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1、第5章 通信网中的流量优化篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n引言 网的作用主要是将业务流从源端送到宿端。为了充分利用网资源，包括线路、转接设备等，总希望合理的分配流量，以使从源到宿的流量尽可能大，传输代价尽可能小等。流量分配的好坏将直接关系到网的使用效率和相应的经济效益，是网运行的重要指标之一。网内流量的分配并不是任意的，它受限于网的拓扑结构、边和端的容量，所以流量分配实际上是在某些限制条件下的优化问题。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5.1
2、流量优化的一般性问题n用有向图 表示通信网。其中端集：。对于各边，设为有向边，其中eij表示从Vi到Vj的边。每条边能够通过的最大流量称为边的容量，以Cij表示；而这条边上实际的流量记为fij。一组流量的安排fij称为网内的一个流。n若这个流使得从源端到宿端有总流量F，则，fij必须满足以下条件：n（1）非负性和有限性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n（2）连续性 其中，具有m条边、n个端的图共有2mn-1个限制条件，其中包括：m个非负性条件，因为m条边的非负性；m个有限性条件，因为m条边的有限性；n1个连续性条件，因
3、为对应于n个端的n个等式，有一个不是独立的，故只有n1个端的连续性。则满足（1）和（2）条件的称为可行流。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n不同的流量分配可得不同的可行流。一般有两种优化可行流的问题：n（1）最大流问题：研究变更可行流中各fij值，使得总流量最大。n（2）最佳流问题（即最小费用流）：由于各条边的参数中，有容量Cij的规定，费用aij的差别，即单位流量所需的费用。调整fij使得总费用：n 最小。n更复杂的问题是：流量fij可以调整；容量Cij可选择，但边有容量的限制；各端有转接容量的限制；源端和宿端可能有
4、多个；各边中单位容量的费用ij；各端中转接容量的费用ii；篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 则转接容量 ；目标函数即总费用：。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5.2 最大流量问题n有向图G（V，E），设X是端集V的一个真子集，并且源端VsX，宿端VtGX；（X，）表示X和 的界上的边集，这个边集是把Vs和Vt分开的一个割集（最小割边集）。取VsVt的方向为割集的方向。与割集方向一致的边，称为前向边；与割集方向相反的边，称为反向边；显然，前向边的
5、集合可以割断VsVt的通路。定义割集中前向边容量之和为其割容量，或简称割量。记为 ；篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n源宿端的总流量F符合两个关系：n证明：由连续性公式，对于 ，有n对所有X中的 求和，可得篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n求和时一项为正，一项为负而抵消，所以可得n根据定义可得（1），如下n由于和流量必不大于容量，得n再由流量的非负性和，得(2)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分
6、系统是一种得分类型的系统n饱和边：fijCij的前向边称为饱和边；fij fij,即可增流，则标（，i，ei），表示ij有边，可增流ei 其中ejmin（Cijfij，ei）；n1.未标记节点：所有未赋标记的节点；n2.未检查的标记节点：如果节点 x 已有标记，但其邻接节点yn没有完全标记，则x称为未检验的标记节点；n3.已检查的标记节点：若节点 x 已标记，x 所有邻接的节点都n已标记，则x 称为已检验的标记节点；篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n标记：(+，x，w)或(，x，w)表示，其中xV，w是标记值。M算法中
7、图G的节点标记有三种情况：n（1）.未标记节点：所有未赋标记的节点；n（2）.未检查的标记节点：如果节点 x 已有标记，但其邻接节点y没有完全标记，则x称为未检验的标记节点；n（3）.已检查的标记节点：若节点 x 已标记，x 所有邻接的节点都已标记，则x 称为已检验的标记节点；n1标记过程n第1步：对源节点S标记(+,s,)；n第2步：任选一个未检查的标记节点x，对与x邻接未标记节点y：n(a).对所有(x,y)E的未标记节点y，若f(x,y)0，则对节点y标记（,x,w(y)），其中w(y)=minw(x),f(y,x)；在x的标记+或-上加上圆圈，x就成为已检查的标记节点。n第3步：A.若
8、节点t被标记，则转至算法的增广过程；nB.若节点t虽然未被标记，但标记过程不能继续下去，就结 束算法；否则，就返回标记过程的第2步。2增广过程n第1步：设节点Z=t，转至下面的第2步；(逆向增广)n第2步：若Z的标记(+,q,w(z)，或(,q,w(z)，将流f(q,z)变成f(q,z)+w(z)；若Z标记(,q,w(z)，或(,q,w(z)，将流f(z,q)变成 f(z,q)w(z)；n第3步：若 q=s，取消网G中所有节点的标记，并转至算法标记过程第1步，进行下一次迭代过程；若 q s，设q=Z，返回增广过程第2步。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛
9、的计时计分系统是一种得分类型的系统n(三)、算法复杂度n在一次迭代中，标记过程需比较：(n1)+(n2)+1=0.5n(n 1)次;n在增广过程的第2步需进行加法/减法运算为：(n-1)次；若网络可增的最大流量为fst，则算法复杂度为O(fstn2)。M算法推广 1.无向网和混合网中的最大流无向网和混合网中的最大流 无向网和混合网中的最大流无向网和混合网中的最大流n在无向图或混合网G中，无向边(x,y)可理解为：C(x,y)=c(y,x)；c(x,y)f(x,y),c(x,y)f(y,x)且 f(x,y)f(y,x)=0。n求无向网或混合网G中最大流的一般过程为：n1）先将混合网G(V,E,c
10、,f)中的每条无向边变换成一对有向边(x,y)和(y,x)；且c(x,y)=c(y,x)=c(x,y)。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n2）为了保证混合网G(V,E,c,f)的无向边的流量只在一个方向上流动，即在有向网G(V,E,c,f)中，满足：maxf(x,y)，f(y,x)=f(x,y)，且f(x,y)f(y,x)=0；n3）应用前面介绍的求最大流方法，求有向网G的最大流fmax。n4）.应用公式f(x,y)=max0,|f(x,y)-f(y,x)|，构造原网G可行流型。n2.节点节点弧限容量网的流弧限容量网的
