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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统教学内容教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统
2、振动2023/1/201振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形回顾：回顾：（1）两个例子）两个例子系统存在刚体运动，此时柔度矩系统存在刚体运动，此时柔度矩阵阵 F 不存在，刚度矩阵奇异。不存在，刚度矩阵奇异。（2）多自由度系统的自由振动）多自由度系统的自由振动 刚度矩阵半正定，刚度矩阵半正定，系统为半正定系统，此时存在，系统为半正定系统，此时存在 f(t)=a t+b 的刚体模态。的刚体模态。即本节将讨论的零固有频率的情形即本节将讨论的零固有频率的情形 m1m2k1k2
3、m3多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/202振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对于对于 n 自由度系统：自由度系统：广义特征值问题：广义特征值问题：有非零解的充要条件：有非零解的充要条件：若若 必有：必有：K K 为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系统的刚度矩阵件时系统的刚度矩阵件时系统的刚度矩阵件时
4、系统的刚度矩阵 K K 是半正定的是半正定的是半正定的是半正定的 。结论：结论：说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产生弹性恢复力不产生弹性恢复力。多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/203振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统假定系统中假定系统中 相应的主坐标方程：相应的主坐标方程：积分，得：积分，得：a、b 由初始条件决定由初始条件决定 表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移表明此
5、主振动为随时间匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除 多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/204振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设 为零固有频率对应的刚体位移模态为零固有频率对应的刚体位移模态 正交性条件正交性条件 要求：要求：其中，其中，为系统的除刚体位移之外的其它模态为系统的除刚体位移之外的其它模态 设设为与为与 所对应的主坐标所对应的主坐标令：令：系统消除刚体位移后的自由振动
6、系统消除刚体位移后的自由振动 可得约束条件：可得约束条件：利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的。右乘右乘 ：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/205振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例：教材例：教材P100习题习题4.14（不考虑阶梯力的作用）（不考虑阶梯力的作用）初始条件：初始条件：求系统响应求系统响
7、应mmkkmkm多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形解：解：方法一方法一动力方程动力方程:固有频率固有频率:奇异矩阵奇异矩阵2023/1/206振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统模态矩阵模态矩阵：正则模态：正则模态：令：令：得：得：初始条件：初始条件：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形展开，得：展开，得：2023/1/207振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是
8、一种得分类型的系统在正则坐标中分两种情况求解在正则坐标中分两种情况求解（1）时时运运动动方程：方程：解：解：初始条件：初始条件：得：得：所以：所以：（2）时时代入初始条件，可求得：代入初始条件，可求得：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/208振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统在正则模态中的响应：在正则模态中的响应：写成矩阵：写成矩阵：原物理空间的自由振动响应：原物理空间的自由振动响应：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的
9、零根和重根情形2023/1/209振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解：解：方法二：利用约束条件方法二：利用约束条件代入约束条件：代入约束条件：代入方程，并整理：代入方程，并整理：mmkkmkm多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形非奇异矩阵非奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵2023/1/2010振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统求得固有求得固有频频率：率：方法一：方法一：方法一：方法一：正则模态
10、：正则模态：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2011振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统模态空间响应：模态空间响应：初始条件：初始条件：物理空间响应：物理空间响应：第一个质量块的响应：第一个质量块的响应：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2012振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统写成矩阵形式：写成矩阵形式：方法
11、一结果：方法一结果：消除了刚体位移消除了刚体位移多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2013振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统频率方程的重根情形频率方程的重根情形在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的特征值都是特征方程的单根特征值都是特征方程的单根。复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 例如，柔性航天结构例如，柔性航天
12、结构下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振型问题型问题 多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2014振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统假使假使 是是 r 重根重根 即有：即有：其余的其余的 都是单根都是单根 将将代入特征代入特征值问题值问题表达式：表达式：特征矩阵特征矩阵 的秩：的秩：即：即：n 个方程中只有个方程中只有 n-r 个是独立的个是独立的 例如当例如当 是单根时，是单根时，
13、r=1n 个方程中只有个方程中只有 n 1 个是独立的个是独立的 多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形即即 r=2为简单计，令：为简单计，令：则计算则计算 对应的模态时，对应的模态时，中有中有2个是不独立的方程个是不独立的方程将将 的最后两个元素的最后两个元素 的有关项移至等号右端的有关项移至等号右端：2023/1/2015振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统任意任意给给定定两两组线组线性独立的性独立的值值和和 例如：例如：可解出其余可解出其余n2个个 （i=1n-2，
