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1、高考资源网（ ），您身边的高考专家“09数赛”引发探究性学习的一个案例温州市龙湾中学 鲁兴冠（注：本案例获2010年温州市高中数学优秀案例评比二等奖）内容提要：通过对2009年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对椭圆中的简单研究，类比到双曲线、抛物线。并结合2009年全国及各省市高考试题及举例说明这类问题的一些常规应用，通过激烈的讨论，思维的撞击，建立更好的知识结构。关健词 数赛 探究 案例1 问题提出与背景：10月11日上午在市第二十一中学进行的2009年全国高中数学联合竞赛刚刚结束，同学们都议论纷纷，一位学生神秘兮兮告诉我一个好消息：有一个7分填空题我上课时己讲了。当时我也很迫切想知
2、道是怎样一道题？又是何时讲？由于学生心情很激动或许考试太紧张吧，该学生一时说不出具体试题，只回答我：反正您讲了。然后，我说：返校后好好回忆再用纸条写给老师。下午上课前，一群己参09数赛学生把题目写好了送给我：椭圆（）上任意两点，若，则乘积的最小值为 （2009年全国高中数学联合竞赛一试试题第5题）欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（） 您身边的高考专家2原问题寻找及问题解决：看了试题后，说实话作为高中教师解答该题并不难，难的是学生硬说老师上课讲了，并且讲的时间还不长，可我自己记不起何时讲解过。我翻遍了自己的备课本也没有找到该试题，又快上课了，我只好要求找到该试题的同学第一时间告诉我。
3、下午刚一放学，一位同学拿着课本选修4一4一路跑来说：“找到了”。原来我备课简单，对课本上这些题目没有具体写出来而这样略写：讲解“P15页习题1.3第6题”，这正是翻遍备课本也没有找到的原因。这样我第二天数学课进行“补牢”工作。己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b（ab0）,A,B分别为椭圆上的两点，求证：（1）为定值 （2）求面积的最大值和最小值 （人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4一4坐标系与参数方程第15页习题1.3第6题）生1：证明：由题意椭圆方程为 ，因为 ，设OA所在的直线斜率为，则OB所在的直线斜率为由得所以同理可得，所以 师：生1的结果是否正确？生2：
4、肯定正确。师：敢肯定？！理由？生2：特值法，当，时显然对了。师：太聪明了！生3：生1的结果是正确，但过程不完整，OA所在的直线斜率可能不存在，这种情况没有讨论。生4：（很迫切）那OA所在的直线斜率为0也没有讨论。师：同学们考虑问题要周到全面呀！那怎样说简洁明了？生1：（我自己知道了必须补上）当OA或OB所在的直线的斜率有一个为0时，（定值）生5：（参加了数学竞赛并提出该问题的同学）老师：我正是用这个定值做的。生5展示解法：由课本知 又根据基本不等式 （当且仅时取等号）师：不错，不错！对课本比老师还熟悉。3问题的应用：师：暑假我把全国各省市高考题全部做了，我在你们、特别是生5的提示下，请大家共同
5、欣赏2009山东卷理22题设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。生6：解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）由课本知：，又设AB边上的高为h,由 可得显然以原点为圆心，h为半径的圆就符合题意。所以, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.由得 () 其中设且函数在上是减函数上是增函数,综上,
6、|AB |的取值范围为: 师：:（1）生6真是现买现卖，牛！比高考答案还方法还要好。用上了这个定值，还构造了典型函数，并利用其单调性来求范围。（2）本题是2009山东卷压轴题，其题源背景就是课本上作业题，因的高h也为定值，课本上第二问求面积的最大值和最小值就与这道高考题第二问实质上是一样了。(3)本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法。师：若过O作于M，则M的轨迹是什么？生7：是以原点为圆心以h为半径的圆（原点除外）。师：真严密！“原点除外”没有移漏。4提出并探究新问题：师：看来09全国数学竞赛考了，09高考也
