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1、第二节齐次线性方程组第1页，本讲稿共21页（1）称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组.记记 第2页，本讲稿共21页则线性方程组（则线性方程组（1）可写成矩阵方程）可写成矩阵方程（2）若若 代入（代入（1），使得），使得 等式成立，则称等式成立，则称为线性方程组（为线性方程组（1）的）的解或解向量，解或解向量，它也是它也是矩阵方程（矩阵方程（2 2）的解）的解.，第3页，本讲稿共21页方程组（方程组（1）可写成向量形式）可写成向量形式（3）对方程组（对方程组（1），以下几种说法是等价的：），以下几种说法是等价的：齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组有非零解的条件（2）向量组）向量组 线性相
2、关；线性相关；（1）方程组（）方程组（1）有非零解。）有非零解。（3）系数矩阵）系数矩阵A=（）的秩小于的秩小于n，即即R(A)n 于是得到下面的判定定理于是得到下面的判定定理若若 R(A)=n，则方程组（则方程组（1）只有零解）只有零解.第4页，本讲稿共21页推论含有推论含有n个方程个方程n个未知量的齐次线性方程组个未知量的齐次线性方程组有有非零解非零解的充要条件是它的系数行列式的充要条件是它的系数行列式一、齐次方程组解的性质及其结构齐次方程组解的性质及其结构定理定理3.11 3.11 若若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明第5页，本讲稿共21页定理定理3.12 3.12
3、 若若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明证毕证毕.用用 表示方程组（表示方程组（1）的全体解向量所组成的集合，）的全体解向量所组成的集合，则上述两个性质表明则上述两个性质表明 是一个是一个向量空间向量空间，称为齐，称为齐次线性方程组（次线性方程组（1）的）的解空间解空间.的基称为齐次线的基称为齐次线性方程组（性方程组（1）的）的基础解系基础解系.定理定理3.13若齐次线性方程组（若齐次线性方程组（1）的系数矩阵的）的系数矩阵的秩秩 ，则它的基础解系含有，则它的基础解系含有 个向量，个向量，即解空间即解空间 是是 维的维的.第6页，本讲稿共21页设设 是方程组（
4、是方程组（1）的一个基础解系，）的一个基础解系，则（则（1）的任一解可表示为）的任一解可表示为（6）其中其中 为任意实数为任意实数.（6）式式称称为为方方程程组组（1）的的通通解解.从从（6）式式可可以以看看出出，若若齐齐次次线性方程组（线性方程组（1）有非零解，则它就有无穷多个解）有非零解，则它就有无穷多个解.齐次方程组的解法齐次方程组的解法通通过过上上面面的的讨讨论论可可知知，如如果果求求出出了了齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系，就就可可以以写写出出通通解解.因因此此，我我们们总总结结求求基基础础解解系系的的步步骤骤如如下下：设设齐齐次线性方程组的未知量个数为次线性方程组的
5、未知量个数为n，系数矩阵的秩为系数矩阵的秩为r.第7页，本讲稿共21页第一步：对系数矩阵进行初等第一步：对系数矩阵进行初等行变换行变换，使其变成，使其变成行最简形矩阵行最简形矩阵第8页，本讲稿共21页第二步：将第第二步：将第 列前列前 个分量反号，个分量反号，于是得与于是得与 原方程组同解的方程组原方程组同解的方程组第9页，本讲稿共21页第三步：将其余第三步：将其余 个分量依次组成个分量依次组成 阶阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系第10页，本讲稿共21页例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对
6、系数矩阵对系数矩阵 作初等作初等行变换行变换，变为行最简矩，变为行最简矩阵，有阵，有第11页，本讲稿共21页第12页，本讲稿共21页第13页，本讲稿共21页例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换第14页，本讲稿共21页即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.第15页，本讲稿共21页第16页，本讲稿共21页所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为第17页，本讲稿共21页例例3求解方程组求解方程组解解对对 作初等行变换作初等行变换 第18页，本讲稿共21页即得同解方程组即得同解方程组于是有于是有 为任意的为任意的.第19页，本讲稿共21页故方程组的通解为故方程组的通解为 为任意的为任意的.为任意实数为任意实数.第20页，本讲稿共21页小结小结n齐次方程组的基础解系n通解第21页，本讲稿共21页