14、j=1,2）的两组解的两组解多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2016振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第第 1、第、第 2 阶模态阶模态：（不是唯一的）（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件为保证它们之间满足正交性条件（不正交）（不正交）令：令：也是如下方程的解：也是如下方程的解：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2017振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负
15、的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统要正交，需满足：要正交，需满足：即：即：解得待定系数解得待定系数 c 为：为：c 得到后，即可得到相互正交的得到后，即可得到相互正交的多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形第第 1、第、第 2 阶模态阶模态：（不是唯一的）（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件为保证它们之间满足正交性条件（不正交）（不正交）令：令：2023/1/2018振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统相互正交相互正交又分别与又分别与 相互正交相互
16、正交？模态矩阵：模态矩阵：可使质量矩阵及刚度矩阵同时对角化可使质量矩阵及刚度矩阵同时对角化 即：即：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2019振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例：四自由度系统例：四自由度系统求：系统模态矩阵求：系统模态矩阵x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2020振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因
17、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解：解：系统运动微分方程：系统运动微分方程：对应于对应于的主振型：的主振型：由由由由 x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2021振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对对于于 得到：得到：代入代入 第第 3 个方程显然不独立，第四个方个方程显然不独立，第四个方程可由第一个方程乘以程可由第一个方程乘以 2 再减去第再减去第二个方程得到，故也不独立二个方程得到，故也不独立
18、划去后两个方程，将前两个方程写为：划去后两个方程，将前两个方程写为：解得：解得：则有：则有：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2022振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对应对应的主振型的主振型 不难验证不难验证 都关于都关于 M 和和 K 相互正交相互正交但但 、之间不正交之间不正交 为从为从得到相互正交的得到相互正交的选取选取并令并令左乘左乘解得：解得：于是，有：于是，有：（注：（注：）多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方
19、程的零根和重根情形2023/1/2023振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统模态矩阵：模态矩阵：可以验证，有：可以验证，有：多自由度系统振动多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2023/1/2024振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统教学内容教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振
20、动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动2023/1/2025振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 系统对简谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应系统对简
21、谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应 动力吸振器动力吸振器动力吸振器动力吸振器 模态叠加法模态叠加法模态叠加法模态叠加法 系统对任意激励力的响应系统对任意激励力的响应系统对任意激励力的响应系统对任意激励力的响应多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2026振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统回顾：回顾：单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动 系统对简谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与 和和 相对应相对应 设：设：复
22、频响复频响应函数应函数 引入：引入：系统响应：系统响应：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2027振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 系统对简谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应多自由度系统受到外力激励所产生的运动为多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动受迫运动 设设 n 自由度系自由度系统统沿各个广沿各个广义义坐坐标标均受到均受到频频率和相位相同的广率和相位相同的广义义简谐简谐力的激励力的激励 系统受迫振动方程：系统受迫振动方程：实实部和虚部分部
23、和虚部分别为别为余弦或正弦激励的响余弦或正弦激励的响应应为为激励激励频频率率为为广广义义激励力的幅激励力的幅值值列列阵阵X 为为复数列复数列阵阵多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2028振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统系统受迫振动方程：系统受迫振动方程：稳态稳态解：解：振幅列向量振幅列向量简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。部激励的频率，
24、但是各个自由度上的振幅各不相同。代入，得：代入，得：记记 多自由度系统的多自由度系统的幅频响应矩阵幅频响应矩阵 则则有：有：因此：因此：工程中：工程中：阻抗矩阻抗矩阵阵导纳导纳矩矩阵阵多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2029振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统H 的物理意的物理意义义：沿沿 i 坐标的投影式：坐标的投影式：因此：因此：因此因此 的物理意的物理意义为仅义为仅沿沿j坐坐标标作用作用频频率率为为 的的单单位幅度位幅度简谐简谐力力时时，沿，沿i坐坐
25、标标所引起的受迫振所引起的受迫振动动的复振幅。的复振幅。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动由于由于 H 含有含有系系统统的特征方程的特征方程因此，当外部激励因此，当外部激励频频率率 接近系接近系统统的任意一个固有的任意一个固有频频率率时时，都，都会使受迫振会使受迫振动动的振幅无限增大的引起共振的振幅无限增大的引起共振。2023/1/2030振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 动力吸振器动力吸振器许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为许多机器或部件由于旋转
