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1、等效积分的“弱”形式o通过适当提高对任意函数 的连续性要求，以降低对微分方程场函数的u的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分微分方程的等效积分“弱弱”形式。形式。o从形式上看“弱”形式对函数u的连续性降低了，但对实际物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，原因在于微分方程往往对解提出了过微分方程往往对解提出了过分平滑的要求。分平滑的要求。3.3虚功原理（平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式）o变形体的虚功原理：变形体的虚功原理：变形体中任意满足平衡的变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的
2、虚功与内力的虚功之功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。和等于零。o虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分分“弱弱”形式。形式。虚位移原理u虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱弱”形式；虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则形式；虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上
3、所作的功的和等于零，则果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。衡的必要而充分条件。u一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。o但是否适用所有的问题呢？但是否适用所有的问题呢？虚应力原理u虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱弱”形式。虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的形式
4、。虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的（即在内部连续可导），则虚应力和虚边界约束反力在（即在内部连续可导），则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系他们上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。件。u虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。力学问题。o但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论小变形理论的，所以他们不能直接应用于基于大的，所以他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。变形理论的力学问题。