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1、第二章矩阵运算和行列式第1页，本讲稿共96页例例例例1 1.某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品.A A=20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B=200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵
2、及其运算矩阵及其运算 第2页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 例例例例2 2.四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示.若若若若a aij ij表示从表示从表示从表示从i i市市市市 到到到到j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数,则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 41 42 32 3A A=(=(a aij ij)=)
3、=0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0例例例例3 3.直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程 A A1 1x x+B B1 1y y+C C1 1z z+D D1 1=0 =0 A A2 2x x+B B2 2y y+C C2 2z z+D D2 2=0 =0 A A1 1 B B1 1 C C1 1A A2 2 B B2 2 C C2 2系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵 第3页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1
4、矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 3.向量向量 n n维行向量维行向量:1 n n矩阵矩阵矩阵矩阵 a1,a a2 2,an n维列向量维列向量:n n 1矩阵矩阵矩阵矩阵 a1a2an第第i i分量分量:ai i(i i=1,=1,n)n阶方阵阶方阵:n n矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2.方阵方阵方阵方阵 第4页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 4.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数也相等时列数也相等时,称称 它们是它们是同型矩阵同型矩
5、阵.5.5.若两个同型矩阵若两个同型矩阵若两个同型矩阵若两个同型矩阵A A=aij mm n n与与B B=b bij mm n 满足满足:对于任意的对于任意的1 i m,1 1 j n,aij =bij ij都成立都成立都成立都成立,则称这两个矩阵则称这两个矩阵则称这两个矩阵则称这两个矩阵相等相等相等相等,记记记记 为为A=B.二二.矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1.加法加法 两个同型矩阵两个同型矩阵A=aijm n与与与与B=bijmm n的的和和和和C定义为定义为定义为定义为:C=cij ijm n n=aij ij+bijm n.第5页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算
6、和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 注注:若矩阵若矩阵A A=(aij ij)m n的元素都是零的元素都是零,则称之则称之 为为零矩阵零矩阵,记为记为Om n n.在不引起混淆的情况下在不引起混淆的情况下,简记为简记为O.设矩阵设矩阵A=(a aij)m n,记记 A=(=(aij)m n,称称 之为之为A的的负矩阵负矩阵.设设A,B是同型矩阵是同型矩阵,则它们的则它们的差差定义为定义为 A+(+(B B).记为记为A B.即即A B=A+(+(B).).第6页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵
7、运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 2.数乘数乘 设矩阵设矩阵A A=(=(aij ij)m n,数数k与与与与A的的乘积乘积定义为定义为定义为定义为 (kaij)m n,记为记为kA或或A Ak.注注注注:矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运线性运 算算.即即kA=Ak=ka11 ka12 ka1nka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamn第7页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.
8、1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 3.性质性质 定理定理2.1 设设设设A,B,C,O O是同型矩阵是同型矩阵是同型矩阵是同型矩阵,k k,l是数是数,则则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(+(B B+C),(3)A A+O=A,(4)A+(A)=O O,(5)1A=A A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kAkA+lA,(8)k(A+B B)=kA+kBkB.第8页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其
9、运算 三三.矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 例例例例4 4.某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品.A A=20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B=200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第9页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其
10、运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 例例例例5 5.四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示.若若若若a aij ij表示从表示从表示从表示从i i市直达市直达市直达市直达j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数,则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 14 42 23 3A A=(=(a aij ij)=)=0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0若若若若b bij ij表示从表示从表示
11、从表示从i i市经另外一个城市到市经另外一个城市到市经另外一个城市到市经另外一个城市到j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数,则由右图可得矩阵则由右图可得矩阵则由右图可得矩阵则由右图可得矩阵B B=(=(b bij ij)=)=2 1 1 02 1 1 00 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 2 1 10 2 1 11 12 23 34 4i ij j其中其中其中其中b bij ij=a ai i1 1a a1 1j j+a ai i2 2a a2 2j j+a ai i3 3a a3 3j j+a ai i4 4a a4 4j j.第10页，本讲稿共96
12、页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 1.设设A=(aij ij)m s s,B B=(bij)s n,则则则则A A与与B B的的的的乘积乘积是是是是 一个一个m n矩阵矩阵C=(cij ij)m n,其中其中cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj=aikbkj.k k=1=1s s记为记为记为记为C=ABAB.称称AB为为“以以A A左乘左乘左乘左乘B”或或“以以B 右乘右乘A”.a a1111b b1111+a a1212b b2121+a a1313b b
13、3131 a a1111b b1212+a a1212b b2222+a a1313b b3232a a2121b b1111+a a2222b b2121+a a2323b b3131 a a2121b b1212+a a2222b b2222+a a2323b b3232=a a1111 a a1212 a a1313a a2121 a a2222 a a2323b b1111 b b1212 b b2121 b b2222b b3131 b b3232如如如如 第11页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.
