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1、线性方程组的解法长沙市雅礼中学 朱全民线性方程组矩阵表示方法求如下方程的解消元得到如下方程回代过程 由(3)(3)得 x3=1,将x3代入(2)(2)得x2=-2,将x2、x3代入(1)(1)得x2=1所以，本题解为x=1,2,-1T 用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式用矩阵演示进行消元过程第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作1.将某行同乘或同除一个非零实数2.将某行加入到另一行3.将任意两行互换用矩阵演示进行消元过程第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：示例一、高斯消元的公式 1.消元(1)令aij(1)=
2、aij,（i,j=1,2,3,n）bi(1)=bi,（i=1,2,3,n）(2)对k=1到n-1，若akk(k)0，进行lik=aik(k)/akk(k),（i=k+1,k+2,n）aij(k+1)=aij(k)-lik*akj(k),（i,j=k+1,k+2,n）bi(k+1)=bi(k)-lik*bk(k),（i=k+1,k+2,n）2.回代若ann(n)0 xn=bn(n)/ann(n)xi=(bi(i)sgm(aij(i)*xj)/-aii(i),(i=n-1,n-2,1),(j=i+1,i+2,n)高斯消元法的条件 消元过程要求消元过程要求aii(i)0(i=1,2,n),回代过程则
3、进一步要求回代过程则进一步要求ann(n)0,但就方程组但就方程组Ax=b讲，讲，aii(i)是否等于是否等于0时无法事先时无法事先看出来的。看出来的。注意注意A的顺序主子式的顺序主子式Di（i=1,2,n）,在消元的过程中不变，在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了。若高斯消元法的过程进行了k-1步步(aii(i)0,ik)，这时，这时计算的计算的A(k)顺序主子式顺序主子式:D1=a11(1)D2=a11(1)a22(2)Dk=a11(1)a22(2)ak,k(k)有递推公式有递推公
4、式D1=a11(1)Di=Di-1 aii(i)(i=2,3,n)定理：高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数定理：高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵阵A的的1到到n-1阶的顺序主子式不为阶的顺序主子式不为0。选主消元因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。当因此会产生误差。当|akk(k)|1，此时用它作除，此时用它作除数。会导致其他元素数量级严重增加，带来误差数。会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。例如下列方程组扩散，使结果严重失真。例如下列方程组,假设求假设求解是在四位浮点十进制数的
5、计算机上进行。解是在四位浮点十进制数的计算机上进行。0.0001x1+x2=1 x1+x2=20.100010-3 x1+0.1000 101 x2=0.1000 1010.1000 101 x1 +0.1000 101 x2=0.2000 101 求解过程代入得到代入得到x1=0,x2=1。显然，严重失真。显然，严重失真!(因为本题的准确解为因为本题的准确解为x1=10000/9999,x2=9998/9999因为因为a11=0.0001 0,故可用故可用Gauss消元法求解消元法求解,进行第一次消元时进行第一次消元时有有a22(1)=0.1000 101-104 0.1000 101 (m
6、21=a21/a11=1/0.0001=104)=0.00001 105-0.1000 105 (对阶计算对阶计算)=0.0000-0.1000 105=-0.1000 105,得三角方程组得三角方程组 0.1000 10-3 x1+0.1000 101 x2=0.1000 101 -0.1000 105 x2=-0.1000 105 换主元用高斯消去法求解线性方程组时用高斯消去法求解线性方程组时,应避免小的主元应避免小的主元.在实际计算在实际计算中中,进行第进行第k步消去前步消去前,应该在第应该在第k列元素列元素aik(i=k,n)中找出中找出绝大值最大者绝大值最大者,例如例如 ank(k-
7、1)=max aik(k-1)再把第再把第p个方程与第个方程与第k个方程组进行交换个方程组进行交换,使使apk(k-1)成为主元成为主元.我们称这个过程为选主元我们称这个过程为选主元.由于只在第由于只在第k列元素中选主元列元素中选主元,通常通常也称为按列选主元也称为按列选主元(或称部分选主元或称部分选主元).如果在第如果在第k步消去前步消去前,在第在第k个方程到第个方程到第n个方程所有的个方程所有的xk到到xn的系数的系数aij(k-1)(i=k,n;j=k,n)中中,找出绝对值最大者找出绝对值最大者,例如例如 apq(k-1)=max aij(k-1)再交换第再交换第k,p两个方程和第两个方程和第k,q两个未知量的次序两个未知量的次序,使使aij(k-1)成为成为主元主元.称这个过程为完全选主元称这个过程为完全选主元.kinki,jn总结 在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。解的判断 增广矩阵其中cii0(i=1，2，r)于是可知：1.当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解2.当dr+1=0，且rn时，原方程组有无穷多解3.当dr+10，原方程组无解