电磁场3.静电场.ppt

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1、第3章 静电场分析静电场分析电磁场与电磁波 本章学习基本要求本章学习基本要求掌握静电场的基本方程，深刻理解静电场的基本特性，熟练运用高斯定律掌握静电场的基本方程，深刻理解静电场的基本特性，熟练运用高斯定律求解静电场问题；求解静电场问题；理解电位的概念和物理意义，掌握电位电位与电场强度的关系，掌握电位理解电位的概念和物理意义，掌握电位电位与电场强度的关系，掌握电位的微分方程，会计算点电荷系统和一些连续分布电荷系统的点电位；的微分方程，会计算点电荷系统和一些连续分布电荷系统的点电位；掌握静电场的三类边值问题，理解唯一性定理；掌握静电场的三类边值问题，理解唯一性定理；了解电介质极化的物理过程。掌握不

2、同介质分界面上场的边界条件和电位了解电介质极化的物理过程。掌握不同介质分界面上场的边界条件和电位的边界条件；的边界条件；熟悉恒定电场的基本方程和边界条件，能正确分析和求解恒定电场问题，熟悉恒定电场的基本方程和边界条件，能正确分析和求解恒定电场问题，掌握电导的计算方法；掌握电导的计算方法；掌握电容的概念和计算方法，了解多导体系统中电位系数、电容系数和部掌握电容的概念和计算方法，了解多导体系统中电位系数、电容系数和部分电容的概念；分电容的概念；深刻理解静电场能量的概念，掌握其计算公式和方法、能运用虚位移法计深刻理解静电场能量的概念，掌握其计算公式和方法、能运用虚位移法计算静电力。算静电力。习题：习

3、题：3.4;3.12 3.12 3.30;3.35第一章静电场分析 引言静电场分析的基本变量静电场分析的基本变量真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程电位函数电位函数泊松方程泊松方程 拉普拉斯拉普拉斯 方程方程点函数的点函数的函数表示函数表示 *格林函数格林函数唯一性定理唯一性定理电介质极化电介质极化 极化强度极化强度介质中的高斯定律介质中的高斯定律 边界条件边界条件导体系统的电容导体系统的电容电场能量电场能量 静电力静电力 静电场：静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章任务：本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，

4、或者反之。静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。引言引言 静电场知识结构框图静电场知识结构框图基本实验定律（库仑定律）基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）基本物理量（电场强度）EE 的旋度的旋度E E 的散度的散度基本方程基本方程微分方程微分方程边值问题边值问题唯一性定理唯一性定理分界面衔接条件分界面衔接条件电位（电位（）边界条件边界条件数值法数值法有限差分法有限差分法解析法解析法直接积分法直接积分法分离变量法分离变量法镜像法，电轴法镜像法，电轴法静电参数静电参数(电容及部分电容电容及部分电容)静电能量与力静电能量与力图

5、图0 0 静电场知识结构图静电场知识结构图3.1 3.1 静电场的基本变量静电场的基本变量源量：(r r)标量性质的源 场量：E E(r)(r)、D D(r(r）在导体中可表现为:J J=E E(自由电子在电场作用下形成电流。在介质中可表现为:D D=E E 束缚电荷在电场作用下位移。实验得：3.2 真空中静电场的基本方程分析求解静电场的两种方法：积分方程法（通量、环流量）分析求解静电场的两种方法：积分方程法（通量、环流量）微分方程法（散度、旋度）微分方程法（散度、旋度）1.积分方程法积分方程法 （即基本方程积分形式）（即基本方程积分形式）其中其中证明过程如下证明过程如下:(1)(1)高斯定律

6、高斯定律 (式式(3.2.1)(3.2.1)的证明的证明(3.2.1)(3.2.1)(3.2.2)(3.2.2)电通量电通量电力线表示场强的方向，通过垂直于场强的单位面积电力线的数目为电场强度的量值。通过曲面S的电通量可为曲面法线的正方向：曲面法线的正方向：封闭曲面，外法线为正方向。一般曲面，法线正方向与曲面边缘绕向成右手螺旋关系。其中称为电通密度。将点电荷q产生的电场强度代入，则在半径 r r 处的电通密度为：例如点电荷q在坐标原点，S为球面，S为任意封闭曲面。穿出曲面S的电通量与球面半径无关,即有：由于电力线连续性，则穿出S面和S的电力线数目是一样的，所以穿出曲面S的电通量亦为：例如当点电