14、1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 2.矩阵乘积的特殊性矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵只有当矩阵A A的的的的列列数等于矩阵数等于矩阵B B的的行行数时数时,乘积乘积AB才有意义才有意义.(2)若若A是一个是一个m n n矩阵矩阵,与与B是一个是一个n mm矩阵矩阵,则则则则AB和和BABA都有意义都有意义.但但AB是一个是一个m阶方阶方 阵阵阵阵,BA是一个是一个是一个是一个n阶方阶方阵阵.当当m n时时时时,AB AB 与与与与 BA谈不上相等不相等谈不上相等不相等谈不上相等不相等谈不上相等不相等.即使即使即使即使m=n,AB与与BABA是同阶是同阶方方阵也未必相阵也
15、未必相.例如例如例如例如:第12页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1=0 00 0 3 3 6 1 1 2 2 2 4=1 1 2 2 1 21 2=0 00 0 1 1 2 2 1 21 2=3 3 3 3第13页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩
16、阵及其运算矩阵及其运算 定理定理2.2 设设k是数是数是数是数,矩阵矩阵矩阵矩阵A A,B,C C 使以下各式中使以下各式中 一端有意义一端有意义,则另一端也有意义并且则另一端也有意义并且 等式成立等式成立(1)(AB)C C=A A(BC),(2)(2)A(B+C)=AB+ACAC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).对于对于(1)的证明的证明,我们先来看一个具体的例子我们先来看一个具体的例子:a11 a12 a13a21 a22 a23如如A=,b11 b12 b21 b22b31 b32B=,c11 c12 c21 c22C=.第14页，本讲稿共96页第二章第二章第二
17、章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32AB=BC=b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22a11 a12 a13a a21 a22 a23A=,b b11 b12 b2121 b22b31 b b32B B
18、 =,c11 c1212 c21 c22C=.我们比较我们比较(AB)C和和A(BC)的的“规格规格”以及它们的以及它们的 第一行第一列处的元素第一行第一列处的元素.第15页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 一般地一般地,设设A=aijm k,B=bijk s,C=cij ijs n n,AB=U=uijmm s,BCBC=V=v vijk k n n,则则(AB)C=UC与与与与A(BC)=AV 都是都是都是都是m n矩阵矩阵,且且且且(AB)C=UC的
19、的(i,j j)元素是元素是 它恰好是它恰好是A(BC)=)=AV的的(i,j)元素元素.可见可见可见可见(AB)C=A(BC).uiqcqj q q=1=1s s=(aipbpq)cqj q q=1=1s sp p=1=1k k=(aipbpq cqj)q q=1=1s sp p=1=1k k=(aipbpqcqj)q q=1=1s sp p=1=1k k=aip(bpq cqj)q q=1=1s sp p=1=1k k=aipvpj p p=1=1k k第16页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及
20、其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 结合律的妙用之一结合律的妙用之一 设设设设A=BC,其中其中B=,C=1 2 3,1231 2 3 2 4 6,3 6 9则则A=我们可以定义我们可以定义A的的的的正整数幂正整数幂(还有还有还有还有“妙用妙用妙用妙用之二之二之二之二”喔喔喔喔!)A1=A,A2=AA,Ak+1=AkA,对于这里的对于这里的A,A2005=?当然当然,对于任意方阵对于任意方阵A,都可以像上面这样去都可以像上面这样去都可以像上面这样去都可以像上面这样去 定义定义定义定义A的正整数幂的正整数幂.而且有如下结论而且有如下结论第17页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩
21、阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(AB)k k=AkBk 但即使但即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵,也未必成立也未必成立!注注:不能说不能说“因为因为AB=BABA未必成立未必成立,所以所以(ABAB)k=Ak kBk 未必成立未必成立”.例如例如A=0 10 0,B=1 00 0,AB=0 00 0,BA=0 10 0,AB BA,但但(ABAB)k=A AkBk成立成立.第18页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵
22、运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 (AB)k=AkBk 要说明即使要说明即使A A与与B是同阶方阵是同阶方阵,也未必成立也未必成立也未必成立也未必成立,只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可.例如例如A=1 10 0,B=1 01 0,AB=2 00 0,A2=1 10 0=A,当然这里当然这里AB BA BA B2=1 01 0=B,(AB)2=4 00 0,A2B2=AB=2 00 0,=1 11 1.第19页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵
23、运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 补充补充补充补充.数学归纳法数学归纳法 1.第一数学归纳法原理第一数学归纳法原理:设设P是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题的命题,若若 P对于对于n=n0成立成立.当当当当n n n0时时,由由“n=k时时P成立成立”可推出可推出 “n n=k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立成立成立.第20页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算
