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1、!分析电力系统谐波的加窗插值算法李红伟!李在玉（!#西南交通大学电气工程学院$!%&!#重庆三峡学院电子工程系%）摘要采用快速傅里叶变换（()）进行电力系统谐波分析时很难做到同步采样，故造成频谱泄漏，影响谐波分析的结果。本文对()的泄漏原因进行了分析，并用组合余弦窗对采样数据加权及利用插值对()的结果进行修正，精度得到极大的提高。文中给出了该算法进行谐波分析的算例，计算结果表明，基于*+,-./,012,3345 窗的算法具有更高的计算精度和效率。关键词电力系统谐波分析()窗函数插值#引言近年来，随着直流输电和柔性交流输电技术的采用，电气化铁道的快速发展，化工、冶金、煤炭等工业部门大量应用电力
2、电子设备等，使得电网的谐波含量大大增加，电网波形畸变越来越严重，对电力系统的安全、经济运行造成极大的影响。谐波测量是谐波问题研究的主要依据，实时测量电网中的谐波含量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。常用的基于()的算法进行谐波测量时存在频谱泄漏，使算出的各次谐波精度不高。本文在简述频谱泄露的原因后，通过分析窗函数的特性，指出采用*+,-./,012,3345 窗是谐波测量的最优选择，同时为了得到了更为精确的谐波参数估计，提出了一种插值计算方法，大大提高了计算的精度。$频谱泄露用()进行谐波测量涉及三个步骤：!对信号进行采样，变换为离散序列。建立数
3、据窗，忽略数据窗前后信号波形。#应用()得到结果。在进行以上三个步骤时，必须满足以下要求：首先满足采样定理，以免引起混叠；其次采样频率必须与信号频率同步，整周期采样，即当数据窗为!倍（!为整数）信号周期%（#%6!$%），采样频率#56!7 5，数据窗内采样次数%（%为整数），则满足式（!）时，称采样频率与信号频率同步。!%$56%或#57#6%$!（!）为方便讨论，选取稳态电网信号中任一频率信号&（）6(%-85（$#%9!%）。对&（）以间隔 5均匀采样%个数据，采样频率!7 5大于:;频率，则得到一组序列&（)）6(%-85（$#%)59!%）)6%?%!（）序列&（)）实质上可理解为对
4、连续信号&（）离散采样后，用长度为%的矩形窗截断的结果。对式（）进行傅里叶变换分析可得其频谱为*A（）6(%+B!%,A（%）9+B!%,A（9%）（&）式中，频率变量#用频率间隔-6!$%5归一化，并定义6#$-，%6#%$-。,A（）6 540（$）+B（%!）$%$%540（$%）,A是矩形窗的频谱函数，假定%为整数（即满足式（!），则*A（C）恰好正是序列频谱*A（）的一个 D()谱值，并有*A（%）6(%+B%7。被测信号三个参数(%、#%、!%可以由*A（%）准确计算得到。但是实际测量中，由于受到多种因数的影响，频率是波动的，所以式（!）总是不能满足，采样过程很难做到严格同步，%一
5、般不为整数。如图!所示，图中整数点对应的谱值是理想谱值，而虚线对应的是非同步采样谱值，这时由于各离散点上的 D()谱值与信号的理想谱值不一致，因而会产生泄漏，频 率 偏 离 基 频 越 大，产 生 泄 漏 误 差 越 严重。./!电力电气电工技术杂志!#年第$期图!窗函数一般电网信号主要含有整数次谐波，因而常采用基于余弦窗的组合窗，这类窗只要选取观测时间是信号周期的整数倍，其频谱在各次整数倍谐波频率处幅值为零，因而谐波之间不发生相互泄漏。即使信号频率作小范围波动，泄漏误差也较小。余弦窗一般可以表达为（!为窗的项数 !）（#）$!%!&$#&$%&!#&%#$#(%)!（(）窗的项数越多，主瓣宽
6、度越大，从而引起频谱分辨力的降低。但同时较多项数的窗函数能够产生较大的旁瓣衰减，有利于提高频谱计算精度，但组合窗的项数一般不大于(，容易推得*（!）$!&$#!&*)（!)&）+*)（!+&）（*）把式（(）代入式（*）并简化得到*（!）$&+,!,)-!&$#&%&+,!%&+,!（!)&）%&+,!（!+&）%+-!&$#&（.）式（.）表明，欲使组合窗具有线形相位特性，应满足!&$#&$#，（!）故常用的窗为两项汉宁（/0,+,1）窗、三项布莱克曼（230$45,0,）窗、四项布莱克曼6哈里斯（230$45,0,6/077+&）窗，图 是上面三种组合窗的幅频特性。如果测量时间为信号周期整
7、数倍（且大于等于(），则基波和各次谐波频率归一化后正好位于上述组合窗幅频特性零点，此时整数次谐波相互干扰误差为零。当信号频率波动时，各次谐波频率在窗零点附近也作一定的波动，不同窗的零点附近特性不同，故产生的泄漏误差也不相同。相同条件下，窗宽 8 和采样点数同时增大，频谱泄漏减小。由图 可看出，四项布莱克曼 哈里斯窗大多数谐波衰减9#:2 以上，性能最优，布莱克曼窗次之。图插值#$算法不失一般性，假设测量时间大于四个信号周期，先以信号中某一频率信号为例进行分析，这时加权后信号频谱可表达为-;（!）,-#*（!#）.#/（=）式中，.#和#为频率信号的幅值和相角。令0#）2（1#为整数，?#?#!
