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1、第第9 9章章 边界层理论边界层理论 (Boundary Layer Theory)Background:Background:粘粘性性绕绕流流的的流流动动特特征征与与粘粘性性阻阻力力，阻力产生与减阻。阻力产生与减阻。L.L.Prandtl:Prandtl:a German(1904)，近代流体力学的奠基人。近代流体力学的奠基人。Flow Over Immersed Bodies Flow Over Immersed Bodies边界层边界层与阻力与阻力 Flow Over Immersed Bodies Flow Over Immersed BodiesWing：streamlined bo
2、dy Blunted bodies90%byswimmersshape；10%byfrictionbetweenskinorcostumeandthewater.New fabric takes drag out of swimmingNew fabric takes drag out of swimming9.1 9.1 边界层的概念边界层的概念 LargeReynoldsNumberFlow低速飞机：低速飞机：L30m，U0=100m/s，n n=1.510-5m2/s高速船舶：高速船舶：U0=50kn25m/s:Re1 流动意味着粘性力相对于惯性力很小，流动意味着粘性力相对于惯性力很小，
3、忽略粘性？忽略粘性？忽略粘性？忽略粘性？1.1.1.1.大大大大ReReReRe数绕流流场的特征数绕流流场的特征数绕流流场的特征数绕流流场的特征（CharacteristicsofFlowPastanObject)CharacteristicsofFlowPastanObject)边界层定义：边界层定义：边界层定义：边界层定义：速度梯度很大的薄层。粘性在该薄层内起作用速度梯度很大的薄层。粘性在该薄层内起作用。全流场分成二个流动区域（全流场分成二个流动区域（PlandtlBLModel）：d(x)u(x,y)xyU0oUe图9.1.1平壁面绕流的边界层0.99UeUeLUeRe1尾涡区外部势流边
4、界层流图9.1.2大Re数绕流流场划分uys uUe外区（外区（外区（外区（y y ）：）：）：）：几何尺度几何尺度xL，yL；流动尺度；流动尺度uU0，vU0。可略去粘性可略去粘性的作用，的作用，无粘流无粘流。内区（内区（内区（内区（y y ）：）：）：）：几何尺度几何尺度xL，y。速度梯度大，考虑。速度梯度大，考虑粘性粘性。2.2.2.2.边界层厚度估计边界层厚度估计边界层厚度估计边界层厚度估计 (StandardBoundaryLayerThickness)名义厚度名义厚度名义厚度名义厚度定义定义定义定义：u=0.99Ue 处的处的y值值 (x)(x)。Re大时大时边界层很薄边界层很薄，
5、约为，约为毫米的量级毫米的量级。d(x)u(x,y)xyU0oUe图9.1.1平壁面绕流的边界层0.99UeUeL边界层内惯性力与粘性力之比属同量级边界层内惯性力与粘性力之比属同量级:3.3.3.3.边界层排挤厚度边界层排挤厚度边界层排挤厚度边界层排挤厚度 (BoundaryLayerDisplacementThickness)(BoundaryLayerDisplacementThickness)定义：定义：定义：定义：物理意义：物理意义：物理意义：物理意义：用于边界层精确计算时修正物面用于边界层精确计算时修正物面用于边界层精确计算时修正物面用于边界层精确计算时修正物面Ue*DCBADCA*
6、d0.99Uexy图9.1.3边界层排挤厚度 厚厚度度为为 的的理理想想流流体体进进入入边边界界层层时时的的流流量量损损失失等等于于损损失失了了厚厚度度为为*的的理理想想流流体体的的流流量量*Ue。它它被被排排向向主主流流，使使主主流流的的流流线线较势流流线外移较势流流线外移 *。相当于。相当于势流中物体增加了势流中物体增加了*(x)厚度厚度。4.4.4.4.边界层动量损失厚度边界层动量损失厚度边界层动量损失厚度边界层动量损失厚度(BoundaryLayerMomentumThickness)(BoundaryLayerMomentumThickness)定义：定义：定义：定义：物理意义：物理
7、意义：物理意义：物理意义：边界层内损失的动量相当于厚度为边界层内损失的动量相当于厚度为 的理想流体动量。的理想流体动量。Ue*DCBADCA*d0.99Uexy图9.1.3边界层排挤厚度动量定理：动量定理：动量定理：动量定理：几个厚度比较：几个厚度比较：几个厚度比较：几个厚度比较：它们都是流向位置它们都是流向位置 x 的函数，随的函数，随x的增加而增厚。的增加而增厚。d(x)u(x,y)xyU0oUe图9.1.1平壁面绕流的边界层0.99UeUeL5.5.边界层的基本特征边界层的基本特征边界层的基本特征边界层的基本特征 (basiccharactersofBL)(basiccharacters