24、矩阵及其运算 2.2.第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理:设设P为一个关于自然数为一个关于自然数n的命题的命题,若若 P P对于对于对于对于n n=n0成立成立,由由“n0 n k时时P成立成立”可推出可推出 “n=k+1+1时时时时P P成立成立成立成立”,”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n n0成立成立成立成立.第21页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 例例6.设设A=cos sin sin cos,
25、.求证求证An=cosn sinn sinn cosn 证明证明:当当当当n=1时时,结论显然成立结论显然成立.假设结论对于假设结论对于n=k k成立成立,即即.cosk sink sink cosk Ak=cos sin sin cos 则则Ak+1=A AkA cosk sink sink cosk=第22页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 cos sin sin cos A Ak+1+1=AkAcoscosk sink k sink cosk=因此对
26、于任意正整数因此对于任意正整数n,coscosk k coscos sinsink k sinsin coscosk k sinsin sinsink k coscos sinsink k coscos +cos+cosk k sinsin sinsink k sin sin +cos+cosk k cos cos =cos(k+1)sin(k+1)sin(k+1)cos(k+1)=cosn sinn sinn cosn An=成立成立.第23页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩
27、阵及其运算矩阵及其运算 四四.矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置 1.设矩阵设矩阵A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn,AT=a11 a21 am1a12 a22 am2 a1n a2n amn为为A A的的转置转置.则称矩阵则称矩阵 第24页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 定理定理定理定理2.3 2.3 矩阵的转置运算满足如下性质矩阵的转置运算满足如下性质矩阵的转置运算满足如下性质矩阵的转置运算满足如下性质 (
28、1)(1)(AT)T=A,(2)(A A+B)T=AT T+BT,(3)(3)(kA)T T=kAT T,(4)(4)(AB)T=BTAT.五五.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵 1.对称矩阵对称矩阵 若矩阵若矩阵A满足满足AT=A A,则称则称A为为对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵.矩阵矩阵A=aijmm n为对称矩阵的充分必要为对称矩阵的充分必要条件是条件是:m=n且且aij ij=aji(i,j=1,2,n n).第25页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算
29、 2.对角矩阵对角矩阵 方阵方阵A=a aijn n n的的a11,a22,ann称为称为对角线对角线对角线对角线 元素元素.若方阵若方阵若方阵若方阵A=aij ijn n除了对角线元素除了对角线元素(可能不是可能不是 0)以外以外,其它元素都是其它元素都是0,则称则称A为为对角矩阵对角矩阵.对角线元素依次为对角线元素依次为 1,2,n的对角矩阵的对角矩阵 有时也记为有时也记为 =diag 1,2 2,n,即即 =diag 1,2,n=1 0 0 0 2 0 0 0 n.第26页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1
30、2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 3.数量矩阵数量矩阵 若对角矩阵若对角矩阵若对角矩阵若对角矩阵A=aijn n n的对角线元素为同一的对角线元素为同一 个数个数,则称则称A为为数量矩阵数量矩阵(纯量矩阵纯量矩阵纯量矩阵纯量矩阵).可以证明方阵可以证明方阵可以证明方阵可以证明方阵A A=aijn n为数量矩阵的充分为数量矩阵的充分为数量矩阵的充分为数量矩阵的充分 必要条件是对于任意必要条件是对于任意必要条件是对于任意必要条件是对于任意n n阶矩阵阶矩阵B,AB=BA.4.单位矩阵单位矩阵 称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵.In=1 0 00 1 0 0 0 1 n n第2
31、7页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 注注注注:对于对于对于对于n阶方阵阶方阵A 可以证明下列条件等价可以证明下列条件等价:(i)(i)A为单位矩阵为单位矩阵;(ii)对于任意对于任意n mm矩阵矩阵B,AB=B.(iii)对于任意对于任意m n矩阵矩阵C,CA=C C.有时我们也把有时我们也把n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵In简记为简记为简记为简记为I I.有的书上用有的书上用En表示表示n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵,简记简记