8、/）（）式中，1#是通过寻找谱峰而确定的，为了确定频率偏差#，再令 1#附近较大的谱值与 1#处谱值之比为，则 !）?-;（1#）?*（!#）?*（#）?（9）?-;（1#!）?-;（1#）?!）?和?-;（1#!）?的大小，由于?-;（1#!）?或?-;（A#!）?、?-;（1#）?是采样数据加窗后经 BBC 算法得到的，因而幅值比 可通过计算确定，一旦#确定，则谐波频率 0#由式（）可计算得到，而谐波幅值和相角可采用下面公式计算（参考图 D）.#?-;（1#）?E?*（#）?（!）#071-;（1#）071*（#）（!）对矩形窗和汉宁窗，由参考文献!分别有#/（!#）$#!）及#）/（#）
9、$#!），但直接推出并利用34%电工技术杂志!#年第$期BBC 分析电力系统谐波的加窗插值算法解析表达式计算幅值不仅计算复杂，还会出现很小数据相除的情况，而对于定点微处理器而言，如果直接实现小数据相除是无法保证计算结果的精度和正确性的。对三项和四项窗，频率偏差与谱值比之间的关系!（），很难直接求得。考虑到由式（#）或式（$!）确定的反函数完全依赖于窗函数的主瓣特性，而三项以上的组合窗在%!$的范围内的主瓣特性很平滑，因此提出了用线性插值计算频谱偏差的方法。加窗相当于在频域对信号进行等间隔抽样，故参考图&，谱峰#（$!）对应%（!）的抽样值，较大的谱值#（$!($）对应与%（!）一个间隔的窗的较
10、大谱值%!&的抽样值，%（!）处于%$和%)之间，如果%$和%)已知，可利用插值求%（!）。但关键是求!，由图&可以看出，%!&%（!）介于%$&%$和%)&%)之间，而%!&%（!）就是上面求的，故%$和%)、%$&%$和%)&%)已知则可以利用插值求!。可以预先对谱峰区间等分，求出相应幅值和幅值比，通过查表求插值。图&求解步骤可列如下（利用窗函数频谱的对称性，仅对区间!*!+,作(等分）（$）计算窗主瓣幅值%（)(）和谱值比*（)(），!)!($，以表格形式存入内存。（)）信号加窗并作-.计算后从频谱中寻找谱峰位置$!及次谱峰，计算。（&）查表*（)(）!*（)($）(），确定 在比值表的
11、区间，则%!%)($)(/*)()(*)($()(/*)()(（0）求出!处主瓣值%（%!%）%（)(）(%（)($）(）/%（)(）（%!%/!)）（!)($/!)）（,）由式（1）、式（$）、式（$)）计算频率、幅值、相位。式中，当%#（$!/$）%/%#（$!($）%时，!，234%（!）234%（%!%），反之则!5!，234%（!）/234%（%!%）。对于计算各次电力谐波，只要对加窗后信号的各 6-.谱值逐一搜索峰值，再重复运用上述步骤（)）*（,）就可依次得到各次谐波的三个参数。!仿真计算为了验证算法，本文采用参考文献)中相同的信号进行谐波分析的仿真，信号+（,）-#)-$.)7
12、89)!)!9,/#()式中，基波频率!设为 0#+,:;，基波最大幅值为&$!)!?9），采样点数),点，采样频率!9),!:;，样本长度(取$!，按上述算法求解结果如表)，并与普通-.算法、文献)汉宁窗插值法（直接利用解析表达式计算）结果相比较，如表)所示。表 仿真信号参数谐波 A次)&0,B1#含有率（C）!+,&+!+0,+!+&)+!+)$+!相位 A=$!)!$)!$,!)$!)0!&!&!由表)可以看出，普通-.算法误差较大，其相位已经不具有任何意义，)次以上谐波幅值参考价值也不高，故其不能直接用于谐波分析。而文献)的插值与本文插值计算结果精度都很高，但对比可看出本文的精度还是远
13、远大于文献)的算法，而更重要的一点是，文献)中选用的是两项汉宁窗，其旁瓣衰减远小于四项布莱克曼/哈里斯窗，故其达到上述精度选用的窗宽约为)!倍的额定基波周期，采样点数为$!)0 个，采样频率!9),!:;，即接近同样的采样频率下，其采样点数、计算复杂度、数据处理上都远远大于本文插值算法，结果的精度也低于本文算法的计算精度。01#-.分析电力系统谐波的加窗插值算法电工技术杂志!#年第$期表!结果偏差（!）比较算法项目基波 次#次$次%次&次 次(次)次普通*+算法频率#,%&#,%&-,)#,#$#.,&-$.,(&.,%&.,$).,(#%相位#($()#$,&/-&,/$#,$/%,./&,
