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1、数学竞赛中的参数方程与极坐标问题陈 舟(义乌市第四中学,浙江 322000)1 参数方程问题参数方程是解析几何的重要内容,利用参数方程解题,或者利用参数法求轨迹方程,有时会显得十分灵活和便利。例1(1989年全国高中数学联赛试题)若M=z|z=t1+t+1+tti,tR,t-1,t0,N=z|z=2cos(arcsint)+icos(arccost),tR,|t|1,则MN中元素的个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)4.解 M中的点在曲线M:x=t1+t,y=1+tt(t=R,t-1,t0)上,N中 的 点 在 曲 线N:x=2(1-t2),y=2t(tR,|t|1)上,曲线M和N的
2、普通方程是:M:xy=1(x0,1)N:x2+y2=2(0 x2).于是,由线M和N的交点的横坐标满足x2+1x2=2,即x=1,故MN=,故选(A).例2 考虑一端在直线y=x上,另一端在直线y=2x上,而长为4的一切线段,求这些线段的中点的轨迹方程.解 设连接A(a,a),B(b,2b)的线段之中点为P(x,y),则x=a+b2,y=a+2b2(1)(a-b)2+(a-2b)2=16(2)由(1)解得a=2(2x-y),b=2(y-x),代入(2),得25x2-36xy+13y2=4.这就是所求所轨迹方程.合理选用参数,利用参数法求动点的轨迹方程是一个十分有效的方法.例3(1993年全国高
3、中数学联赛试题)实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设s=x2+y2,则1smax+1smin的值为.解 显然s=x2+y2 0,设x=scos,y=ssin,代入4x2-5xy+4y2=5得sin2=8s-105s,于 是8s-105s1,解之得1013s103.smax=103,smin=1013,故1smax+1smin=85.例4 有一定长线段l(l1),其两端在抛物线y=x2上移动.试求:图1 例4图1)此线段中点P的轨迹方程;2)距x轴最底点P之坐标.解 1)如 图1,设|P1P2|=l,我们选P1P2与x轴的夹角为参数,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)
4、,则y1=x12,y=x22,且x2-x1=lcos,x22-x12=lsin.于是,可得x1=12(tan-lcos),x2=12(tan+lcos).542005年第8期 数 学 通 讯 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/从而有x=x1+x22=12tan,y=y1+y22=14(tan2+l2cos2),此即P的轨迹(参数)方程.2)由 于y=14(tan2+l2cos2)=14(l2cos4-cos2+1)cos2=14(lcos2-1)2cos2
5、+2l-1.故当lcos2-1=0,即cos=1l时y有最小值,ymin=14(2l-1),此时x=12tan=12l-1,所以距x轴最底点P的坐标为(12l-1,14(2l-1).思考题1(1989年全国高中数学联赛试题)当s和t取遍所有实数时,求(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值.思考题2(1998年全国高中数学联赛试题)若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,试求实数a的取值范围.思考题3设在直角坐标平面上,P(x,y)与P1(x1,y1)相对应,且满足x=ax-by+p,y=bx+ay+q,其中a,b,p,q为常数,且b0,设有两组
6、互相对应的点P1(x1,y1),P1(x1,y1)和P2(x2,y2),P2(x2,y2)试问:1)|P1P2|与|P1P2|之间有何关系?2)若点Q与自身对应,求Q之坐标;3)QP1P与QP1P2 有何关系?并求其面积比.2 极坐标问题解析几何就是用代数方法研究几何问题,建立坐标系是把几何问题转化为代数问题的第一步,所以合理地选择坐标系对于问题的解决十分重要.例如,在极坐标系中圆维曲线便有统一的方程=ep1-ecos,它给解决圆锥曲线中某些问题带来的方便是不言自明的.因此选取适当的极坐标系,有时对解题是很有好处的.例5(1982年全国高中数学联赛试题)极坐标方程=11-cos+sin所确定的
