中，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率yxf x0 xf x0 x，当 x趋于 0 时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)4.9t2 6.5t10，求运动员在t6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解令t06598，t为增
15、量则h t0th t0t4.9 6598 t26.5 6598t104.9 659826.5 659810t小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学4.9 t6549t6.5 tt 4.96549t6.5，limt0h t0th t0tlimt0 4.96549t6.5 0，即运动员在t06598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处1如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间2，2.1 中相应的平均速度是()A4 B 4.1 C 0.41 D 3 答案B 解析v32.12 3 220.14.1.2函数f(x)在x0处可导，则 limh0
16、f x0hf x0h()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关答案B 3 已知函数f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 x,1 y)，则yx等于()A4 B 4x C 42x D 42(x)2答案C 解析yf(1x)f(1)2(1 x)211 2(x)24x，yx2x4.4已知函数f(x)1x，则f(1)_.答案12解析f(1)limx0f1xf1x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 limx011x1x limx011x11x12.呈重点、现规律 利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量yf(x0
17、x)f(x0)；(2)求平均变化率yxf x0 xf x0 x；(3)取极限，得导数f(x0)limx0yx.简记为一差，二比，三趋近特别提醒取极限前，要注意化简yx，保证使x0时分母不为0.函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1函数yx22x1 在x 2 附近的平均变化率为()A 6 Bx6 C 2 Dx2 答案B 解析设yf(x)x22x1(x1)2，yf(2 x)f(2)(2x1)2(21)2(3x)29(x)26x，所以yxx6，所以函数yx22x1 在x 2 附近的平均变化率为x6.2函数y1 在2,2 x 上
18、的平均变化率是()A0 B 1 C 2 D x答案A 解析yx11x 0.3如果某物体的运动方程为s2(1 t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学的瞬时速度为()A 4.8 m/s B 0.88 m/s C0.88 m/s D4.8 m/s 答案A 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在 1.2 处的导数，利用导数的定义即可求得4一质点按规律s(t)2t3运动，则t1 时的瞬时速度为()A4 B 6 C 24 D 48 答案B 解析s(1)limt 1s ts1t1limt 12t32t1 limt 12(t2t
19、1)6.5已知函数y21x，当x由 1 变到 2 时，函数的增量y_.答案12解析y 212(2 1)12.6.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A甲B乙C相同D不确定答案B 解析在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，但是，在t0 t处，W1(t0t)W2(t0t)，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即W1t0W1t0ttW2t0W2t0tt，所以，在相同时间t内，甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂治污效果较好7利用定义求函数y 2x25 在x2 处的瞬时变化率解因为在x 2 附近，y 2(2 x)25(2225)8x2(x)2，所以函数
20、在区间 2,2 x 内的平均变化率为yx8x 2 x2x 82x.故函数y 2x25 在x2 处的瞬时变化率为limx 0(8 2x)8.二、能力提升8过曲线yx21 上两点P(1,2)和Q(1 x,2y)作曲线的割线，当x0.1 时，割线的斜率k_，当 x0.001 时，割线的斜率k_.答案2.1 2.001 解析y(1 x)21(12 1)2x(x)2，yx2x，割线斜率为2x，当 x0.1 时，割线PQ的斜率k2 0.1 2.1.当 x0.001 时，割线PQ的斜率k20.001 2.001.9 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是_答案3 解析v初s
21、|t0limt 0s0ts0tlimt0(3 t)3.10求yx在x0到x0 x之间的平均变化率解因为 yx0 xx0，所以yx在x0到x0 x之间的平均变化率为yxx0 xx0 x1x0 xx0.11求函数yf(x)2x2 4x在x3 处的导数解y2(3 x)2 4(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，yx2 x216xx2x16.y|x3 limx0yxlimx0(2 x16)16.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学12若函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a的值解f(1 x)f(1)a(1 x)2caca(x)22ax.f(1)limx0f1xf1x limx0ax22axx limx0(ax2a)2，即 2a 2，a1.三、探究与拓展13已知f(x)x2，g(x)x3，求满足f(x)2g(x)的x的值解由导数的定义知，f(x)limx0 xx2x2x2x，g(x)limx0 xx3x3x3x2.f(x)2g(x)，2x23x2.即 3x22x20，解得x173或x173.