《2019八年级数学上册 专题突破讲练 剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用试题 （新版）青岛版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019八年级数学上册 专题突破讲练 剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用试题 （新版）青岛版.doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用一、等腰三角形的性质一、等腰三角形的性质1. 性质：2. 拓展推论：（1 1）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，如图：A=21；（2 2）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，如图：AD 是三角形 ABC 的对称轴。二、等腰三角形的判定二、等腰三角形的判定1. 两边相等的三角形；2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ） 。注意：“等角对等边”必须在同一个三角形中使用。等腰三角形的性质与判定有区别：等腰三角形的性质与判定有区别：
2、等边对等角等边对等角等腰三角形的两个底角相等注意：是两底角相等而不是两个角相等。三线合一三线合一等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。注意：说清三条线的位置，不是任意的三线都重合。2性质是：等边 等角；判定是：等角 等边。三、关于等腰三角形的多解问题三、关于等腰三角形的多解问题例题例题 1 1 在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是 60，则另两个角是唯一确定的（60，60） ，已知一个角是 90，则另两个角也是唯一确定的（45，45） ，已知一个角是 120，则另两个角也是唯一确定的（30，30） 。由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另
3、两个角的度数也是唯一确定的。马彪同学的结论是_的。（填“正确”或“错误” ）解析：解析：分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180 度计算即可。如已知一个角是 70，当 70为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（18070）2=55，当 70为底角时，另外一个底角也是 70，顶角是 180140=40。答案：答案：错误点拨：点拨：主要考查了等腰三角形的性质。要注意分两种情况考虑，不要漏掉任何一种情况。例题例题 2 2 如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA=OB=OC，ABC=ADC=70，则DAO+DCO的大小是（ ）A. 70
4、B. 110 C. 140 D. 150解解析析：由已知及四边形内角和知DAB+DCB=220，由等腰三角形的性质知角的多解角的多解等腰三角形中至少有两个角是相等的，已知一角求另两个角时，多解。如：等腰三角形一个角为 30度，求另两个角的度数。边的多解边的多解已知边求周长的问题，或求面积的问题时，多解。如：等腰三角形两条边分别为3 和 5，求周长。3OAB+OCB=70，所以即可求得DAO+DCO 的度数。根据四边形的内角和定理可得：DAB+DCB=220，OA=OB=OC，ABC=ADC=70，OAB=OBA，OCB=OBC，OAB+OCB=70，DAO+DCO=22070=150。故选 D
5、。答案：答案：D点拨：点拨：利用四边形内角和的定理及等腰三角形的性质求解，解题时要将二者有机地结合在一起。1.1. 多点共存多点共存用几何作图的方法寻找满足条件的多个点是基本找点方法，可以保证不重不漏。但要注意是否符合题目要求，注意理解题目中所要求的点，进而有所取舍。拓展拓展 如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知 A（4，3） ，P 是坐标轴上的一点，若以O，A，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 个，写出其中一个点 P 的坐标是 。解析解析：如图所示，满足条件的点 P 有 8 个，目前我们可求的分别为（5，0） ， （8，0） ， （0，5） ，（0，6） ， （5
6、，0） ， （0，5） ， （0，） ， （，0） 。625 825答案：答案：根据等腰三角形的性质，画图可知，点 P 有 8 个，可求的分别为（5，0） ， （8，0） ，（0，5） ， （0，6） ， （5，0） ， （0，5） ， （0，） ， （，0） 。625 825故答案为：8；（5，0） （答案不唯一，写出 8 个中的一个即可） 。42.2. 运动中形成等腰三角形运动中形成等腰三角形在点的运动中寻找满足条件的等腰三角形，应充分理解运动变化对于图形形状的影响，同时对动点运动时相关线段、图形大小的变化情况要清楚，这些对于今后学习函数中的运动问题非常有帮助。拓展拓展 如图，AOB=60
7、，C 是 BO 延长线上的一点，OC=10cm，动点 P 从点 C 出发沿 CB 以2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OA 以 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 t= 时，POQ 是等腰三角形。解解析析：根据等腰三角形的判定，分两种情况讨论：（1）当点 P 在线段 OC 上时；（2）当点 P在 CO 的延长线上时。分别列式计算即可求。（1）当点 P 在线段 OC 上时，设 t 时后POQ 是等腰三角形，有 OP=OCCP=OQ，即102x=x，解得，x=s；（2）当点 P 在 CO 的延长线上时，此时经过 CO 时的时间已用了 5