7、曲线是()(A)圆.(B)椭圆.(C)双曲线.(D)抛物线.解 原方程可经为:=11-2cos(+4),由离心率e=2 1,知所确定的是双曲线,故选(C).例6(1996年全国高中数学联赛试题)曲线C的极坐标方程是=1+cos,点A的极坐标为(2,0),曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,求它扫过的图形的面积.解 设P(,)是曲线C上的任意一点,则|OP|=1+cos.在三角形OA P中,由余弦定理得:|A P|2=|OP|2+|OA|2-2|OP|OA|cos=(1+cos)2+4-22(1+cos)cos=5-2cos-3cos2=163-3 cos+132163,当=arccos(-13
8、)时,上式取等号,故|A P|的最大值是163.易知点A在曲线C上,当从0增大到arccos(-13)时,|A P|从0增大到163.所以曲线C扫过的图形是以A为圆心,163为半径的圆所围的部分,它的面积是163.图2 例7图例7已知双曲线x2a2-y2b2=1(ba 0)的弦PQ对中心O张直角,试求SOPQ的最小值.解 如图2,以双曲线中心O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,那么双曲线方程为:2cos2a2=1+2sin2b2.64数 学 通 讯 2005年第8期 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.Al
9、l rights reserved.http:/设P(1,),Q(2,+2),其中-2 0,12=a2b2b2cos2-a2sin2;|OQ|=2 0,22=a2b2b2sin2-a2cos2.由于SOPQ=12|OP|OQ|=1212=141222,故SOPQ2=141222=a4b441(b2cos2-a2sin2)(b2sin2-a2cos2)=a4b4sin22 a4+b4-a2b2(tan2+cot2).0 sin221,tan2+cot22,sin22=1且tan2+cot2=2时,分母有最大值(a2-b2)2,SOPQ2的最小值为a4b4(a2-b2)2,即SOPQ的最小值为a2
10、b2b2-a2.思考题4(1984年全国高中数学联赛试题)对所有满足1nm5的m,n,极坐标方程=11-Cnmcos表示的不同双曲线条数是()(A)15.(B)10.(C)7.(D)6.思考题5(1997年全国高中数学联赛试题)过双曲线x2-y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若实数使得|AB|=的直线l恰好有3条,求.思考题6(1991年全国高中数学联赛试题)设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求 OPQ的面积.思考题答案和提示1.考 虑 直 线x=s+5,y=s和 椭 圆 弧x=3|cost|,y=2|sint|,则原式表示直线上任意
11、一点与椭圆弧上任意一点之间的距离的平方,显然(3,0)点到直线的垂直距离最短,故所求的最小值为2.2.由x2+4(y-a)2=4,设x=2cos,y=a+sin,代入x2=2y得a=2cos2-sin=-2(sin+14)2+178.因为-1sin1,则0(sin+14)22516,从而-1a178.3.1)|P1P2|=a2+b2|P1P2|;2)Q(1-a)p-bq(1-a)2+b2,(1-a)q+bq(1-a)2+b2);3)QP1P2 QP1P2,SQP1P2SQP1P2=1a2+b2.4.(D).5.过双曲线x2-y22=1的右焦点且与右支交于两点的弦,当且仅当该弦与x轴垂直时,取得
12、最小长度2b2a2=4(事实上,该双曲线的极坐标方程为=21-3cos,又设AB是过右焦点F仅与右支相交的弦,|AB|=21-3cos+21+3cos=41-3cos24,当=2时等号成立).由于满足条件的直线恰有3条时,只有两种可能:1)与双曲线左,右支都相交的只有一条(由对称性,该直线必为双曲线的实轴),而仅与右支相交的有两条,不难验证此时不满足题设条件;2)与双曲线左,右支都相交的只有二条,而仅与右支相交的只有一条,由对称性,知这条弦必与x轴垂直,此时|AB|=4,当=4时,可以证明与双曲线左,右支都相交且弦长为4的弦有两条,故=4.6.以F为极点,OF为极轴建立极坐标系,则抛物线方程为=2a1-cos.设P(1,),则Q(2,+),故由|PQ|=P+Q=bsin=2ab,从而SOPQ=12a|PQ|sin=aab.(收稿日期:2005-02-23)742005年第8期 数 学 通 讯 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/