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1、120192019 学年高二年级第五次月考试题学年高二年级第五次月考试题理科数学理科数学第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）22 1102xy mmxmA B C D2, 2,66,10U2,102,62命题“对任意，都有”的否定为（ ）xR20x A对任意，都有 B不存在，都有xR20x xR20x C存在，使得 D存在，使得
2、0x R2 00x0x R2 00x3设，则“”是“”的（ ）xR12x2450xxA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于点，过22 143xy12FF、2FxP与原点的直线交椭圆于另一点，则的周长为（ ）POQ1FPQA4 B8 C D4132135某种商品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提xy供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的 yx6.517.5yx的值为（ ）mA45 B50 C55 D606 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径
3、几何？”其2大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C D3 103 20311031207已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于222210,0xyabab28yx 两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）,A BOABO4 3A B2 C D47 2138执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）KA98 B99 C100 D1019如下图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A96 B C D804 2
4、964213964 2 2110如下图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，111ABCABC4AB 若分别是棱上的点，且，则异面直线16AA ,E F11,BB CC1BEB E111 3C FCC与所成角的余弦值为（ ）1AEAFA B C D2 62 62 102 1011定义方程的实数根叫做函数的“新驻点” ，若函数， f xfx0x f x g xx，的“新驻点”分别为，则的大小关系为 ln1h xx 31xx, , （ ）A B C D12设过抛物线的焦点的直线 交抛物线于点，若以为直径的圆过点24yxFl,A BAB，且与轴交于，两点，则（ ）1,2P x,0M m,0N
5、nmn A3 B2 C-3 D-2第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13如果函数,的导函数是偶函数，则曲线 324f xxaxaxaR fx在原点处的切线方程是 yf x14已知是双曲线的左、右焦点，过的直线 与12,F F2222:10,0xyCabab1Fl的左、右两支分别交于两点若，则双曲线的离心率为 C,A B22:3:4:5ABBFAF 415点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 P2lnyxxP2yx16已知抛物线的焦点为，过点的直线 与抛物线及其准线2
6、:20C ypx pFFlC分别交于两点，则直线 的斜率为 ,P Q3QFFPuuu ruur l三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭E24 5yx圆的离心率是.E6 3（1）求椭圆的方程；E（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是1,0C E,A BAB，求直线的方程.1 2AB18 如图，是边长为 3 的正方形，平面，ABCDDE ABCDAFDE，与平面所成角为 603DEAF
7、BEABCD（）求证：平面AC BDE（）求锐二面角的余弦值FBED（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得面，并证MBDMAM BEF明你的结论19 已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为C22221,0xyabab1,0，直线与椭圆相交于两点，且1 2e : l ykxmCAB、3 4OAOBkk （1）椭圆的方程（2）求的面积；AOB520 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者从符合条件的 500名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在岁的人数；x35,40（2）在
8、抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为，求的分布列及均值XX21 已知椭圆的离心率为，且过点，是2222:10xyCabab1 22 3,3,A B椭圆上异于长轴端点的两点.C（1）求椭圆的方程；C（2）已知直线，且，垂足为，垂足为，若，且:8l x 1AAl1A1BBl1B3,0D的面积是面积的 5 倍，求面积的最大值.11AB DABDABD22已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点2222:10xyCabab12FF、C，