8、s，有310OQ=OP，即 2（x5）=x，解得，x=10s，故填s 或 10s。310答案：答案：s 或 10s310（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题1. 如图所示，ABC 中，ABC=50，ACB=80，延长 CB 至 D，使 DB=BA，延长 BC 至 E 使5CE=CA。连接 AD，AE，则DAE=（ ）A. 100B. 105C. 115D. 1252. 等腰三角形 ABC 的周长为 18cm，BC=8cm，若ABCABC，则ABC中一定有一条边等于（ ）A. 7cm B. 2cm 或 7cmC. 5cm D. 2cm 或 5cm*3. 若等腰三角形一腰上的高
9、和另一腰的夹角为 25，则该三角形的一个底角为（ ）A. 32.5B. 57.5C. 65或 57.5D. 32.5或 57.5*4. 如图，在ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE，如果只添加一个条件使DAB=EAC，则添加的条件不能为（ ）A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD*5. 如图，在ABC 中，D、E 两点分别在 AC、BC 上，则 AB=AC，CD=DE。若A=40，ABD：DBC=3：4，则BDE=（ ）A. 25B. 30C. 35D. 40*6. 如图，在ABC 中，BAC=120，B=40，若将ABC 分割成两
10、个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ）A. 100、140或 100、20B. 100、140C. 100、20D. 140、20二、填空题6*7. 如图，做如下操作：在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 平分BAC，交 BC 于点 D。将ABD做关于直线 AD 的轴对称变换，所得的像与ACD 重合。对于下列结论：在同一个三角形中，等角对等边；在同一个三角形中，等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。由上述操作可得出的正确结论是 （将正确结论的序号都填上） 。*8. 如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=P
11、13P14=P14A，则A 的度数是 。*9. 如图，已知BAD=DAC=9，ADAE，且 AB+AC=BE。则B= 。三、解答题*10. 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上任意一点，过点 D 作 DPBC，分别交 BA，CA或它们的延长线于点 P，Q。求证：DP+DQ 是定值。*11. 如图，在ABC 中，AB=AC=2，B=40，点 D 在线段 BC 上运动（D 不与 B、C 重合），连接 AD，作ADE=40，DE 交线段 AC 于 E。7（1）当BDA=115时，BAD= ；点 D 从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当 DC 等于多
12、少时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状也在改变，判断当BDA 等于多少度时，ADE 是等腰三角形。*12. 如图（1），在ABC 中，AB=AC，A=36。（1）直接写出ABC 的度数；（2）如图（2），BD 是ABC 中ABC 的平分线。找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC 除外），并选其中一个写出推理过程；在直线 BC 上是否存在点 P，使CDP 是以 CD 为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点 P，并直接写出相应的CPD 的度数；如果不存在，请说明理由。*13. 已知：在锐角ABC 中，AB=AC。D 为底边 BC
13、上一点，E 为线段 AD 上一点，且BED=BAC=2DEC，连接 CE。（1）求证：ABE=DAC；（2）若BAC=60，试判断 BD 与 CD 有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）若BAC=，那么（2）中的结论是否还成立。若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由。891. C 解析：DB=BA，ABC=50，D=DAB=25，DB=BA，ACB=80，E=EAC=40，BAC=1805080=50，DAE=DAB+EAC+BAC=25 +40+50=115。故选 C。2. D 解析：（1）在等腰ABC 中，若 BC=8cm 为底边，根据三角形周长计算公式可得腰长=5cm；（2）在等腰A
14、BC 中，若 BC=8cm 为腰，根据三角形周长计算公式可得底边长28181828=2cm，ABCABC，ABC与ABC 的边长及腰长相等，即ABC中一定有一条边等于 2cm 或 5cm。故选 D。3. D 解析：当高在三角形内部时底角是 57.5，当高在三角形外部时底角是 32.5，故选D。4. C 解析：A. 添加 BD=CE，可以利用“边角边”证明ABD 和ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到DAB=EAC，故本选项错误；B. 添加 AD=AE，根据等边对等角可得ADE=AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出DAB=EAC，故本选项错误；C. 添加 DA
