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1、过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用北京丰台二中 甘志国 定义 把射线 绕端点 沿逆时针方向旋转到射线 时所成的最小非负角记作（有 ）如图，设动直线 过定点（，），点（，）是动直线 上的动点设 图 当点，不重合时，点 在以 为圆心、为半径的圆 上设以坐标原点 为圆心、为半径的圆是，把圆 按向量平移后即得圆 又设圆上的点是圆上的点按向量平移后得到的，即 由三角函数定义得（，），其中 （射线的方向是 轴的正方向，下同）可得 ，即（，）（，）由此，可得过定点的动直线的参数方程及参数的几何意义：定理 若动点（，）在过定点（，）的动 直 线 上，则 可 设 ，其 中 ，当 时，（射线 与 轴
2、的正半轴同向）定义 过圆锥曲线 的任一焦点 作曲线 的过点 的对称轴的垂线交 于点，把线段叫做圆锥曲线 的通径定理椭圆（）及双曲线（，）的通径长均为，抛物线（）的通径长为 定理设圆锥曲线 的一个焦点是，点（，；）在曲线 上，且 ，当是双曲线时，还要求这些点在双曲线的同一支上（由此可证：这些点只能同在焦点 对应的一支上），则 （其中 是曲线 的通径长）（年高考重庆卷理科压轴题（即第 题）就是定理 中曲线 是椭圆且 的情形）证明定理，须用到下面的引理（）（由引理 立得引理，由引理 可证引理）引 理 （），（）（见张远达编浅谈高次方程（湖北教育出版社，）第 页）引理 （）引理（）（）；（）（）定理的
3、证明设 不失一般性，可设 ，得 下面只证 是双曲线的情形可不妨设：中学数学杂志 年第 期（，），还可不妨设 是其右焦点（，）（）点（，）不可能均在左支上：否则 ，又由题设得 ，所以，这与题设“”矛盾！得点（，）同在双曲线 的右支上由定理 知，点（，）的横坐标是，再由焦半径公式及引理（），得（），定理 （）过圆锥曲线 的任一焦点 作弦（当 是双曲线时，点，要求在该双曲线的同一支上），则（其中 是圆锥曲线 的通径长）；（）过双曲线 的任一焦点 作弦（且点，在该双曲线的两支上），则（其中 是双曲线 的通径长）证明 （）即定理 中 时的情形（）不妨设 是双曲线的右焦点，点，分别在该双曲线的右支、左支上
4、，设 由定理 知，点（，）的横坐标是 ，由焦半径公式，得（），（），定理 设定圆锥曲线 的一个焦点是，点（，；）在曲线 上，且 ，当 是双曲线时，还要求这些点在双曲线 的同一支上（由此可证：这些点只能同在焦点 对应的一支上），则 定值，定值（其中 是曲线 的通径长），具体的情形是：（）当曲线 是椭圆（，）或双曲线（，）时，（），（）；（）当曲线 是抛物线 （）时，证明 先证：若 定值，则 定值（其中是曲线的通径长）由定 理（），得，（，）所以 定值下面再证其余的结论设 不失一般性，可设 ，得 ，（，）下面只证曲线 是椭圆（，）的情形可不妨设是右焦点（，）由定理知，点，（，）的横坐标分别是，由焦
5、半径公式，得 （），（）（，），（，中学数学杂志 年第 期 ，），（，）再由引理（），得 （）定理（）过椭圆：（）的任一焦点 作两条互相垂直的弦，则，（）过双曲线：（，）的任一焦点 作两条互相垂直的直线，（点，；，均在曲线 上）：若焦点 同时在弦，上，则，；若焦点 同时不在弦、上，则，；若焦点 在弦 上但不在弦 上，则，（）过抛物线：（）的焦点作两条互相垂直的弦，则，证明 请读者自证（）两种情形（由定理 中 时的情形，立得其余的情形成立）推论 过定圆锥曲线任一焦点的两垂直弦长的倒数和为定值作者简介 甘志国，男，年生，特级教师，现任教于北京丰台二中哈尔滨工业大学出版社已（即将）出版甘志国的专著
6、册，近 万字：年出版初等数学研究（），出版初等数学研究（）（上，下），年月出版集合、函数与方程、数列与不等式、三角与平面向量、平面解析几何、立体几何与组合、极限与导数、数学归纳法；于 年即将出版趣味数学、教材教法、自主招生、高考压轴题（上，下）书 讯哈尔滨工业大学出版社已于 年 月出版了特级教师甘志国的 册专著集合、函数与方程数列与不等式三角与平面向量平面解析几何立体几何与组合极限与导数、数学归纳法，该出版社还将于今年陆续出版甘志国的另 册专著趣味数学教材教法自主招生高考压轴题（上，下）这套专著是是高中数学教学参考用书，系统、详尽地阐述了高中数学解题方法与技巧，有理论、有实践，并注重了科学性、系统性和趣味性，共含 篇文章或试题，每篇各自独立成文，所以本书可系统性地研读，也可有选择性地阅读这套书可作为高三师生复习备考用书，也可供中学、大学师生及初等数学爱好者研读，或作为高中数学竞赛辅导资料和师范大学数学教材教法方面的教材有兴趣的读者可网上购买（每册可单独购买），也可与哈工大出版社刘培杰数学工作室联系：电话：，；中学数学杂志 年第 期