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1、第十章 弯曲应力第1页，此课件共49页哦图10-1图10-2第2页，此课件共49页哦一、变形几何关系为了寻求梁弯曲时的变形规律，可自图10-1(a)所示的梁中截取一段纯弯曲梁来分析，该段梁两端截面上有相等的弯矩M，使其产生弯曲变形，如图10-2(a)所示。如通过该段梁的中点作一中线11，可以看出，由于梁的形状和受力情况对称于中线，则通过中线的横截面在变形后的形状也必对称，因此该横截面唯一可能的形状是仍保持为一平面。同样，再将该段梁自中线处截为两段，由于纯弯曲梁各横截面上的弯矩相同，则此两段第3页，此课件共49页哦梁的受力情况又对称于它自身的中线22。因此，通过其中线22的横截面也必为一平面。依
2、此类推，继续分割下去，可以证明：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变形规律称为平截面规律。根据平截面规律，梁弯曲时两相近的横截面将作相对的转动。可以设想，梁由一束纵向纤维所组成，这时在两横截面间的纵向纤维将产生伸长或缩短。由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如第4页，此课件共49页哦图10-3所示。图10-3图10-4第5页，此课件共49页哦自梁中截取长为dx的一微段梁，令y轴的横截面的对称轴，z轴与截面的中性轴重合，如图10-4所示，至于中性轴的确切位置，暂未确定。现研究距中性层y处纵向纤维
3、ab的变形。由平截面规律知，在梁变形后该微段梁两端相对地旋转了一个角度d ，如果以代表梁变曲后中性层 的曲率半径，因中性层在梁弯曲变形后的长度不变，所以第6页，此课件共49页哦距中性层y处的纵向纤维ab变形前的长度为变形后为其纵向线应变则为第7页，此课件共49页哦对于选定的横截面，式中的为常量，故此式表明弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变与该点至中性轴的距离y成正比。根据这一关系，可以得到横截面上的正应力按线性分布的规律。二、应力应变关系前面已经设想，梁由一束纵向纤维组成。设各纵向纤维之间互不挤压，每根纤维都只受到单向的拉伸或压缩，则在应力不超过材料的比例极限时，横截面上各点的正应力与线应变的关
4、系，应服从虎克定律第8页，此课件共49页哦将式（a）代入，可得这就是正应力在梁横截面上分布规律的表达式。此式表明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比；在距中性轴等距离的各点上正应力相等。第9页，此课件共49页哦三、静力学关系自纯弯曲的梁中截开一个横截面来分析，如图10-5所示，图中y轴为横截面的对称轴；z轴为中性轴，z轴的确切位置待定。在截面中取一微面积dA，作用于其上的法向内力元素为dA，截面上各处的法向内力元素构成了一个空间平行力系。由于梁弯曲时横截面上没有轴向外力，所以这些内力元素的合力在x方向的分量应等于零，即图10-5第10页，此课件共49页哦将式(b)代入上式，得
5、因 为满足上式，必然式中，积分 为截面图形对z轴的静矩，故第11页，此课件共49页哦显然，式中横截面积A0，故yc=0。这说明横截面的形心就在z轴上，也就是说，中性轴必然通过横截面的形心。这样，就确定了中性轴的位置。内力元素dA对z轴之矩的总和组成了横截面上的弯矩，即将式（b）代入得(c)第12页，此课件共49页哦令则式（c）可以写为或将式（10-2）代入式（b），得到(10-1)(10-2)(10-3)第13页，此课件共49页哦10-2 惯性矩的计算一、简单截面的惯性矩(1)矩形截面设矩形截面的高和宽分别为h和b，通过其形心O作y轴和z轴，如图10-9所示。现求对z轴的惯性矩Iz。取到中性轴
6、为y、宽为b、高为dy的狭长条的微面积，即取dA=bdy，则由惯性矩的定义，积分得第14页，此课件共49页哦同理可得对y轴的惯性矩(2)圆形与圆环形截面设圆形截面的直径为D，y轴和z轴通过圆心O，如图10-10(a)所示。取微面积dA，至圆心距离为，根据圆形截面对圆心的惯性矩为图10-9图10-10第15页，此课件共49页哦现在由 的关系可得又由于y轴和z轴皆为通过圆截面直径的轴，故 ，因此第16页，此课件共49页哦由此可得圆环形截面对z轴或y轴的惯性矩为 (10-5)对于外径为D内径为d的圆形截面，如图10-10(b)，用同样的方法可以得到 (10-6a)积分法是计算简单规则图形截面的惯性矩