15、=DE 无法求出DAB=EAC，故本选项正确；D. 添加 BE=CD 可以利用“边角边”证明ABE 和ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到DAB=EAC，故本选项错误。故选 C。5. B 解析：AB=AC，CD=DE，C=DEC=ABC，ABDE，A=40，C= DEC=ABC=70，ABD：DBC=3：4，设ABD 为 3x，DBC 为2401804x，3x+4x=70，x=10，ABDE，BDE=ABD=30。故选 B。6. A 解析：分两种情况：如图 1，把 120的角分为 100和 20，则ABD 与ACD 都是等腰三角形，其顶角的度数分别是 100，140；如图 2，把 12
16、0的角分为 40和 80，则ABD 与ACD 都是等腰三角形，其顶角的度数分别是 100，20。故选 A。7. 解析：操作过程中没有体现角相等，边就相等，故不符合；因为 AB=AC，操作之后得到B 与C 重合，即等边对等角，故符合；根据所得的图像与ACD 重合，所以ADBC，BD=CD，又 AD 平分BAC，所以符合。故操作可以得出的正确结论是。8. 12 解析：设A=x，AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，A=AP2P1=AP13P14=x，P2P1P3=P13P14P12=2x，10P3P2P4=P12P13P11=3x，P7P6P8=P8P9P7=7x，AP7P8=7x，
17、AP8P7=7x，在AP7P8中，A+AP7P8+AP8P7=180，即 x+7x+7x=180，解得 x=12，即A=12。9. 48 解析：延长 BA 到 F，使 AF=AC，连接 EF，如图所示：AB+AC=BE，AB+AF=BF，即 BF=BE，F=BEF=180，BAD=DAC=9，2BADAE，即DAE=90，FAE=180（BAD+DAE）=180（9+90）=81，CAE=DAEDAC=909=81，FAE=CAE，在AFE 和ACE 中，AFAC，FAECAE，AEAE，AFEACE（SAS） ，F=ACE，又ACE 为ABC 的外角，ACE=B+BAC=B+18，F=B+1
18、8，B+18=180，则B=48。2B10. 证明：如图，过点 A 作 AMBC 于点 M，作 ANDQ 于点 N，四边形 AMDN 为矩形。AM=DN。DPBC，B+P=90。C+DQC=90。又C=B，DQC=PQA，AQM=P。AQP 为等腰三角形。PN=QN。DP+DQ=DN+NP+DQ=DN+NQ+DQ=2AM，即 DP+DQ 是定值。11. 解：（1）BAD=180ABDBDA=18040115=25；从图中可以得知，点 D从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变小；故答案为：25；小。11（2）当ABDDCE 时。DC=AB，AB=2，DC=2，当 DC 等于 2 时，ABDDCE
19、；（3）AB=AC，B=C=40，当 AD=AE 时，ADE=AED=40，AEDC，此时不符合；当 DA=DE 时，即DAE=DEA=（18040）=70，21BAC=1804040=100，BAD=10070=30；BDA=1803040=110；当 EA=ED 时，ADE=DAE=40，BAD=10040=60，BDA=1806040=80；当ADB=110或 80时，ADE 是等腰三角形。 12. 解：（1）AB=AC，A=36，ABC=72；（2）如图2180A 236180（2），ADB、BCD 是等腰三角形。说明ADB 是等腰三角形，理由如下：由（1）得ABC=72，又BD 是A
20、BC 的平分线，ABD=ABC=36，又A=36，A=ABD，AD=BD，即21ADB 是等腰三角形。若说明BCD 是等腰三角形，理由为：A=36，AB=AC，C=ABC=（18036）=72，又BD 是ABC 的平分线，21DBC=ABC=36，BDC=180CDBC=1807236=72，21C=BDC，BD=BC，即BCD 是等腰三角形。存在 3 个点 P，使得CDP 是等腰三角形。等腰CDP 中，当以CDP 为顶角，CD 为一腰时，CPD=72；当以DCP 为顶角，CD 为一腰时，存在两点 P：一点在线段 BC 延长线上，此时CPD=36；一点在线段 BC 上，此时CPD=54。13.
21、 （1）证明：BED=ABE+BAE，BED=BAC，ABE+BAE=BAC，BAC=BAE+DAC，DAC=ABE；（2）解：在 AD 上截取 AF=BE，连接 CF，作 CGBE 交直线 AD 于G，BED=BAC，FAC=ABE，在ACF 和BAE 中，CAAB，AFCAEB，AFBE，ACFBAE（SAS），CF=AE，ACF=BAE，AFC=AEB。ACF=BAE，AFC=BEA，CFG=180AFC=180BEA=BED，CGBE，CGF= BED，CFG=CGF，CG=CF，BED=2DEC，CFG=DEC+ECF，CFG=BED，E12CF=DEC，CF=EF，BE=AF=2CF，CGBE，BD：CD=BE：CG，BD：CD=2CF：CF=2，BD=2DC，BD 与 CD 的数量关系与BAC 的度数无关；（3）证明：BD 与 CD 的数量关系与BAC 的度数无关，若BAC=，那么（2）中的结论仍然 还成立。