7、荷q在闭曲面S之外时，穿入S1的电力线与穿出S2的电力线数目相同。通过S的总电通量为0。立体角的概念立体角的概念在半径为R的球面上任取一个面元dS，则此面元可构成一个以球心为顶点的锥体，取dS与R2的比值来定义dS对球心所张的立体角，单位为球面度（Sr）。整个球面对球心所张立体角是4：一般情况下，锥表面上元面积dS对离它R远的P点所张的立体角为：从P点看到dS的内侧时，d0；从P点看到dS的外侧时，ddl)表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。代入上式，得用二项式展开，又有，得(3.3.10)等位线方程（球坐标系）：电力线微分方程（球坐标系）：电力线微分方程（球坐标系）：将 和 代入上式，解得

8、线方程为例例2求电荷面密度为，半径为R，均匀带电源盘轴线上的电场强度(z0)。解解：采用柱坐标。在园盘上取半径为r宽为dr的园环，其元电荷dq(=2rdr)在轴线上P电所产生的电位园盘在P点产生的电场强度当R趋于无穷时，例例 3.3.2 ,3.3.2 ,例例3.3.3 3.3.3 见见P47-P48P47-P48此例与例例3.3.23.3.2 相似。补例补例 如右图所示，一带正电的点电荷q位于以内半径为a，外半径为b的导体球壳的球心上，求空间各处的电场强度及电位。分析分析由系统结构及电荷分布的特点，可以判断出电场分布具有球对称性；电场方向为半径r方向；导体球将空间分成三个区域（rb，bra，r

9、b rb 因因场分布具有球分布具有球对称性，可以采用高斯定律称性，可以采用高斯定律对电场 求解以球心求解以球心为圆心，以心，以rbrb为半径做一封半径做一封闭积分面，因分面，因为导体球壳本身不体球壳本身不带电，所以有：，所以有：（2 2）bra bra 导体中体中电场为零，即零，即 E E2 2=0=0 在在导体内部以体内部以r r（rabrab）为半径做半径做积分面，分面，导体中体中电场为零，零，闭合面合面电场通量通量为零，零，说明明闭合面内包合面内包围 的的总电荷荷为零。因此零。因此导体内表面上分布着与球心体内表面上分布着与球心处等量但符号相反的等量但符号相反的负电荷荷-q-q。又由于又由

10、于导体本身不体本身不带电，于是在，于是在导体球壳的外表面体球壳的外表面上必然分布着相上必然分布着相应的的电荷荷+q+q。如如图所示。所示。（3 3）ra ra 在此区域内同在此区域内同样应用高斯定律，可以得出用高斯定律，可以得出本题总结本题总结 由此由此题结果可果可见，置于，置于电场中的中的导体，其表面会感体，其表面会感应出分出分布布电荷。荷。这些感些感应电荷的分布荷的分布规律与律与导体表面体表面 的形状及外的形状及外部部电场有关。有关。这些分布些分布电荷荷产生的生的电场称称为二次二次电场。导体体中的中的总电场是由外部是由外部电场和分布和分布电荷荷产生的二次生的二次电场共同作共同作用的用的结果

11、，在果，在稳定状定状态下下这两种两种场在在导体中体中总是大小相等方是大小相等方向相反互相抵消。保向相反互相抵消。保证导体中的体中的总电场为零。零。图 点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场图 点电荷与接地导体的电场点电荷与接地导体的电场电力线与等位线（面）的性质：电力线与等位线（面）的性质：E线不能相交;E线起始于正电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场图1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场图1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方

12、程：推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。3.43.4泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程故得故得 泊松方程泊松方程为拉普拉斯方程为拉普拉斯方程为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子其中目前能解决的问题：(1)在无界空间内，已知电荷分布在有限区域内，介质均匀且各项同性，求电场分布(2)对于某些对称情况，应用高斯通量定理直接求得电场分布E和D在有限空间内：电场分布问题可归结为求得满足规定边界条件的泊松方程和拉普拉斯方程，即边值问题a已知边界上的电位函数，求场中的电位分布（第一类边值