32、为为为为E E.利用利用克罗内克克罗内克(Kronecker)记号记号 ij=1,i=j 0,i jn阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵In也可以表示为也可以表示为 ij ijn n n.第28页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算 六六.方阵的多项式方阵的多项式 设设A A为一个方阵为一个方阵为一个方阵为一个方阵,f(x x)为一个多项式为一个多项式 称之为称之为方阵方阵A的一个多项式的一个多项式.f f(x x)=)=asxs+as s 1xs 1+
33、a a1x+a0 规定规定 f(A)=)=a asAs+as s 1 1As s 1+a1A+a a0I 5.反对称矩阵反对称矩阵 若矩阵若矩阵A A满足满足A AT T=A A,则称则称则称则称A为为为为反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵.可以证明任何一个方阵都可以写成一个对可以证明任何一个方阵都可以写成一个对可以证明任何一个方阵都可以写成一个对可以证明任何一个方阵都可以写成一个对 称矩阵与一个反对称矩阵的和称矩阵与一个反对称矩阵的和.第29页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行
34、列式方阵的行列式方阵的行列式 2.2 方阵的行列式方阵的行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式(a11a2222 a1212a21)x x1=b1a2222 a12b2(a11a2222 a a12a21)x2=a11b2 2 b b1a21 当当当当a1111a22 a12a21 0时时,a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21,x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.第30页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行
35、列式 a11 a12 a21 a22记记D=,b1 a12 b2 a22D1=,a11 b1a21 b2D2=,则当则当则当则当D=a11a a22 a12a a2121 0时时,=D1D=D2D.2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1 1=b1 1a22 a a1212b b2a11a22 a12a a21有唯一确定的解有唯一确定的解x x2 2=a11a22 a12a21a1111b b2 2 b1a a21问题问题:能用对角线法则定义四阶行列式吗能用对角线法则定义四阶行列式吗能用对角线法则定义四阶行
36、列式吗能用对角线法则定义四阶行列式吗?用对角线法则定义的用对角线法则定义的用对角线法则定义的用对角线法则定义的“四阶行列式四阶行列式四阶行列式四阶行列式”有有有有 用吗用吗?第31页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 1 1 1 0 01 0 01 2 0 01 2 0 00 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 20 0 1 2仿照三阶行列式的对角线法则可得仿照三阶行列式的对角线法则可得=1=1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 (1)1)1 1=
37、4+1=5.=4+1=5.3 3 1 0 01 0 05 5 2 0 0 2 0 00 0 0 0 1 1 1 1 3 3 0 1 2 0 1 2=3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 5 5 (1)1)1 1=12+5=17.=12+5=17.但方程组但方程组 x x1 1+x x2 2 =3 3x x1 1+2+2x x2 2 =5 5 x x3 3 x x4 4=0 0 x x3 3+2+2x x4 4=3 3有唯一解有唯一解 x x1 1=1 1x x2 2=2 2x x3 3=1 1x x4 4=1 1 17175 5第32页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列
38、式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 二二.排列的逆序数与奇偶性排列的逆序数与奇偶性 1.全排列全排列 把把把把n个不同的元素排成一列全排列个不同的元素排成一列全排列,叫做叫做 这这n个元素的个元素的个元素的个元素的全排列全排列(简称简称排列排列).n个不同元素的所有排列的种数通常用个不同元素的所有排列的种数通常用 Pn表示表示.例如例如,用用1,2,3三个数字可以组成如下三个数字可以组成如下6个个个个 没有重复的三位数没有重复的三位数:123,132,213,231,312,321一般地一般地,Pn n=n!=n
39、 (n 1)2 1.第33页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 2.逆序数逆序数 对于对于n个不同的元素个不同的元素,先规定各元素之间的先规定各元素之间的 一个标准次序一个标准次序(如如 n个不同的自然数个不同的自然数,可规可规定由小到大的次序为标准次序定由小到大的次序为标准次序),一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列 的的逆序数逆序数.逆序数为奇逆序数为奇(偶偶)数的排列称为数的排列称为奇奇(偶偶)排列排列.于是在这于是
40、在这n个元素的任意一个排列中个元素的任意一个排列中,当某当某 两个元素的先后次序与标准次序不同时两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说就说有一个逆序有一个逆序.第34页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例1.求下列排列的求下列排列的逆序数逆序数 (1)32514,(2)(2 (2)(2n)(2n 2)4213(2n 3)(23)(2n 1).3.对换对换 在排列中在排列中,将任意两个元素对调将任意两个元素对调,其余的元其余的元素不动素不动,称为称为对换