7、的基本方法，但在实际应用中，并不需要或 (10-6b)式中第17页，此课件共49页哦将所遇到的问题都由自己一一加以计算。为便于应用，现将常见的几种简单图形截面的惯性矩以及图形形心位置列于表10-1中，以备查用。表10-1 几种图形的形心位置和惯性矩阵二、组合截面的惯性矩 平行移轴公式 工程实际中有许多梁的截面形状是比较复杂的，例如由钢板焊成的箱形梁(图10-11(a)、由型钢和钢板并成的组合梁(图10-11(b)，(c)以及T字形梁(图10-11(d)等，机器的机架，其截面常采用更复杂的形第18页，此课件共49页哦状。但这些梁的截面形式都是由一些简单图形组成的，所以称之为组合截面梁。根据惯性矩
8、的定义，组合截面对某一轴的惯性矩可以视为其各个组成部分(即简单图形)对同一轴的惯性矩之和。例如图10-11(d)所示的T字形截面，可将其分为两个矩形部分和，整个截面对z轴的惯性矩Iz则为这图10-11第19页，此课件共49页哦两个矩形部分对z轴的惯性矩Iz与Iz之和，即图10-12第20页，此课件共49页哦由图10-12中可以看出，代入上式得上式中等号右边的第一项是截面对z轴的惯性矩Iz，第二项中的积分为截面对z轴的静矩 ，因z轴通过截面形心，故 ，所以第二项为零，第三项中的积分为截面的面积A。因此，上式可表为同理可得(10-7a)(10-7b)第21页，此课件共49页哦式(10-7)说明截面
9、对任一轴的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。这就是平行移轴公式。下面举例说明这一公式的应用和组合截面惯性矩的计算。*10-3 梁弯曲时的剪应力一、矩形截面梁设一宽为b高为h的矩形截面梁，在其截面y轴方向有剪力Q，如图10-14所示。如hb，可以假设横截面上任意点处的剪应力都平行于剪力Q，且距中性轴等远各点上的剪第22页，此课件共49页哦应力相等。这时横截面上任意点处的剪应力的计算公式为图10-14图10-14第23页，此课件共49页哦二、工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。其横截面如图10-15所示，中间狭长部分为腹板；上、下扁平部分为翼缘。
10、梁横截面上的剪应力主要分布于腹板上，翼缘部分的剪应力情况比较复杂，数值很小，可以不予考虑。由于腹板比较狭长，可以充分地认为，其上的剪应力平行于腹板的竖边，且沿宽度方向均匀分布。由式(10-8)求得，剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线规律变化的(图10-15)，最大剪应力在中性轴上，其值为第24页，此课件共49页哦在计算工字钢的 时，式中的比值 可直接由型钢规格表中查得。由图10-15可以看到，腹板上的最大剪应力图10-15(10-10)第25页，此课件共49页哦与最小剪应力差别并不太大，剪应力接近于均匀分布，因此也可按下式近似地估算腹板上的最大剪应力三、圆形、薄壁圆环形截面梁在圆形截面某一水
11、平弦mm的两端剪应力应与圆周相切，相交于y轴上的A点，如图10-16所示。由于对称的原因，mm弦中点C的剪应力必然是垂直的，因而也通过A点。(10-11)第26页，此课件共49页哦如果在假定mm弦上各点剪应力的垂直分量y是均匀分布的，这就与矩形截面的假设完全相同，可以应用(10-8)式来计算横截面上任一点处的y。经计算，在中性轴图10-16第27页，此课件共49页哦上各点的剪应力最大，显然此处的剪应力均与y轴平行，即平行于剪力Q，其值为对于薄壁圆环形截面，若壁厚t远小于圆环的平均半径R0(图10-17)，则可认为横截面上的剪应力沿厚度均匀分布，方向与圆周相切。在中性轴上各点的剪应力就平行于Q且
12、沿厚度均匀分布。应用(10-8)式算得最大剪应力也在中性轴上，其值为（10-12）第28页，此课件共49页哦10-4 梁弯曲时的强度计算一、弯曲正应力强度计算由梁的弯曲正应力公式知道，对等截面梁来说，弯矩最大的截面为危险截面，该截面上的最大正应力在距中性轴最远的地方，其计算式为式中的Iz和ymax，都是与截面的形状和尺寸有关的几何量，可以用一个符号Wz来表示，即令（10-13）（10-14）第29页，此课件共49页哦Wz称为抗弯截面模量，它是衡量横截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关，单位为米3(m3)或厘米3(cm3)。对于矩形截面(图10-9)对于圆形截面(图10-10(
13、a)，（10-16）（10-17）（10-15）第30页，此课件共49页哦对于空心圆形截面(图10-10(b)，各种型钢的Wz值可由型钢规格表中查得。这样，最大正应力的计算式可表为如果限制梁的最大工作应力为max，使其不超过材料的许用弯曲应力，就可以保证梁的安全。因此梁弯曲时的正应力强度条（10-18）（10-19）第31页，此课件共49页哦件为式中Mmax梁的最大弯矩；Wz梁横截面的抗弯截面模量；材料的许用弯曲应力。二、弯曲剪应力强度计算就整个梁而言，梁的最大剪应力max在最大剪力Qmax所在的截面内，且一般在此截面的中性轴上。此外,梁的弯曲正应力=0，处于纯剪切状态。因此，梁的剪应力强度条