13、问题）b已知边界上的电位法向导数，求导体电位和场中电位分布（第二类边值问题）c已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法向导数，求场的分布（混合边值问题）。如果边界是导体，则上述边界条件成为导体的电位和导体表面的电荷密度。通常，泊松方程和拉普拉斯方程难于用直接积分的方法解出，需用间接的方法。例3.4.1 p49例例 3.4.1 3.4.1 半径为半径为 a a 的带电导体球，一致球体电位为的带电导体球，一致球体电位为 U U（无无限远处电位为零），试计算球外空间的电位函数限远处电位为零），试计算球外空间的电位函数 。解：解：球外空间的电位满足拉普拉斯方程，边界条件是球外空间的电位满足拉普拉斯方程

14、，边界条件是r=a,=U;r,=0.因电位及其电场均具有对称性，即因电位及其电场均具有对称性，即 =(r),=(r),故拉普拉斯方程为：故拉普拉斯方程为：两边直接积分得两边直接积分得 ：由于由于 r,=0 ，故故 C C2 2=0.=0.为了决定常数为了决定常数C C2,2,利用边界条件利用边界条件r=a,=U得得：因此因此 由电场强度可求得电位的负梯度由电场强度可求得电位的负梯度,得到得到 ：此例中此例中 边界上给定是电位值：边界上给定是电位值：r=a,=U;r,=0 是一种类型的边界条件是一种类型的边界条件 ；实际中还有另一种边界条件：给出电荷密度分布，即给定实际中还有另一种边界条件：给出

15、电荷密度分布，即给定边界面上电位的法向导数值，如本例中可给出边界面上电位的法向导数值，如本例中可给出 3.7 3.7 唯一性定理唯一性定理 在给定的边界条件下，求解电位在给定的边界条件下，求解电位的泊松方程或拉普拉斯方的泊松方程或拉普拉斯方程，称为静电场的边值问题。边值问题分为三类：程，称为静电场的边值问题。边值问题分为三类：第一类：已知场域边界面第一类：已知场域边界面 S 上的电位分布上的电位分布，即给定：，即给定：第二类：已知场域边界面第二类：已知场域边界面 S S 上电位的法向导数或电荷分布，上电位的法向导数或电荷分布，即给定：即给定：第二类：已知场域边界面第二类：已知场域边界面 S S

16、 上电位及其法向导数的线性组合，上电位及其法向导数的线性组合，即给定：即给定：（1）静电场的边值问题能用解析法直接求解的的不多，许多静电场的边值问题能用解析法直接求解的的不多，许多问题需借助于各种间接的方法求解。于是就存在这样的问题：问题需借助于各种间接的方法求解。于是就存在这样的问题：用这样或那样方法求解得到的边值问题解答是否正确、是否是用这样或那样方法求解得到的边值问题解答是否正确、是否是独一无二的。独一无二的。这就是边值问题的解的这就是边值问题的解的唯一性问题唯一性问题。（2）唯一性定理唯一性定理表明表明：在静电场边界问题中，只要给定场域：在静电场边界问题中，只要给定场域内的电荷分布以及

17、边界面上的电位值（或电荷分布），则场的内的电荷分布以及边界面上的电位值（或电荷分布），则场的分布是唯一的。分布是唯一的。在给定的边界条件下，电位的泊松方程或拉普拉斯方程具有在给定的边界条件下，电位的泊松方程或拉普拉斯方程具有唯一解，称之为静电场的唯一性定理。唯一解，称之为静电场的唯一性定理。唯一性定理指出了静电场的边值问题具有唯一解的条件，同唯一性定理指出了静电场的边值问题具有唯一解的条件，同时为静电场边值问题的各种求解提供了理论依据，也为解的正时为静电场边值问题的各种求解提供了理论依据，也为解的正确性提供了判据。确性提供了判据。唯一性定理的理解：唯一性定理的理解：（3）唯一性定理的重要意义在