8、ofBL)（1）边界层很薄：）边界层很薄：（2）边界层内速度梯度很大，粘性不可忽略：）边界层内速度梯度很大，粘性不可忽略：（3）边界层内压力沿壁面法向不变，等于外部势流压力：）边界层内压力沿壁面法向不变，等于外部势流压力：（4）边界层内速度分布具有渐进性：）边界层内速度分布具有渐进性：,9.2 9.2 边界层微分方程边界层微分方程 (BoundaryLayerDifferentialequation)(BoundaryLayerDifferentialequation)不可压缩流体、平面、定常粘性流动不可压缩流体、平面、定常粘性流动NS微分方程组微分方程组 Plandtl Plandtl 边界
9、层方程（边界层方程（边界层方程（边界层方程（1904)1904)：边界层近似边界层近似 9.3 9.3 平板层流边界层准确解平板层流边界层准确解d(x)u(x,y)x yUoU0.99UUL“基基洛洛夫夫”级级导导弹弹巡洋舰巡洋舰Albatross flying above sea wavesTalking Talking about about a flat plate,a flat plate,Why?Why?9.3 9.3 9.3 9.3 平板层流边界层准确解平板层流边界层准确解平板层流边界层准确解平板层流边界层准确解 (LaminarBLonaFlatPlate(LaminarBLon
10、aFlatPlateH.BlasiusH.Blasius，19081908 )半半无无限限长长平平板板、不不可可压压缩缩、定定常常、层层流流、不不计计重重力力、：d(x)u(x,y)x yUoU0.99UUL边界层方程边界层方程（nonlinear）三阶常微分方程三阶常微分方程（nonlinear）边界层速度剖面相边界层速度剖面相似性（似性（mapping）Blasius相似性解解法相似性解解法(1908)d(x)u(x,y)x yUoU0.99UUL 将将 f()在在=0的邻域内展开成幂的邻域内展开成幂级数级数；由边界条件确定各系数。由边界条件确定各系数。后来后来L.Howarth(1938
11、)给出更精确的数值结果。给出更精确的数值结果。三阶常微分方程三阶常微分方程三阶常微分方程三阶常微分方程（nonlinear）Table 9.1 Blasius Analytical solutionTable 9.1 Blasius Analytical solution (Howarth value)(Howarth value)表表9.1Blasius解（解（Howarth结果结果）0.0000.332064.83.085340.987790.021870.40.026560.132770.331475.03.283290.991550.015910.80.106110.264710.32
12、7395.23.481890.994250.011341.20.238950.393780.316595.63.880310.997480.005431.60.420230.516760.296676.04.279640.998980.002402.00.650030.629770.266756.44.679380.999610.000982.40.922300.728990.228096.85.079280.999870.000372.81.230990.811520.184017.25.479250.999960.000133.21.569110.876090.139137.65.8792
13、40.999990.000043.61.929540.923330.098098.06.279231.000000.000014.02.305760.955520.064248.46.679231.000000.000004.42.692380.975870.038978.87.079231.000000.00000d(x)u(x,y)xyUoU图9.1.1平壁面绕流的边界层0.99UeUL1.1.层流边界层的速度分布层流边界层的速度分布层流边界层的速度分布层流边界层的速度分布（velocityprofile)velocityprofile)名义厚度：名义厚度：名义厚度：名义厚度：排挤厚度：排
14、挤厚度：排挤厚度：排挤厚度：动量损失厚度：动量损失厚度：动量损失厚度：动量损失厚度：2.2.边界层的各种厚度边界层的各种厚度边界层的各种厚度边界层的各种厚度 (thickness)(thickness)01234567890.40.200.81.00.6d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL3.3.壁面局部摩擦阻力系数壁面局部摩擦阻力系数壁面局部摩擦阻力系数壁面局部摩擦阻力系数(local shearing stress)(local shearing stress)4.4.平板的总摩擦阻力与阻力系数平板的总摩擦阻力与阻力系数平板的总摩擦阻力与阻力系数平板的总摩擦阻力与阻力系数 郭永怀
15、二阶近似解：郭永怀二阶近似解：郭永怀二阶近似解：郭永怀二阶近似解：郭永怀郭永怀郭永怀郭永怀（1909190919681968）d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL5.5.关于关于关于关于BlasiusBlasius相似性解的几点说明：相似性解的几点说明：相似性解的几点说明：相似性解的几点说明：正确性（正确性（正确性（正确性（ValidationValidation）：有限长平板用无限长解近似，有限长平板用无限长解近似，有限长平板用无限长解近似，有限长平板用无限长解近似，Nikuradse(1942)Nikuradse(1942)风洞实验验证。风洞实验验证。风洞实验验证。风洞实验验证。
