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1、方程实根的讨论方程实根的讨论第三讲第三讲 微分中值定理及导数应用微分中值定理及导数应用方程实根问题的方程实根问题的一般提法一般提法：1.证明方程是否有实根证明方程是否有实根2.证明函数是否有零点证明函数是否有零点3.证明存在一点证明存在一点，使得，使得f()=c方程实根问题的方程实根问题的一般方法一般方法：零点定理，介值定理，罗尔定理，利用曲线形态等等零点定理，介值定理，罗尔定理，利用曲线形态等等证明实根唯一的常用方法：证明实根唯一的常用方法：1.单调性；单调性；2.反证法（假设有两个实根，证矛盾）；反证法（假设有两个实根，证矛盾）；3.若有若有f(x)0,则通常反通常反证时用用罗尔定理。定理
2、。1、应用零点定理应用零点定理例例 1提示提示练习练习提示提示例例2提示提示练习练习提示提示例例 3简答简答2、应用介值定理应用介值定理例例 43、应用罗尔定理应用罗尔定理例例 5例例 6练习练习提示提示练习练习4、应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）例例 7一般解题步骤一般解题步骤（1）求出）求出f(x)驻点和驻点和f(x)不存在的点划分不存在的点划分f(x)的单调区间的单调区间（2）求出）求出f(x)的极值（或最值）的极值（或最值）（3）分析极值（或最值）与）分析极值（或最值）与x轴的相关位置，有时需辅以极限轴的相关位置，有时需辅以极限协
3、同分析协同分析答案答案例例9答案答案08天津市竞赛题天津市竞赛题注意到：当注意到：当时时，故方程，故方程与方程与方程同解。同解。命：命：，。又：。又：例例8由由闭闭区区间间上上连续连续函数零点定理知，函数零点定理知，在区在区间间内至少有一个零点。又内至少有一个零点。又即即在区在区间间内内单调单调减，所以减，所以在区在区间间内至多有一个零点，从而函数内至多有一个零点，从而函数在区在区间间有一个零点。有一个零点。内内仅仅有关中值问题的题型有关中值问题的题型类型一：结论为类型一：结论为类型一：结论为类型一：结论为f f(n)(n)()=0)=0的命题证明：的命题证明：的命题证明：的命题证明：方法：方
4、法：方法：方法：(1)证证 为为f(n-1)(x)的最值点或极值点，用费马引理；的最值点或极值点，用费马引理；(2)验证验证f(n-1)(x)满足罗尔定理，用罗尔定理（有时满足罗尔定理，用罗尔定理（有时多次多次用）用）例例 10提示提示 （1）利用极限的保号性（）利用极限的保号性（2）利用罗尔定理或费马引理）利用罗尔定理或费马引理练习练习提示提示 利用积分中值定理，多次利用罗尔定理。利用积分中值定理，多次利用罗尔定理。设设函数函数在在闭闭区区间间0，1上上连续连续，在开区，在开区间间（0，1），求，求证证：在开区：在开区间间（0，1），使得，使得内可导，且内可导，且内至少存在一点内至少存在一点
5、练习练习（01年天津市竞赛题）年天津市竞赛题）例例 11例例 12提示提示 利用介值定理，再利用罗尔定理。利用介值定理，再利用罗尔定理。例例 13提示提示 利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。练习练习类型二：含有类型二：含有类型二：含有类型二：含有f f(n)(n)()的等式的证明：的等式的证明：的等式的证明：的等式的证明：利用逆向思维利用逆向思维,设辅助函数设辅助函数.一般解题方法一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用
6、原函数法（或微分方程法）找辅助函数可用原函数法（或微分方程法）找辅助函数.多用罗尔定理多用罗尔定理,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值定理.(3)若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理有时也可考虑对导数用中值定理.例例14以上利用一些求导公式，以上利用一些求导公式，观察观察所证的特点，设出辅助函数。所证的特点，设出辅助函数。需要记住的求导公式。需要记住的求导公式。例例15思考题思考题思考题思考题提示提示提示提示练习练习例例16利用微分方程法求辅助函数利用微分方程法求辅助函数分析分析提示提示例例17提示提示例例19例例18（
7、05050505年天津市）年天津市）年天津市）年天津市）提示提示提示提示 应用柯西中值定理应用柯西中值定理例例20例例21 （07年天津市）年天津市）提示提示 应用泰勒中值定理应用泰勒中值定理提示提示必须多次应用中值定理。必须多次应用中值定理。类型三：含有两个中值的等式的类型三：含有两个中值的等式的类型三：含有两个中值的等式的类型三：含有两个中值的等式的证明证明证明证明一般解题方法一般解题方法:例例22练习练习证明在证明在证明在证明在(a a,b b)内存在相异的两个中值使等式成立内存在相异的两个中值使等式成立内存在相异的两个中值使等式成立内存在相异的两个中值使等式成立:一般思路一般思路:（1
8、）先选用一种微分中值定理，然后此中值与给定）先选用一种微分中值定理，然后此中值与给定区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。（2）先把待证等式中含有）先把待证等式中含有 的因子与含有的因子与含有 的因子分的因子分别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，其别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，其次在次在(a,b)内确定一点内确定一点x0，把区间分成两个小区间，把区间分成两个小区间，在每个小区间上再分别用中值。在每个小区间上再分别用中值。例例24练习练习例例23不等式的证明的几种方法不等式的证明的几种方法1、应用函数的单调性应用函数的单调性2、应用微分中值定理应用微分中值定理例例 25例例 26例例 28练习练习例例27 （07年天津市）年天津市）3、应用函数的最大值和最小值方法应用函数的最大值和最小值方法4、应用泰勒公式应用泰勒公式例例 29例例 30例例 31例例 32例例 34例例 33设设是区是区间间上的函数，且上的函数，且，证证明：明：，（10年天津市）年天津市）例例35练习练习练习练习例例36（09年天津市）年天津市）5、应用曲线的凹凸性应用曲线的凹凸性例例 37