18、于：求解边值问题时，无论采唯一性定理的重要意义在于：求解边值问题时，无论采用什么方法，哪怕是凑，只要得到的解答能满足区域内的泊松用什么方法，哪怕是凑，只要得到的解答能满足区域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），给定的边界条件，则该解答就是此方程（或拉普拉斯方程），给定的边界条件，则该解答就是此问题唯一正确的解。问题唯一正确的解。（4）唯一性定理指出了边值问题具有唯一解的条件：唯一性定理指出了边值问题具有唯一解的条件：在边界上的任一点处，或给定电位的值，或给定电荷分布，在边界上的任一点处，或给定电位的值，或给定电荷分布，不能在同一点处既给定电位值又给定电荷分布，这可能导致问不能在同一点处既给定电位值

19、又给定电荷分布，这可能导致问题无解。题无解。唯一性定理为静电场问题的多种解法唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据析解等）提供了思路及理论根据。（5）由唯一性定理可知：静电场的两个边值问题，如果在给定）由唯一性定理可知：静电场的两个边值问题，如果在给定的场域内具有相同的电荷分布和相同的边界条件，不管场域外的场域内具有相同的电荷分布和相同的边界条件，不管场域外的电荷怎样分布，这两个边值问题在给定的场域内的场分布都的电荷怎样分布，这两个边值问题在给定的场域内的场分布都是相同的。这是镜像法的原理。是相同的。这是镜像法的原理。证明证明：（反证

20、法）（反证法）对场域求体积分，并利用高斯散度定理对场域求体积分，并利用高斯散度定理 或或电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度导体内电场强度E为零，静电平衡；为零，静电平衡；电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）接地导体都不带电。（）1.静电场中导体的性质2.2.静电场中的电介质静电场中的电介质图 静电场中的导体3.8 电介质极化 极化强度 电介质在外电场电介质在外电场E作用下发生极化作用下发生极化，形成有向排列

21、的电偶极矩；形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。无极性分子有极性分子图图 电介质的极化电介质的极化式中式中p p 为体积元为体积元V V内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P P的方向从负极化的方向从负极化电荷指向正极化电荷。电荷指向正极化电荷。用极化强度用极化强度P表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度电偶极矩体密度均匀：媒质参数不随空间坐标均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。而变化。各向同性：媒质特性不随电场的方向而改变各向

22、同性：媒质特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；一个电偶极子产生的电位：式中式中图图 电偶极子产生的电位电偶极子产生的电位实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中为电介质的极化率为电介质的极化率,无量纲量。无量纲量。应用矢量恒等式：应用矢量恒等式：体积体积V V 内电偶极矩产生的电位内电偶极矩产生的电位 极化强度极化强度P 是电偶极矩体密度，根据叠是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积加原理，体积()内电偶极子产生的电位为：内电偶极子产生的电位为：这就是电介

23、质极化后，由面极化电荷 P P 和体极化电荷P P共同作用在真空 0 中产生的电位。散度定理散度定理令令为极化电荷体密度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为极化电荷面密度 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和补例补例 一半径一半径为a a介介电场数数为 的介的介质球，其中充球，其中充满体密度体密度为 的的电荷荷 ，试求：求：（1 1）介）介质球内外的球内外的 E E 、P P ；（2 2）介介质球内束球内束缚电荷密度及介荷密度及介质球表面的束球表面的束缚电荷密度。荷密度。分析分析 由介由介质球及球及电荷

24、分布的荷分布的对称性，球内外的称性，球内外的 D D、E E 、P P 均在球的径向方向上，且在与介均在球的径向方向上，且在与介质球同心的等球同心的等R R圆上各自幅度上各自幅度相等。相等。解解（1 1）利用介）利用介质中的高斯定律中的高斯定律于是于是 当当rarara时，（2 2）介）介质球中（球中（ra)ra)在介在介质球表面球表面本题总结本题总结 掌握如何求解介掌握如何求解介质内的内的电场和束和束缚电荷密度。荷密度。（真空中）（真空中）（电介质中）（电介质中）代入代入 ,得得3.9 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律 边界条件边界条件 A)A)高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式定义电