41、对换.将相邻的两个元素对调将相邻的两个元素对调,称为称为邻对换邻对换邻对换邻对换.注注:任一邻对换都任一邻对换都改变改变排列的排列的奇偶性奇偶性.任一对换都可通过任一对换都可通过任一对换都可通过任一对换都可通过奇数次奇数次邻对换来实现邻对换来实现邻对换来实现邻对换来实现.第35页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理2.42.4.每一个对换都改变排列的奇偶性每一个对换都改变排列的奇偶性.1 2 2 3 3 4 5 6 7 89 1 2 3 3 4 4
42、5 6 6 7推论推论.n 2时时,n个个元素的所有排列中元素的所有排列中,奇、偶奇、偶 排列各占一半排列各占一半,即各有即各有n n!/2个个.第36页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 三三.n阶行列式的定义阶行列式的定义 1.三阶行列式的特点三阶行列式的特点三阶行列式的特点三阶行列式的特点 每一项都是三个元素的乘积每一项都是三个元素的乘积.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a3
43、1+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.每一项的三个元素都位于不同的行和列每一项的三个元素都位于不同的行和列.行列式的行列式的6项恰好对应于项恰好对应于1,2,3的的6种排列种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性 有关有关.第37页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33j1 j2 j3的逆序数的
44、逆序数 对所有不同的三级排列对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 第38页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.n阶行列式的定义阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注:当当n=1时时,一阶行列式一阶行列式|a11|=a11,这与绝这与绝 对值符号的意义是不一样的对值符号的意义是不一样的.设设A=aij为为n阶方阵阶方阵,A的行列式记为的行列式记为|A|,或或detA.2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式
45、第39页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 3.几个特殊的行列式几个特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0=1 2 n,1 2 n.(1)对角行列式对角行列式 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第40页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 (2)上上(下下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an
46、1 an2 ann=a11 a22ann.=a11 a22ann.事实上事实上,只有只有pi i(i=1,2,n)时时,才有可能不为才有可能不为0.若有某个若有某个pk k,则必然有则必然有若有某个若有某个pl 1+2+n,矛盾矛盾!2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第41页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 例例例例2 2.设设A A=a aijn n n,证明证明f()=|I IA|是是 的的n次次 多项式多项式多项式多项式,并求并求并求并求 n n,n n1的系数及常数项的系数及常数项.
47、a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf()=|IA A|=|=d1 1=(a11)(a22)(ann)f f(0)=|A|=(|=(1)1)n|A|.A的的迹迹,记为记为trA A 2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第42页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 4.n阶行列式的另外一种定义阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann2.2 2.2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式第43页，本讲稿共
48、96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 一一.行列式的性质行列式的性质 性质性质1 1.DT=D.记记记记D=行列式行列式DT称为称为D的的转置转置.记记bij ij=aji ji,则则则则 D DTa a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnna a1111 a a2121 a an n
49、1 1 a a1212 a a2222 a an n2 2 a a1 1n n a a2 2n n a annnn,D DT=第44页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 性质性质2 2.互换行列式中的两行互换行列式中的两行(列列),行列式变号行列式变号.证明证明证明证明:记互换行列式记互换行列式D中的第中的第k,l行得到的行列式为行得到的行列式为D1.=D.第45页，本讲稿共96页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行
50、列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 注注:互换第互换第k,l行记为行记为rk krl,互换第互换第k,l列记为列记为c ckcl.推论推论推论推论.如果行列式如果行列式D中有两行中有两行(列列)完全相同完全相同,那么那么D=0.性质性质3.行列式的某一行行列式的某一行(列列)的公因子可以的公因子可以 提到行列式记号外提到行列式记号外.事实上事实上,若行列式若行列式D中有两行完全相同中有两行完全相同,交换交换 这两行这两行,得得D=D.因此因此D=0.对于有两列完全相同的情形对于有两列完全相同的情形,可类