26、部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这种振动有时可以采用减小这种振动有时可以采用动力吸振器动力吸振器。有阻尼动力吸振器系统有阻尼动力吸振器系统弹簧弹簧 k2m1、k1：主系统的质量和弹簧刚度主系统的质量和弹簧刚度阻尼动力吸振器：阻尼动力吸振器：m1 上作用有简谐激振力上作用有简谐激振力质量质量 m2阻尼阻尼 cx1x2m2k1m1k2c多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2031振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统系统的强迫振动方程：系统的强迫振动方程：先考虑
27、先考虑无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器利用直接法利用直接法得到稳态响应振幅：得到稳态响应振幅：x1x2m2k1m1k2c多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2032振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统主系统不再振动主系统不再振动：系统的特征多项式：系统的特征多项式当当 时时反共振反共振此时此时吸振器振幅吸振器振幅主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡x1x2m2k1m1k2多自由度系统振动多自由
28、度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2033振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器左图：第一阶模态响应左图：第一阶模态响应中间：动力吸振器中间：动力吸振器右图：第二阶模态响应右图：第二阶模态响应多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2034振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统吸振器参数吸振器参数 k2、m2 一般选为：一
29、般选为：当当 时时反共振反共振记：记：使吸振器的固有频率和主使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等系统的固有频率相等则则 可写为：可写为：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动x1x2m2k1m1k22023/1/2035振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设 是由吸振器和主系统组成的两自由度是由吸振器和主系统组成的两自由度系统的固有频率系统的固有频率则由则由当当 时时反共振反共振多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动x1x2m2k
30、1m1k2并记：并记：2023/1/2036振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统当当 时时反共振反共振代入代入并设并设得：得：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动x1x2m2k1m1k22023/1/2037振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统当当 时时反共振反共振反共振点反共振点0123-6-4-2024共振点共振点共振点共振点x1x2m2k1m1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度
31、系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动虽然虽然出现反共振，但是在反出现反共振，但是在反共振的两旁存在两个共共振的两旁存在两个共振点。振点。2023/1/2038振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统反共振点反共振点0123-6-4-2024共振点共振点共振点共振点为了允许激励频率为了允许激励频率 在在 附近有一定范围的变化附近有一定范围的变化s1、s2 应当相距远些应当相距远些x1x2m2k1m1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2039振动力学篮球比赛是根
32、据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统反共振点反共振点0123-6-4-2024共振点共振点共振点共振点00.10.20.30.40.50.60.70.80.40.60.811.21.41.61.822.22.4随随 变化曲线变化曲线当当 值较大时，值较大时，s1、s2相距较远相距较远k2、m2 变大变大动力吸振器变得笨拙动力吸振器变得笨拙措施：采用阻尼动力吸振器措施：采用阻尼动力吸振器多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2040振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多
33、少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统系统的强迫振动方程：系统的强迫振动方程：有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器采用直接法：采用直接法：稳态响应振幅（复振幅）：稳态响应振幅（复振幅）：x1x2m2k1m1k2c多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2041振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统稳态响应振幅（复振幅）：稳态响应振幅（复振幅）：主系统复振幅：主系统复振幅：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫
34、振动2023/1/2042振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统主系统复振幅：主系统复振幅：取模，得实振幅：取模，得实振幅：引入下列符号：引入下列符号：得无量纲表达：得无量纲表达：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2043振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统0.60.70.80.911.11.21.30246810121416多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动
35、多自由度系统的受迫振动取：取：2023/1/2044振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统0.60.70.80.911.11.21.30246810121416分析：分析：当当 时，系统中无阻尼，两个共振频率点时，系统中无阻尼，两个共振频率点 s=0.895，1.12。当当 s=1 时，反共振，主系统振幅为零。时，反共振，主系统振幅为零。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2045振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛
36、的计时计分系统是一种得分类型的系统0.60.70.80.911.11.21.30246810121416当当 时，系统变成单自由度系统，共振点时，系统变成单自由度系统，共振点 s=0.976。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2046振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统0.60.70.80.911.11.21.30246810121416当当 和和 时，可见当时，可见当s1时，主系统振幅并不为零，但是时，主系统振幅并不为零，但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比
37、，共振振幅明显下降。和无阻尼系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2047振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无论阻尼取多少，所有曲线都过无论阻尼取多少，所有曲线都过 S、T 两点。两点。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416实际设计有阻尼动力吸振器时，一般选取适当的实际设计有阻尼动力吸振器时，一般选取适当的 m2 与与 k2，使曲线在，使曲线在 S 和和 T 点有相同的幅值，并且适当选取