25、位移矢量（定义电位移矢量（Displacement）则有则有此为电介质中高斯定律的微分形式此为电介质中高斯定律的微分形式其中其中 相对介电常数；相对介电常数；介电常数介电常数，单位（单位（F/mF/m）在各向同性介质中在各向同性介质中:D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。图示平行板电容器中放入一块介质后，其图示平行板电容器中放入一块介质后，其D线、线、E 线和线和P 线的线的分布。分布。D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。E线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线

26、图D、E与与P三者之间的关系三者之间的关系D的通量与介质无关，但不能认为的通量与介质无关，但不能认为D的分布与介质无关。的分布与介质无关。B B）高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式散度定理散度定理电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？思考思考：图 点电荷的电场中置入任意一块介质点电荷的电场中置入任意一块介质qq D的通量与介质无关，但不能认为的通量与介质无关，但不能认为D的分布与介质无关。的分布与介质无关。q 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：这两

27、个重要特性用简洁的数学形式为：C)C)静电场的基本方程静电场的基本方程图图 点电荷点电荷qq分别置于金属球壳的内外分别置于金属球壳的内外 D 通量只取决于高斯面通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上内的自由电荷，而高斯面上的的D是由高斯面内、外的系是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。统所有电荷共同产生的。能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量A 可以表示一个静电场。可以表示一个静电场。解：根据静电场的旋度恒等于零的性质解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,例例 已知已知 试判断它能否表示个静电场？试判断它能否表示个静电场？

28、以分界面上点以分界面上点 P P 作为观察点，作一作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（小扁圆柱高斯面（）。）。D)D)分界面上的边界条件分界面上的边界条件电位移矢量电位移矢量D的的边界条件边界条件 根据根据 图在电介质分界面上应用高斯定律分界面两侧的分界面两侧的D 的法向分量不连续。当的法向分量不连续。当 =0=0 时，时，D 的法向的法向分量连续。分量连续。则有则有图图 在电介质分界面上应用环路定律在电介质分界面上应用环路定律分界面两侧分界面两侧E 的切向分量连续的切向分量连续。根据根据 则有则有 以点以点P P 作为观察点，作一小矩形作为观察点，作一小矩形回路（回路（）。）。电场强度电场强度E

29、 的边界条件的边界条件 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的边界条件为：当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的边界条件为：图图 导体与电介质分界面导体与电介质分界面表明：表明：（1 1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；法向分量；（2 2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度就等于该点的自由电荷密度 。图 分界面上E线的折射在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E、D满足折射定律。满足折射定律。为折射定律为折射定律表明表明:在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，

30、电位是连续的。图图 电位的边界条件电位的边界条件如图如图 设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的分别位于分界面的两侧，其间距为两侧，其间距为d d，d d 0,0,则则 E)E)用电位函数用电位函数 表示分界面上表示分界面上的边界条件的边界条件因此因此思考思考 ：对于导体与理想介质分界面，用电位对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的边界表示的边界条件应是如何呢？条件应是如何呢？表明表明:一般情况下（一般情况下（00）,电位的导数是不连续的。电位的导数是不连续的。而对于电位的导数，则有而对于电位的导数，则有 ：（a）（b）图 平行板电容器平行板电容器 补例补例 如图如图(a)(a)与图与

31、图(b)(b)所示平行板电容器所示平行板电容器,已知已知 d d1 1,d d2 2,S S1 1,S S2 2,1 1和和2 2,图图(a)(a)已知极板间电压已知极板间电压U0 ,图图(b)(b)已知极板上总电已知极板上总电荷荷 q q0 0 ,试分别求其中的电场强度。试分别求其中的电场强度。图图（a a）图（图（b b）解：忽略边缘效应解：忽略边缘效应(1)J(1)J 的散度的散度3.10 3.10 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 边值条件边值条件恒定电流空间中存在的电场，称为恒定电流场，即恒定电场。恒定电流空间中存在的电场，称为恒定电流场，即恒定电场。这里主要讨论导电媒质内的电流