14、件是第32页，此课件共49页哦式中Smax中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩；b截面在中性轴处的宽度；材料的许用剪应力。在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常是先按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状，必要时再按剪应力强度条件进行校核。一般对以下几种情况需要进行剪应力强度校核：（10-20）第33页，此课件共49页哦(1)若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁的最大弯矩Mmax可能很小，而最大剪应力Qmax却相对地较大，如果按这时的Mmax来设计截面尺寸，就不一定能满足剪应力的强度条件；(2)对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的剪应
15、力；(3)对于木梁，顺纤维方向抗剪能力较差，根据剪应力互等定理，在中性层上也同时有max作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度。第34页，此课件共49页哦10-5 提高梁抗弯能力的措施一、采用变截面梁根据等强度梁的要求，应有或者写成这是等强度梁的W(x)沿梁轴线变化的规律。如图10-20(a)所示，在集中力作用下的简（10-21）第35页，此课件共49页哦支梁为等强度梁，截面为矩形，若设截面的高度h=常数，而宽度b为x的函数，即b=b(x)，由公式(10-21)得：于是所以截面宽度b(x)是x的一次函数(图10-20(b)。由于载荷P对称于跨度中点，因而（a）第36页，此
16、课件共49页哦梁的截面形状也对跨度中点对称。按(a)式，在梁的两端，x=0，b(x)=0，即截面宽度等于零。这显然不能满足剪切强度要求。因而应按剪切强度条件改变支座附近的截面宽度。设所需最小宽度为bmin(图10-20(c)，根据矩形截面梁的剪应力强度条件由此求得（b）第37页，此课件共49页哦如果把这一等强度梁分成若干狭条，然后重叠起来，并使其略微拱起，这就成为汽车以及其他车辆上经常使用的叠板弹簧，如图10-21所示。图10-20第38页，此课件共49页哦图10-21图10-22第39页，此课件共49页哦如果上述矩形截面等强度梁的宽度b为常数，而高度h为x的函数，即h=h(x)。用完全相同的
17、方法，可以求得按(c)式所确定的梁的形状如图10-22(a)所示。如把梁做成图10-22(b)所示的形式，就成为在厂房建筑中经常采用的鱼腹梁。在工程实际中不少构件都采用了变截面梁的形式。例如桥式起重机的大梁(图10-23(a)，（c）（d）第40页，此课件共49页哦上下加焊盖板的板梁(图10-23(b)、传动系统中的阶梯轴(图10-23(c)、摇臂钻床的摇臂(图10-23(d)等，都是根据各截面上弯矩的不同而采用的变截面梁。图10-23第41页，此课件共49页哦二、选用合理截面可以用比值Wz/A来衡量截面的经济程度。这个比值愈大，所采用的截面愈经济合理。如果采用圆形、矩形和工字形三种不同的截面
18、，它们所需要的截面尺寸及相应的比值Wz/A列于下表：第42页，此课件共49页哦第43页，此课件共49页哦三、适当布置载荷和支座位置在梁的内力一章中知道，梁的弯矩图与载荷作用的位置和梁的支承位置有关。在可能的情况下，如查适当地调整载荷或支承的位置，可以减小梁的最大弯矩，增大梁的抗弯能力。例如图10-25所示的传动轴，当齿轮位于轴跨中点时，轴因啮合力P而引起的最大弯矩为 (图10-25(a)；如果将齿轮尽量安装在靠近轴承的地方，例如在距右轴承 处(图10-25(b)，其最大弯矩则为 Pl，仅为前者的55.5，所需的轴径也就可以相应地减小。第44页，此课件共49页哦图10-25第45页，此课件共49
19、页哦又如图10-26所示的单轨吊车梁，若支座在梁的两端，则电葫芦行至梁中点时的最大弯矩为 Pa(图10-26(a)；如果将两支座向内移至图10-26(b)所示的位置，这时无论电葫芦行至梁的端点或中点，梁的最大弯矩皆为Pa，减少了 。可见调整支座位置也是提高梁抗弯能力的有效办法。对于梁上的集中载荷，如要能适当地将它分散，也可提高梁的抗弯强度。以图10-27的简支梁为例，集中力P作用在梁的中点时，其最大弯矩为 (图10-27(a)；如将力P以第46页，此课件共49页哦集度 均布于整根梁上，这时的最大弯矩仅为 (图10-27(b)，减少了一半。同样，若用一根副梁将力P分为两个靠近支座的集中力，也可减小梁的最大弯矩。如果按图10-27(c)所示的位置安放副梁，主梁的最大弯矩也可减小为 。第47页，此课件共49页哦图10-26第48页，此课件共49页哦图10-27第49页，此课件共49页哦