9、直线交轴于，且，为坐标原点21,2P 1PFyQ22PFQOuuu ruuu r O（1）求椭圆的方程；C（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这MCM,MA MBC,A B两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点12,k k122kkAB620192019 学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案一、选择题一、选择题1-5:DDACD 6-10:DBCCD 11、12：CC二、填空题二、填空题13 14 15 164yx 13215三、解答题三、解答题17解：（1）由题知椭圆的焦点在轴上，且，Ex5a 又，故，630533cea2
10、2105533bac故椭圆的方程为，即.E22 155 3xy2235xy（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入ABAB1yk x，2235xy消去，整理得.y2222316350kxk xk设两点坐标分别为，.,A B11,x y22,xy则422212236431350,*6 31kkkkxxk 由线段中点的横坐标是，得，AB1 22 12 231 2312xxk k 解得，符合（*）式.3 3k 所以直线的方程为或.AB310xy 310xy 718解析：（）证明：平面，平面，DE ABCDAC ABCDDEAC又是正方形，ABCDACBD，平面BDDEDIAC BDE（
11、）两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，,DA DC DEDxyz与平面所成角为 60，即，BEABCD60DBE，3ED DB由，可知：，3AD 3 6DE 6AF 则，3,0,0A3,0, 6F0,0,3 6E3,3,0B0,3,0C，0, 3, 6BE uur3,0, 2 6EF uu u r设平面的法向量为，则BEF, ,nx y zr，即，令，则00n BFn EFr uu u rr uu u r36032 60yzxz6z 4,2, 6n r因为平面，所以为平面的法向量，AC BDECABDE3, 3,0CA su u所以因为二面角为锐角，613cos,133 226n CAn C
12、A n CAr uu rr uu r r uu r故二面角的余弦值为FBED13 13（）依题意得，设，则，, ,00M t tt 3, ,0AMtt平面，即，解得：，AM BEF0AM nuuur r4020tt2t 8点的坐标为，M2,2,0此时，点是线段靠近点的三等分点2 3DMDBMBDB19解：（1）由已知，11,2cca2a 2223bac椭圆方程为：22 143xy（2）设，则的坐标满足11,A x y22,B xy,A B22 143xyykxm 消去化简得，y2223484120kxkmxm1228 34kmxxk ，得2122412034mx xk 22430km,1212
13、y ykxmkxm2 1212k x xkm xxm.222 22 2224128312 343434mkmmkkkmmkkk，即3 4OAOBKK 12123 4y y x x12123 4y yx x222223123 412 34434mkm kk，22243mk 22 222 12122248 43141 34kmABkxxx xk k 22222248 124 134 23434kkk kk到直线的距离Oykxm 21md k ,222222224 124 1111 223421341AOBkkmMSd ABkkkk9.221342432234k k20解：（1）小矩形的面积等于频率
14、，除外的频率和为 0.70，35,40.1 0.700.065x故 500 名志愿者中，年龄在岁的人数为（人） 35,400.06 5 500150 （2）用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名， “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名故的可能取值为 0，1，2，3，X，3 8 3 20140285CP XC12 128 3 2028195C CP XC，21 128 3 2044295C CP XC3 12 3 2011357CP XC故的分布列为XX0123P14 28528 9544 9511 57. 142844111710123285959
15、55795E X 21解：（1）依题意解得222221231,ab abc 4,2 3, 2,ab c 故椭圆的方程为.C22 11612xy（2）设直线与轴相交于点ABx,0R r，132ABDABSryy 1 111152A B DABSyy 由于且， 1 15A B DABDSS 11ABAByyyy得，（舍去）或，553r 4r 2r 10即直线经过点，AB2,0F设，的直线方程为：，11,A x y22,B xyAB2xmy由即，222,3448,xmyxy 223412360mymy，12212 34myym12236 34y ym，2 12121211422ABDSyyyyy y
16、2222211121231134mm mm令，所以，211tm 21212 1313ABDtSttt因为，所以在上单调递增，所以在上单调递1 1333tttt 13tt1,31,t增，所以，所以（当且仅当，即时“”成立） ，134tt3ABDS211tm 0m 故的最大值为 3.ABDS22解：（1）椭圆过点，C21,2P 221112ab，则，22PFQO212PFFF1c 221ab由得，22a 21b 椭圆的方程为C2 212xy（2）当直线的斜率不存在时，设，则，AB00,A xy00,B xy由得122kk0000112yy xx得，01x 当直线的斜率存在时，设的方程为，ABAB1