32、形成的电场。这里主要讨论导电媒质内的电流形成的电场。电荷守恒定律电荷守恒定律在恒定电场中在恒定电场中故故恒定电场是一个无源场，电流线是连续的恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。恒定电场是无源恒定电场是无源 、无旋场。、无旋场。(3)(3)恒定电场（电源外）的基本方程恒定电场（电源外）的基本方程(2)(2)E 的旋度的旋度所取积分路径不经过电源，则所取积分路径不经过电源，则恒定电场是无旋场。恒定电场是无旋场。斯托克斯定理斯托克斯定理(4)(4)欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式电场是维持恒定电流的必要条件。由金属电子理论可电场是维持恒定电流的必要条件。由金属电子理论可以证明以证明为欧姆定律的

33、微分形式。为欧姆定律的微分形式。式中式中 为电导率，单位为电导率，单位s/ms/m（西门子西门子/米）。米）。一般金属材料的电导率一般金属材料的电导率是一个常数，但随温度变化。是一个常数，但随温度变化。恒定电流场与恒定电场相互依存。电流恒定电流场与恒定电场相互依存。电流J与电场与电场E方向一致。方向一致。电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI(5)(5)焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式 导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗(焦耳损耗）焦耳损耗）。由式由式(3.10.1)(3.10.1)可以证明其功率的体密度为可以证

34、明其功率的体密度为:(3.10.1)(3.10.1)(6)(6)电源电势与局外场强电源电势与局外场强电源电源要想在导线中维持恒定要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将电流，必须依靠非静电力将B B极板的正电荷抵抗电场力搬极板的正电荷抵抗电场力搬到到A A极板。这种提供非静电力极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能将其它形式的能量转为电能装置称为电源。装置称为电源。图2.2.2 恒定电流的形成恒定电流的形成电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强设局外场强为设局外场强为 ，则电源电动势为，则电源电动势为电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即 P

35、=UI=I2R(W)焦耳定律的积分形式焦耳定律的积分形式焦耳定律的微分焦耳定律的微分形式形式 电源电动势与有无外电路无关，电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。它是表示电源本身的特征量。图 电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强考虑局外场强考虑局外场强 (Ee=E)因此因此局外场局外场 Ee=E 是非保守场。是非保守场。（7 7）分界面的边界条件）分界面的边界条件分界面上的边界条件 说明分界面上电场强度的切向分说明分界面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连量是连续的，电流密度法向分量是连续的。续的。图图 电流线的折射电流线的折射折射定律为折射定律为两种特殊情况分

36、界面上的电场分布：两种特殊情况分界面上的电场分布：a)a)媒质媒质1是良导体是良导体 1=5107s/m ;媒质媒质2不是良导体不是良导体2=土壤土壤 =10-2s/m 。由折射定理得由折射定理得，则则 它表明，只要它表明，只要 1 1/2/2，电流线垂直于良导体表面穿出，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面良导体表面近似为等位面b b）媒质媒质1 1是导体是导体10，媒质媒质2 2是理想介质是理想介质 2=0情况。情况。说明：导体中的电流线与分界面（导体表说明：导体中的电流线与分界面（导体表面）平行。面）平行。说明：说明：导体与理想介质分界面上有恒定（动态平衡下的）面导体与理想

37、介质分界面上有恒定（动态平衡下的）面电荷分布电荷分布。说明：说明：电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。即导体沿电流方向有电压降。面。即导体沿电流方向有电压降。图 载流导体表面的电场载流导体表面的电场 若若 理想导体，导体内理想导体，导体内部电场为零，电流分布在导体表部电场为零，电流分布在导体表面，面，导体表面为等位面。导体表面为等位面。沿电流沿电流方向没有电压降。导体不损耗能方向没有电压降。导体不损耗能量（即焦耳热损耗为零）。量（即焦耳热损耗为零）。导体周围介质中的电场：导体周围介质中的电场：3.11 3.11 导体系统的电容导体

38、系统的电容在静电平衡下，导体的性质如下：在静电平衡下，导体的性质如下：导体内部：导体内部：导体为等位体导体为等位体。导体表面：导体表面：1.在线性、各向同性的电介质中，两个导体电极形在线性、各向同性的电介质中，两个导体电极形成的电容器的电容定义为：成的电容器的电容定义为：单位：单位：电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关，与电位和电荷无关。导体周围的介质有关，与电位和电荷无关。工程上的实际电容有工程上的实际电容有：电力电容、电子线路用的各种电力电容、电子线路用的各种小电容器。小电容器。电容的计算思路：电容的计算思路：（1）（2）当