14、%&/%,%-/)(,%)幅值/-,-%,#.,&$%,%$/-,$-,)$,#(-.,)/,#%文献插值算法频率.,.,.,.,.,.,.,.,.,.相位/-,&-$#/%,#(-/-,.(-)/.,)(/.,.-/.,%#&/.,#%(/.,-&/.,.&幅值/.,.-(.,%#$.,-%.#/.,.%&.,.#-.,-&%.,$%/.,.#-.,-).$本文插值算法频率.,./.,.&/.,.-&/.,.-.,.-/.,.$/.,.-/.,.#/.,.-相位/.,.($,%(.,-.,.$/.,.-/.,.).,.-/.,.&.,.-幅值.,.$.,-$.,.-)/.,.-&.,.$/.
15、,.-.,.-/.,.-.,.-参考文献-张伏生，耿中行，葛耀中,电力系统谐波分析的高精度*+算法,中国电机工程学报，-)（#）祁才君，陈隆道，王小海,应用插值*+算法精确估计电网谐波参数,浙江大学学报（工学版），.#（-）#潘文，钱俞寿,基于加窗插值*+的电力谐波测量理论,电工技术学报，-)$（-）$（美）奥本海姆，谢弗,离散时间信号处理（第 版）,刘树棠，黄建国译,西安：西安交通大学出版社，.-#$%&()*+,-./01&2 3&/)245)21&5.21 62*0(7&%.*)&2 8&(9.(,&2):$2.%;/)/)2&50(=;/*0,!#$%&(（012345673 89:1
16、31;6?793）$/*(.:*+46?6:?6 A9BB9C2D3967 9;4:?E1;9C:;:D797 1B F156?77G36E 5934 77;C4?1;9H6A 7:EFD9;279;*+:D11?934E,I23 9B 3497C1;A9391;97;13 7:397B96A，346?672D37 59DD J6 A9732?J6A J 346 B?6GK26;C D6:L:6,+497 F:F6?:;:D767 346?6:71;7 1B D6:L:6 1B*+:D11?934E，5934 279;346 F1D/C1;79;59;A15 B1?346 7:EFD9;A:G
17、3:59;A15:;A 279;6A 1J9127D,+46 79E2D:39;?672D37 74157 34:3 346:D11?934E 4:7 496?6BB9C6;C:;A IDCLE:;GM:?97 59;A15 4:7 3464946?:CC2?:C,?0;5&(1/F156?7736E4:?E1;9C:;:D797*+59;A15 B2;CG391;9;36?F1D:391;收稿日期：!.$.&%（上接第%页）参考文献-N,N,N4:;，O4:1 O46;E9;6D C1;6?3G6?,STTT+?:;7:C391;7 1B 9;A273?9:D 6D6C3?1;9C7，.，$
18、)（&）陈增禄等,基于 R0PQR 的大功率宽频带低失真逆变器,电力电子技术，.（%）#张巧寿,振动实验系统现状与发展,机电新产品导报，.-（)U-.）$曹兴文等,高频电路原理及分析,西安：西安电子科技大学出版社，.-$&A0%BC%*)7%0=.,7%0(0DC02:)0/3&2*(&%=:+0,0 8&(3&,702/.*)2*+0 EC*7C*F3 F()8*&8$G)104.219)+47(0:)/)&2 62A0(*0()*(%+(%&,-（V9W:;89:131;6?793）$/*(.:*X9E9;:3 346 7F6C9:D?6K29?6E6;3 B1?C1EF6;7:39;34
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