2019八年级数学上册 专题突破讲练 分式中的特殊运算试题 (新版)青岛版.doc
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1、1分式中的特殊运算分式中的特殊运算一、分式的混合运算一、分式的混合运算分式的混合运算关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。归纳:归纳:运算过程中,要注意运算顺序,在没括号的情况下,按从左向右的方向,先算乘方,再算乘除,最后算加减。有括号的要先算小括号,再算中括号,最后算大括号的顺序运算;分子或分母的系数是负数时,要把“-”转化为分式本身的符号;在解题过程中,要掌握“1”的使用技巧, “1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。二、分式运算中常用的方法二、分式运算中常用的方法分式运算是以分式的性
2、质为基础,根据分式的结构特征,通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易,起到事半功倍的效果。1. 改变“运算符号”对于两个分母互为相反数的分式相加减,只须把其中一个分式分母的运算符号提出来,变成同分母分式进行相加减即可。如:111111111xxx xxxxx2. 拆分法有些分式的分母具有一定的规律,我们可以把它拆分成两个分式相减的形式,用来简化运算。如:111 (1)1a aaa3. 换元法对于有些分式的分子和分母都含有多项式,并且这些多项式大多相同,这时我们可以把每一个多项式看成一个整体,用一个简单的字母来代替它进行运算,起到简化运算的效果,最后不要忘记再替换过来。4. 因
3、式分解法2对有些分式的分母是多项式时,直接运算会很繁琐,通常为了简化运算,我们可以把这些多项式进行因式分解,找出规律约分,起到简化运算的效果。如:=2211()()abab 1111()()abababab总之,分式运算方法有多种,在分式的实际运算中,我们要认真观察,反复思考,不断地归纳,寻找规律,以便能准确迅速计算出结果。例题例题 1 1 计算22223322332223()2baba abab bababa ababab 解析:解析:本题我们如果直接去计算,计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有,因此我们可以用换元法,用字母 x,y 来代替它们简化运算,大大的提高了运算
4、速度,,b a a b最后不要忘记再替换回来。答案:答案:解:设,则 xy1,于是,baxyab=原式=22332223()2xyxyxyxyxy xyxyxy 232()()xyxyxyxy ()223()() ()()xyxyxy xyxyxy所以原式=222222222222=baba baabbaabab baabbababa abab 例题例题 2 2 设、b、c 均为正整数,若,则、b、c 的大小是 ac aba bcb aca。3解析:解析:首先根据、b、c 均为正整数,确定+b、b+c、+c、+b+c 也为正整数,再通过aaaa分为、分别通分,因式分c aba bcb acc
5、abb aca bcb acc aba bc 解,判断出 bc、b、c,综合得出 bc。aaa答案:答案:、b、c 均为正整数,+b、b+c、+c、+b+c 也为正整数,aaaa,c aba bcb ac,c abb acc2+cb2+b,aab2-c2+b-c0,aa(b-c) (b+c)+a(b-c)0(b-c) (+b+c)0,abc,a bcb acc+2b2+bc,aab2-2+bc-c0,aa(b+) (b-)+c(b-)0,aaa(b-) (+b+c)0,aab,a,c aba bc2+bbc+c2,aa2+b-bc-c20,aa(+c) (-c)+b(-c)0,aaa(-c)
6、(+b+c)0,aac,a综上,cb。a点拨:点拨:我们运用因式分解法,把分式进行因式分解后可以进行约分,大大地简化了分式,提高了运算的速度。4巧用拆分法解决规律问题巧用拆分法解决规律问题分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时分子分母出现多项式,应先将多项式分解因式再约分同时注意最后结果应为最简分式。例题例题 用你发现的规律解答下列问题。1-,-,-1 1 21 21 2 31 21 31 3 41 31 4(1)计算+= 。1 1 21 2 31 3 41 4 51 5 6(2)探究+= 。 (用含有 n 的
7、式子表示)1 1 21 2 31 3 41 1nn(3)+的值为,n= 。1 1 31 3 51 5 7 1 2121nn17 35解析:解析:根据所给的等式可得=-,据此可求出(1) 、 (2)的值;1 1nn1 n1 1n(3)依据=(-)先展开,再合并,可化简(3)式,求出的结果等于1 2nn1 21 n1 2n,进而可求 n。17 35答案:答案:解:(1)原式=1-+-+-=1-=;1 21 21 31 51 61 65 6(2)原式=1-+-+-=1-=;1 21 21 31 n1 1n1 1n1n n(3)原式=(1-+-+-)=(1-)=,1 21 31 31 51 21n1
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