39、当时时（孤立导体球的电容）（孤立导体球的电容）球形电容器的电容球形电容器的电容同心导体间的电压同心导体间的电压 例例 试求球形电容器的电容。试求球形电容器的电容。图 球形电容器球形电容器解：设内导体的电荷为解：设内导体的电荷为 q ,则由则由 线性（线性（为常数）为常数）、多导体、多导体(三个以上导体三个以上导体)组成的系统；组成的系统；部分电容概念部分电容概念图图 三导体静电独立系统三导体静电独立系统2.2.多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容 静电独立系统静电独立系统电位移电位移D线是从这个系统中的带电体发出，线是从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统内的其余带电体上，与外界无任何联

40、系，即并终止于该系统内的其余带电体上，与外界无任何联系，即(1)(1)已知导体的电荷，求电位和电位系数已知导体的电荷，求电位和电位系数 以接地导体为电位参考点以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上导体的电位与各导体上的电荷的关系为（三导体为例）的电荷的关系为（三导体为例）以此类推以此类推（n+1)个多导体系统只有个多导体系统只有n n个电位线性独个电位线性独立方程，即立方程，即或：或：（3.11.1）其中其中 或写成矩阵形式为或写成矩阵形式为p-电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；pii-自电位系数，表明导体自电位系数，表明导体 i 上

41、电荷对导体上电荷对导体i 电位的贡献；电位的贡献；pij-互电位系数，表明导体互电位系数，表明导体 j 上电荷对导体上电荷对导体i 电位的贡献；电位的贡献；(2)已知带电导体的电位，求电容系数和感应系数已知带电导体的电位，求电容系数和感应系数ii-称为电容系数（下标相同）；称为电容系数（下标相同）；ij-称为感应系数称为感应系数（下标不同）（下标不同）。可以证明：可以证明：ij=ji(3.11.2)(3)(3)已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容将式将式（3.11.2）可改写为另一种形式。可改写为另一种形式。以以式（式（3.11.2）中的第一式为例）中的

42、第一式为例:令令和和则上式可写为则上式可写为:类似可得类似可得(3.11.3)其中：其中：为自有部分电容为自有部分电容为互有部分电容为互有部分电容（1）所有部分电容都是正值。）所有部分电容都是正值。所有部分电容都只与各所有部分电容都只与各导体的几何参数及系统中的介电常数有关。导体的几何参数及系统中的介电常数有关。部分电容性质部分电容性质:（2）互有部分电容）互有部分电容 Cij =Cji 。（3）(n+1)个导体静电独立系统中，共应有个导体静电独立系统中，共应有n(n+1)/2个部分电容。个部分电容。（4）部分电容是否为零）部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线取决于两导体之间有否电力线

43、相连。相连。综上所述，多导体系统电荷与电位间关系，可以通综上所述，多导体系统电荷与电位间关系，可以通过三套系数，即过三套系数，即p、C来表示。来表示。三者相比，三者相比，p 易于计算易于计算;便于测量便于测量;C 可通过计算，可通过计算，也可直接测定也可直接测定,主要优点是可以将场的概念和路的概主要优点是可以将场的概念和路的概念联系起来，念联系起来，即即 静电场问题静电场问题 静电电容的网络问题静电电容的网络问题。图图 部分电容与电容网络部分电容与电容网络1.1.带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外

44、力作功转化而来的。1)1)连续分布电荷系统的静电能量连续分布电荷系统的静电能量假设：假设：电荷系统中的介质是线性的（电荷系统中的介质是线性的（为常数）；为常数）；一、一、静电能量静电能量 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。3.12 3.12 电场能量电场能量 静电力静电力 设系统完全建立时，导体上电荷的最终值为设系统完全建立时，导体上电荷的最终值为q、电位值为、电位值为。在充电过程中，在充电过程中，q 与与 的增长比例为的增长比例为，00 1 1。设电荷体密度是设电荷体密度是，面密度是，面密度是，且介质为线性。，且介质为线性。如果在建立该带电系统电