38、阻尼，使曲线在点有相同的幅值，并且适当选取阻尼，使曲线在 S、T 两点具有水平切线。两点具有水平切线。ST多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2048振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 模态叠加法模态叠加法模态叠加法也可用于分析多自由度系统的受迫振动模态叠加法也可用于分析多自由度系统的受迫振动 前面前面讨论讨论的外部激励的外部激励为简谐为简谐激励，因此可采用激励，因此可采用直接法直接法进进行求解行求解 当外部激励不是简谐激励时，则不能用直接法，此时可采当外部
39、激励不是简谐激励时，则不能用直接法，此时可采用模态叠加法用模态叠加法。下面先用模态叠加法对简谐激励的多自由度系统的受迫振下面先用模态叠加法对简谐激励的多自由度系统的受迫振动进行求解，以进一步阐述多自由度系统的共振特性。动进行求解，以进一步阐述多自由度系统的共振特性。然后采用模态叠加法对任意外部激励时系统的响应进行求解然后采用模态叠加法对任意外部激励时系统的响应进行求解多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2049振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统考虑简谐激励时
40、的情况考虑简谐激励时的情况 n自由度系统的动力方程自由度系统的动力方程：利用利用 ：展开展开：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动解解释释如下如下2023/1/2050振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统考虑简谐激励时的情况考虑简谐激励时的情况 n自由度系统的动力方程自由度系统的动力方程：利用利用 ：展开展开：模态坐标解：模态坐标解：激励激励频频率率与第与第阶阶固有固有频频率率之比之比 各坐标的受迫振动规律完全类似于单自由度系统的受迫振动规律各坐标的受迫振动规律完全类似于单
41、自由度系统的受迫振动规律 利用利用，得：，得：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2051振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n自由度系统的动力方程自由度系统的动力方程：稳态稳态解：解：可看出：可看出：第第 j 阶阶主坐主坐标标的受迫振的受迫振动动幅度将急幅度将急剧剧增大，增大，导导致第致第 j 阶频阶频率的共振。率的共振。当当时时系系统统具有具有 n 个不相等的固有个不相等的固有频频率率时时，可以出，可以出现现 n 种不同种不同频频率的共振率的共振。多自由度
42、系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2052振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例：三自由度系统例：三自由度系统 求：系统稳态响应求：系统稳态响应 2kmmmk2kkx1x2x3P1(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动解：解：作用力方程：作用力方程：正则振型矩阵：正则振型矩阵：正则坐标下的激振力：正则坐标下的激振力：第一个正则方程：第一个正则方程：同理可解出：同理可解出：2023/1/2053振动力学篮球比赛是根据运动队
43、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统外部激励外部激励正则振型矩阵：正则振型矩阵：激振频率接近第二阶固有频率，在稳态响应中第二阶振型激振频率接近第二阶固有频率，在稳态响应中第二阶振型占主要成分占主要成分。2kmmmk2kkx1x2x3P0(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2054振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统考虑任意外部激励时的情况考虑任意外部激励时的情况 n 自由度系统：自由度系统：做做变换变换
44、:可写为：可写为：正则坐标初始条件：正则坐标初始条件：正：正则则模模态态矩矩阵阵 得得:解为：解为：在得到在得到 后，利用后，利用 得出原系统的解得出原系统的解。模态广义力模态广义力多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2055振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统利用主模态坐标求解利用主模态坐标求解做做变换变换:可写为：可写为：模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：主模：主模态态矩矩阵阵 得得:解为：解为：在得到在得到 后，利用后，利用 得出原系统的解得出原系统的
45、解。模态广义力模态广义力多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 n 自由度系统：自由度系统：2023/1/2056振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例：教材例：教材P100在第一个和第四个质量上作用有阶梯力在第一个和第四个质量上作用有阶梯力F，零初始条件零初始条件求：系统响应求：系统响应kmmmmkkF(t)F(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动动力方程：动力方程：解：解：2023/1/2057振动力学篮球比赛是根据运动队在规
46、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统动力方程：动力方程：正则模态矩阵：正则模态矩阵：利用利用:得得:展开，得：展开，得：模模态态力力多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2058振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统当当 i=1当当解为：解为：矩阵形式：矩阵形式：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2059振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来
47、决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统原系统响应：原系统响应：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2023/1/2060振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统教学内容教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自
48、由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动2023/1/2061振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统 多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应多自由度系统振动多自由
49、度系统振动/有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统2023/1/2062振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统l 多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等 由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，
50、近似地当作无阻尼系统。阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。多自由度系统振动多自由度系统振动/有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统2023/1/2063振动力学篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统有阻尼的有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：自由度系统的