11、流n求节点-弧限容量网最大流方法：把节点弧容量网G转化为弧限容量网G，在G中求出最大流，即是G网的最大流。n对每个节点和弧有：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n求节点-弧限容量的一般过程：n1在节点-弧限容量网G(V,E,c,f)中的每一节点i,对应仅有弧限的容量网G(V,E,c,f)中的两点i，i,其中i，iV；n2G网中的弧(i,j)E，则对应G中的弧(i,j)E；同时，G网中弧容量为：C(i,j)=C(i,j);C(i,i)=h(i),iV；n3对弧限网G，用前面介绍的福特-福克森算法求G网中s到t的最大流fma
12、x，这即是网G的最大流。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n 3.多源多宿最大流问题n将Vs与网络内所有源端用容量为的有向边相连接；z将Vt与网络内所有宿端用容量为的有向边相连接；上2步将多源多宿问题转变为单源单宿问题；如何使用介绍的M算法，求Vs到Vt的最大流量方法也就解决了多源多宿总流量最大的问题。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5.3 最佳流问题n给定网络的结构：G（V，E）；边容量Cij；eij为流量，其边费用aij；总流量要求Fst，计
13、算总的 aijcij最小。最佳流的算法，一般使用负价环算法(N算法)：n如果网络的源宿端之间有两条以上的径，则源宿之间的可行流在保持总量不变的情况下，总有改变流量分配的可能性，即按照不同的路径分配流量。由于各路径的可行流不同，将使得总经费（或其它参数）最佳。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n例：图例：图56负价环求最佳流的负价环求最佳流的N算法。算法。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n补图：补图：调整网络中路径的可行流，使得网络的运行状况改变。
14、此图对于原图，称为补图。n负价环：负价环：补图上如果存在一个有向环，环上各边的aij之和是负数，则称此环为负价环。n负价环的特性：负价环的特性：若网络沿负价环方向增流，并不破坏环上诸端的流量连续性，也不破坏各边的非负性和有限性。结果得到一个Fst不变的可行流，其总费用将有所降低。n由此可见，降低任一可行流的总费用，可归结为在该流的补图上寻找负价环。当一个可行流的补图上不存在负价环时，此流就是最佳流或者是最小费用流。n若在补图上存在零价环（补图各边之和为0），则在环上增流可得到总费用相同的另外一组可行流。n最佳流可以有几种，但是总费用是一样的。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定
15、胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n负价环算法负价环算法N 算法算法nN0：在图上找任一满足总流量Fst的可行流；nN1：作补图。对所有边eij，若Cijfij，作边eij，其容量为Cijfij，费用为aij；若fij0，再作eij,其容量为Cijfij，费用为aij。nN2：在补图上找负价环。如果无负价环，算法终止；如果有负价环，则沿负价环C方向使各边增流，增流值为：Min Cij；并且修改原图的边流量，得新的可行流，返回N1。负价环算法在选择某一回路时，遵循同一回路最大化的原则。因为在一个回路内，相邻的链路，可以增流，也可以减流，都可以达到改善的效果，我们只需要使得其
16、总的效果最佳即可。即使得效益最大化即可。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n负价环例负价环例2：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 负价环法也可推广到无向图和端由容量的情况，其方法与前面讨论的相同，这里不再重复。对于多源多宿问题，即多商品问题，只要能找到起始的可行流，负价环法是适用的，因为环内增流不会影响源宿间的流量，只是路由有所改变。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5.4
17、 线性规划简介n在上述内容中，线性规划可用来解决大部分流量问题。尤其是当前面所说的那些图论方法不适用时，更需要借助于这类一般化的方法。n5.4.1 线性规划的标准型n在含有不等式的限制条件下求值时，通常的乘子求导法已失效。这类问题在实际工程中却很多，网结构和控制的优化问题。所有限制条件和目标函数都是变量的线性方程。n设有n个待定变量x1,x2,xn，m+n个限制条件 n 其中，aij和si均为已知常数。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n令目标函数是n其中，vj也是已知常数。问题在于选择满足限制条件下f值最大。n先从几何
18、观点来看一下这个问题的实质。在xj所张的n维空间中，若把限制条件中m+n个不等式都写成等式，他们是m+n个超平面。那么满足这些不等式就意味着（x1,x2,xn）点应在这些平面之间；而这些超平面所围成的超平面多面体是凸的，也就是体内任两个点之间的联接线必在体内。在看一下目标函数，不同的f形成不同的相互平行的超平面，使f最大的点必在上述超多面体的某一顶点上。顶点是n个超平面的交点，或者说限制条件中的m+n个不等式，有n个等式。这种顶点很多，求解线性规划问题就是系统地搜索这些顶点，以达到f最大。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系
19、统n为了说明上述原理，现举一个n=2的例子来了解搜索方法。n设要建设2条通信线路，容量为x1和x2。由于原材料等的限制，必须满足下列条件n若2条线路的收益不同，建成后的总收益为n如何选择x1和x2以使上述f最大？n解析见p153。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n5.4.3 对偶定理n先重新标准型（S型）的通式n条件下，求n的最大值。n它的对偶问题或称为D型是以u1为变量，在篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n条件下，求n的极小值。n对两个问题中的aij，si和vj为相同的给定常数。n对偶定理：当S型问题的解fmax，所需的ui=zi，zi就是S型解中最后算出的各z值。