45、场的某一瞬间如果在建立该带电系统电场的某一瞬间 t 时刻，场时刻，场中某点中某点 P 的电位为的电位为:则根据则根据 对该点引入增量电荷对该点引入增量电荷 dq，即，即从无穷远处移至该点从无穷远处移至该点外力作功外力作功 这个功将转化为静电能量储存在电场中。这个功将转化为静电能量储存在电场中。对应于对应于电场建立全过程，总电场可由此式的积分得出。电场建立全过程，总电场可由此式的积分得出。式中式中 增量电荷增量电荷或或（A-1）静电场是保守力场，其场能量仅取决于电荷的最终静电场是保守力场，其场能量仅取决于电荷的最终分布状态，而与电荷怎样达到该状态的过程无关。因分布状态，而与电荷怎样达到该状态的过

46、程无关。因此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所有带电此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长。体的电荷密度都按同一比例增长。设此增长比例系数为设此增长比例系数为（01），即），即是变量。是变量。充电开始时各处电荷密度都等于零（充电开始时各处电荷密度都等于零（=0）；）；充电结束时各处电荷密度都等于最终值（充电结束时各处电荷密度都等于最终值（=1）。）。由此可知，在充电过程中的任何时刻，电荷密度增量由此可知，在充电过程中的任何时刻，电荷密度增量和和相应的电荷增量相应的电荷增量和和按式（按式（A-1）积分可得总静电能为）积分可得总静电能为（A-2）式中式中是充

47、电终状态对应的电位值。是充电终状态对应的电位值。由于所有电荷按同一比例由于所有电荷按同一比例增长，故电位为增长，故电位为将此电位关系代入式将此电位关系代入式（A-2）（A-3）即即 面电荷系统面电荷系统的静电能量的静电能量则体电荷系统的静电能量则体电荷系统的静电能量(3.12.1)(3.12.2)(3.12.3)2）由于每一导体表面是等位面，而对于）由于每一导体表面是等位面，而对于n个带电导个带电导体系统，可有体系统，可有2.2.静电能量的分布及能量密度静电能量的分布及能量密度 扩大到无限空间，相应的扩大到无限空间，相应的表面表面 S 亦包括所有带电体表面。亦包括所有带电体表面。图1.9.1

48、推导能量密度用图将将代入式代入式(3.12.1),应用高斯定理及矢量恒等式：应用高斯定理及矢量恒等式：(3.12.1)得到：得到：考虑到考虑到 ：即：即：则能量密度为则能量密度为 (3.12.6)故得静电能量：故得静电能量：(3.12.5)将式将式(2)(2)代入式代入式(1),(1),得得结论：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量结论：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量例例 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为半径为 a 的介质球产生的介质球产生的静电能量。的静电能量。解法一、应用高斯定理，得解法一、应用高斯定理，得有限，解法二、由微分方程法得电位函数为解法二、由微分

49、方程法得电位函数为2.2.虚位移法虚位移法 (VirtualDisplacementMethod)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。向为广义坐标增加的方向。二者关系：二者关系：广义坐标广义坐标 距距 离离 面面 积积 体体 积积 角角 度度 广义力广义力 机械力机械力 表面张力表面张力 压强压强 转矩转矩 （单位）（单位）（N）（N/m）（N/m2）Nm广义力广义

50、力广义坐标广义坐标=功功二、静电力二、静电力1.由电场强度由电场强度E的定义求静电力，即的定义求静电力，即 图1.9.4 多导体系统设设(n+1)个导体组成的系统个导体组成的系统,只有导体只有导体P发生位移发生位移dg，此时系统中带电体的电位或电荷将发生变化，其功，此时系统中带电体的电位或电荷将发生变化，其功能关系为能关系为外源提供能量外源提供能量=静电能量增量静电能量增量+电场力所作功电场力所作功即：即：（1 1）常电荷（）常电荷（q=常数）系统（常数）系统（K打开）：打开）：它表示取消外源后，电场它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。电能量来实