16、应用应用应用应用（ApplicationApplication）：摩擦阻力计算（估算）；摩擦阻力计算（估算）；校准边界层测速装置的探头；校准边界层测速装置的探头；边界层数值计算方法与程序的校核；边界层数值计算方法与程序的校核；计算湍流边界层时，物体前缘附近层流段解析表达。计算湍流边界层时，物体前缘附近层流段解析表达。9.4 9.4 9.4 9.4 边界层动量积分方程式边界层动量积分方程式边界层动量积分方程式边界层动量积分方程式(Von Karman,1921Von Karman,1921)(MomentumIntegralBLEquationforaFlatPlate)(MomentumInt
17、egralBLEquationforaFlatPlate)航空大师航空大师航空大师航空大师 T.vonKrmn:T.vonKrmn:美国西岸加州理工学院古根海姆航空实验室美国西岸加州理工学院古根海姆航空实验室 （GALIT)国际空气动力学研究中心国际空气动力学研究中心。解析解：解析解：limited to laminar近似解：近似解：laminar and turbulent(a fast method for estimating friction drag).9.4.1 9.4.1 边界层动量积分方程式边界层动量积分方程式边界层动量积分方程式边界层动量积分方程式 沿边界层的任一截面沿边界
18、层的任一截面x处，取长处，取长度为度为dx 的微元（单位宽度）控的微元（单位宽度）控制体，控制面为制体，控制面为Sabcda。壁面剪应力壁面剪应力 0与边界层与边界层参数参数*、之间的关系之间的关系 Uebaut0 pdcxdxy图9.4.1边界层动量积分方程动量定理（动量定理（动量定理（动量定理（x方向方向）：（单位时间）流出控制体的动量流入的动量作用于控制面上的合外力（单位时间）流出控制体的动量流入的动量作用于控制面上的合外力 Uebaut0 pdcxdxy图9.4.1边界层动量积分方程流入流入流入流入：流出流出流出流出：外力外力外力外力：动量定理（动量定理（动量定理（动量定理（x方向方向
19、）：Uebaut0 pdcxdxy图9.4.1边界层动量积分方程VelocityprofilefactorVelocityprofilefactor：wherewhere讨论讨论讨论讨论：1.适用性：适用性：适用性：适用性：层流、湍流边层流、湍流边界层。界层。2.封闭性：封闭性：封闭性：封闭性：1 1个个个个方程，方程，3个个未知数（未知数（、*、0 或或、H、0），不封闭。但它），不封闭。但它们都和速度分布相关，即们都和速度分布相关，即 3.3.解法：解法：解法：解法：Step 1.假定速度分布假定速度分布()()Step 2.由边界层边界条件确定由边界层边界条件确定*的系数；的系数；Ste
20、p 3.将将*代入代入*、*求边界层各参数。求边界层各参数。()()9.4.2ApproximateSolutionofLaminarBLFlowalong9.4.2ApproximateSolutionofLaminarBLFlowalongaFlatPlatewithZeroPressureGradientaFlatPlatewithZeroPressureGradientor,bypipeflow2.BLVelocityProfile:2.BLVelocityProfile:letletd(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL3.BLBoundaryCondition:3.BLBo
21、undaryCondition:1.MomentumIntegralRelation:1.MomentumIntegralRelation:4.BLParameters:4.BLParameters:(approximateresultapproximateresult)d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeULBeintegratedfromleadingedgeoftheplate,x=0,whered=0toanarbitrarylocationxwheretheBLthicknessisd.ValidationValidation：假设不同的速度剖面对总阻力系数并不敏感假设不同的速度剖面对总阻力系数并不敏感假设不同的速度剖面对总阻力系数并不敏感假设不同的速度剖面对总阻力系数并不敏感。3.461/61/20.5781.1555.482/151/30.7301.4604.6439/2803/80.6461.2925.8337/3153/100.6861.3724.790.6541.310BlasiusBlasiusAnalyticalresultAnalyticalresult4.920.1330.3440.6641.328NikuradseExp.result5.641.3151.3191.4%3.3%2.6%9.9%13%1.0%errorerror