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1、 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式率的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.不知你们是否注意到街头的一种赌博不知你们是否注意到街头的一种赌博活动活动?用一个钉板作赌具。用一个钉板作赌具。街头街头请看请看 也也许许很很多多人人不不相相信信，玩玩这这种种赌赌博博游游戏戏十十有有八八九九是是要要输输掉掉的的，不不少少人人总
2、总想想碰碰碰碰运运气气，然然而而中中大大奖奖的的概概率率实实在是太低了。在是太低了。下面我们在计算机上模拟这个游戏：下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博街头赌博高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 平平时时，我我们们很很少少有有人人会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，人人们们可可能能不不相相信信它它是是有有规规律律的的。一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，你你就就会会发发现现，最最后后得出的竟是一条优美的曲线得出的竟是一条优美的曲线。高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍的的正态分布正态分布的密度曲线。的
3、密度曲线。正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出对于连续型随机变量，一般是给出它的它的概率密度函数概率密度函数。一、正态分布的定义一、正态分布的定义 若若r.v X的的概率密度为概率密度为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.正态分布有些什么性质呢？正态分布有些什么性质呢？由于连续型随机变量唯一地由它由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点
4、。分布的密度函数有什么特点。正态分布正态分布请看演示请看演示二、正态分布二、正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”.”.决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？容易看到，容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方
5、;故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值:令令x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可得可得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。当当x 时，时，f(x)0,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f(x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。再复习一下。根据对密度函数的分析，也可初步画出正根据对
6、密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。态分布的概率密度曲线图。回回忆忆我我们们在在本本章章第第三三讲讲中中遇遇到到过过的的年年降降雨雨量量问问题题，我我们们用用上上海海99年年年年降降雨雨量的数据画出了频率直方图。量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。的数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正
7、态分布。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点。点。请请同同学学们们想想一一想想，实实际际生生活活中中具具有有这这种特点的随机变量还有那些呢？种特点的随机变量还有那些呢？除了我们在前面遇到过的年降雨量和身除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外高外,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物如零件的尺寸；纤维的强
8、度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布.服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是X的分布函数的分布函数P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？设设X ,X的分布函数是的分布函数是 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定，当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布。态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布
9、三、标准正态分布三、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.,则则 N(0,1)设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数
10、值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表四、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x0时时若若N(0,1)若若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.954
11、4P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、五、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）.上一讲我们已经看到，当上一讲我们已经看到，当n很大，很大，p接接近近0或或1时，二项分布近似泊松分布时，二项分布近似泊松分布;如果如果n很大，而很大，而p不接近于不接近于0或或1，那么可以证明，那么可以证明，二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分布.下面我们不加证明地介绍有关下面我们
12、不加证明地介绍有关二项分二项分布近似于正态分布布近似于正态分布的一个定理，称为的一个定理，称为棣莫棣莫佛拉普拉斯定理佛拉普拉斯定理.它是第五章要介绍的它是第五章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况中心极限定理的一个最重要的特殊情况.六、二项分布的正态近似六、二项分布的正态近似定理定理(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n,p(0p1)的二的二项分布，则对任意项分布，则对任意x，有，有 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时（或者说，时（或者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变变量量 的的分布近似正
13、态分布分布近似正态分布 N(np,np(1-p).二项分布的正态近似二项分布的正态近似 实用中，实用中，n 30，np 10时正态近似时正态近似的效果较好的效果较好.见教学软件中的计算机演示见教学软件中的计算机演示例例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10000次，出现正面次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由试说明理由.解解:设设X为为10000次试验中出现正面的次数，次试验中出现正面的次数，采用正态近似采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬币是均匀的，若硬币是均匀的，XB(10000，0.5),近似正态分布近似正态分
14、布N(0,1).即即=1-(16)0此概率接近于此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀，故认为这枚硬币不均匀是合理的是合理的.P(X5800)=1-P(X5800)近似正态分布近似正态分布N(0,1).例例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的.设男子设男子身高身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.再看一个
15、应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:因为因为XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.这一讲，我们介绍了正态分布，这一讲，我们介绍了正态分布，它的它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布.