17、ykxm m11,A x y22,B xy11，2 2 221122xykx ykxm 24220kmxm得，1224 12kmxxk212222 12mxxk，12 12 121122yykkxx211221112kxmxkxmx x x即，2121221k x xmxx2222214kmmkm由，1m 111kmkmkm 即1ykxmmxm1m xyx故直线过定点AB1, 1 1213142019 学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案1、选择题123456789101112DDACDDBCCDCC2、填空题13、4yx 14、1315、 2 16、15三、解答题17、解析：（1）由题
18、知椭圆E的焦点在x轴上，且a，5又cea，故b，635303a2c251035 315故椭圆E的方程为1，即x23y25。x2 5y2 5 318、解析：（）证明：DE平面ABCD，AC 平面ABCD，DEAC，又ABCD是正方形，ACBD，BDDED，AC平面BDE（）DA，DC，DE两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz，BE与平面ABCD所成角为60，即60DBE，3ED DB ，由3AD ，可知：3 6DE ，6AF 则(3,0,0)A，(3,0, 6)F，(0,0,3 6)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，(0, 3, 6)BF ，(3,0, 2 6)EF ，设平面BEF
19、的法向量为( , , )nx y z ，则00n BFn EF ，即36032 60yzxz， 令6z ，则(4,2, 6)n 因为AC平面BDE，所以CA 为平面BDE的法向量， (3, 3,0)CA ，所以613cos,13|3 226n CAn CAn CA 因为二面角为锐角，故二面角FBED的余弦值为13 13（）依题意得，设( , ,0)(0)M t tt ，则(3, ,0)AMtt ，16AM平面BEF，0AM n ，即4(0)20tt，解得：2t ，点M的坐标为(2,2,0)，此时2 3DMDB ，点M是线段BD靠近B点的三等分点19、 【解析】 （1）由已知11,2cca 2a
20、 2223bac 椭圆方程为： 22 143xy （2）设 A（11,)x y，B22,xy，则A, B的坐标满足22 1 43xyykxm消去y化简得， 2223484120kxkmxm， 1228 34kmxxk 2122412 34mx xk， 0A得22430km2 12121212y ykxmkxmk x xkm xxm,222 22 2224128312 343434mkmmkkkmmkkk.3 4OAOBKK ， 12123 4y y x x，即12123 4y yx x222223123 412 34434mkm kk即22243mk, 22 222 12122248 43AB
21、141 34kmkxxx xk kA= 22222248 124 134 23434kkk kkA.O 到直线ykxm的距离 2d 1mk 222222224 124 1111 223421341AOBkkmmSd ABkkkkAA,17221342432234k kA.20、 【解析】 （1）小矩形的面积等于频率，除35，40）外的频率和为0.70，x0.06.10.70 5故 500 名志愿者中，年龄在35，40）岁的人数为 0.065500150（人） （2）用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名，“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名故X的可
22、能取值为 0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）14 28528 9544 95，11 57故X的分布列为X0123P14 28528 9544 9511 57E（X）0123.14 28528 9544 9511 57171 95（1）依题意222221,2 1231, ,c aab abc解得4,2 3, 2,ab c 故椭圆C的方程为22 11612xy.（2）设直线AB与x轴相交于点,0R r 132ABDABSryy， 1 111152A B DABSyy ，由于 1 15A B DABDSS且 11ABAByyyy，得553r ， 4r （舍去）或2r ，即
23、直线AB经过点2,0F，设11,A x y， 22,B xy， AB的直线方程为： 2xmy，18由222, 3448,xmy xy 即223412360mymy，12212 34myym， 12236 34y ym，2 12121211422ABDSyyyyy y 222112 34mm 22112311m m，令211tm ，所以21212 1313ABDtSttt，因为1 1333tttt ，所以13tt在1,3上单调递增，所以在1,t上单调递增，所以134tt，所以3ABDS（当且仅当211tm ，即0m 时“”成立） ，故ABDS的最大值为 3.22.试题解析：（1）椭圆C过点21,2P ，221112ab ，22PFQO，212PFFF，则1c ，221ab，由得222,1ab，椭圆C的方程为2 212xy得2121222422,1212kmmxxx xkk，19211212 12 122 11111222kxmxkxmxyykkxxx x，即2 2 121221222214k x xmxxkmmkm，由1, 111mkmkmkm ，即11ykxmmxmm xyx故直线AB过定点1, 1