《例说简单无理方程中参数取值范围的求法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例说简单无理方程中参数取值范围的求法.pdf（2页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、例说简单无理方程中参数取值范围的求法叶 青 柏(漳平一中,福建 364400)无理方程的求解,既要考虑如何把问题转化成“有理”的,又要考虑根式有意义的条件,因而求解的难度较大,若是方程中出现参数问题就变得更加复杂.这里通过两个例题的评析,介绍几种求解简单无理方程中参数取值范围的方法.例1 若方程2x+1=x+a有两个不同的实数根,求满足条件的a的取值范围.思考1 能否去掉根号?于是想到两边平方,同时注意到根式要有意义.因此,有下面解法1所示的控制增根的方法.解法1 原方程两边平方得2x+1=(x+a)2(1)即x2+(2a-2)x+a2-1=0.=(2a-2)2-4(a2-1)0,解得a 1.
2、要使方程无增根,由(1)式知:在2x+10的条件下,x+a不出现负值,即由x-12,要能推出x-a,-12-a,即a12.综合知满足条件的a为12a 0,t1+t2=2 0,t1t2=2a-10.解得12a 0,f(0)=2a-10.12a 1.评论 用换元法将无理方程的问题转化为二次方程在区间上有不同根的问题,或转化为二次函数图象与x轴交点的分布问题,使问题变得简单.思考3方程2x+1=x+a的根的个数等价于函数y=2x+1与y=x+a图象交点的个数.于是有下面的数形结合法.解法3 记y=2x+1,y=x+a.由y=2x+1,即y2=2x+1(y0)图1 例1解法3图得其图象为抛物线C1(如
3、图1)的上半段,y=x+a的图象是斜率为1,在y轴上截距为a的直线,依题意直线y=x+a与抛物线C1应有2个交点.如图1,切线l1的截距记为a1,过点(-12,0)的直线l2的截距为a2,则合题意的a为a2aa1.由直线y=x+a过点(-12,0),得a2=12,由直线y=x+a与抛物线y2=2x+1(y0)相切,即x2+(2a-2)x+a2-1=0中=0,得a1=1,12a 0,a 1.由求根公式得x=1-a2(1-a).原方程有两个不等实根,等价于方程(5)有两个不等的实根满足(4),即只要小根x=1-a-2(1-a)满足(4),1-a-2(1-a)+a0,722001年第22期 数 学
4、通 讯 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/对 一个不等式的另几种证法与推广 的商榷与补充孙 建 斌(福建永春县科委,泉州 362600)本刊2000年第2期刊出了 一个不等式的另几种证法与推广1,读后受益匪浅.1 一点商榷意见及修正意见文1在证明a3+b3+c33abc(a,b,cR+)时,似有“循环论证”之嫌.现恭抄其证明过程如下:a3+b3a2b+ab22a3b3,b3+c3b2c+bc22b3c3,c3+a3c2a+ca22c3a3,三式相加得a3+
5、b3+c3a3b3+b3c3+c3a333a6b6c6=3abc.在证明过程的最后,作者绕了一个大圈,最终还是利用a3+b3+c33abc来证明a3+b3+c33abc.修正意见 巧用a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca证明:以上证明中三式叠加得2(a3+b3+c3)a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)a2bc+b2ca+c2ab6abc,于是知,a3+b3+c33abc.补充新证 可巧用构造法,或采用换元法证明之.证法1:2(a3+b3+c3)=a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+(a+b)(a-b)2+(b+c)(b-c)2+(c+a)(c
6、-a)2,(构12(1-a),解得a12.综上12a 0,n1+n2=4 0,n1n2=-2a-50.解得-92 0,f(0)0,即16+4(2a+5)0,-2a-50.-92 0,a-92.原方程成立的基本条件是2x-10,2x-1-20,x+a0.即x12,x52,x-a.要使方程无增根,由方程(7)知:在x+a0的前提下,应保证2x-1-20也要成立,-a52,即a-52.综合 知a的取值范围是-92a-52.(收稿日期:2001-08-14)82数 学 通 讯 2001年第22期 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/