7、考了，同学们能否探究它的逆命题是否成立？问题1 己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b（ab0）,A,B分别为椭圆上的两点，试研究是否成立？生8：证明：由题意椭圆方程为 ，因为（1）当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，不妨设OA所在的直线的斜率为0，则 由（1）得 从而有（2）设OA所在的直线斜率为，OB所在的直线斜率为由得所以同理可得，所以 化简得师：大胆探究，小心化简。（边巡视边提示）由此可见，不一定成立。当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，或当OA,OB所在的直线的斜率异号时，成立。师：我们今天仅对椭圆行进了研究，我们把这一问题想开去。这个问题在双曲线中、抛
8、物线中又怎样？课后分组讨论、交流。以下的问题有老师提出的，有同学提出的步，最后搜集整理如下：问题2：己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b（ba0） , A , B分别为双曲线上的两点，求证：为定值小组1：证明：（1）因为ba0，所以OA、OB所在的直线的斜率一定存在且不为0 （2）只需把探究1中的结论换成就可得（定值）问题3： 己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b（ba0） , A , B分别为双曲线上的两点，试研究： 是否成立？小组1： 证明：仿照椭圆知：不一定成立，也即命题2的逆命题不成立。当且仅当OA,OB所在的直线的斜率异号时，才成立。小组1例举：已
9、知双曲线的离心率为，右准线方程为 （）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.wu.c.o（2009北京高考卷理19）小组1解:（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）由直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点可知：的边AB上的高为定值, OA,OB所在的直线的斜率异号 又由命题2知：， 的大小为.wu.c.o.m 问题4 己知抛物线E：（p 0）, A , B分别为抛物线上的两点，求证：直线AB恒过定点小组2证明：由题意可设OA所在的直线的斜率，则OB所在的直线斜率为由得同理可得，所以直线的斜率为直线的方程为又在上述方程令,得
10、直线AB恒过定点C问题5：己知抛物线E：（p 0）, 过点C作直线AB交抛物线于A , B两点，求证： 小组2证明：证明：由题意可设OA所在的直线的斜率，OB所在的直线斜率为由得 同理可得，（1）若即轴时，,，显然成立（2）时，则直线的斜率为直线的方程为,直线过C将，代入上述方程得 综合上述：小组2例举：己知抛物线（p0）, A , B分别为抛物线上的两点，过O作于M，求：M点的轨迹方程（2004上海春高考卷理22）小组2解：由命题3可知：直线AB恒过定点C于MM点的轨迹是以线段OC为直径的圆且原点O除外所求M点的轨迹方程为：5教后启示 （1）本节课在参加09数赛同学的提示下，通过对2009年
11、全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对圆锥曲线中的简单研究，并结合2009年全国及各省市高考及举例说明这类问题的一些常规应用来复习了圆锥曲线，起到了意想不到的效果（2）在研究性学习中，师生之间是轻松和谐氛围中进行。教师要不断吸取新的知识，投入新课程教学研究中，才能适应时代的发展。教师要乐意，虚心地接受学生的见解、观点。实现“沟通、理解、创新”，培养学生的学习兴趣与创新精神。荷兰著名的教育专家费赖登塔尔指出：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的”。因此作为数学教育工作者应加强对案例教学法的研究、应用，使案例教学法在中学教学课堂上展现无穷魅力。（3）圆锥曲线往往是高考压轴题
12、，看来其题源来于课本，变于课本，高于课本。这让我们一线的数学教师反思：怎么教？学生怎么学?基础怎么去落实？解决问题的通性通法是什么？在教学中多问“为什么？还有么？”等等。学思结合，举一反三，基础知识的掌握和落实尤为重要，课本中的定义、定理、例题、习题要吃透、消化，高三复习要回归课本。我认为这正是高考命题专家的用心良苦，也说明专家们驾驭课本的能力，知识的渊博。通过对圆锥曲线中的简单探究，反映了几种圆锥曲线之间的内在关系，又一次体现了数学美。参考文献1 2009年高考数学试卷山东卷2 2009年高考数学试卷北京卷3 2004年上海市春季高考数学试卷4 人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4一4坐标系与参数方程5 2009年全国高中数学联合竞赛试题- 8 - 版权所有高考资源网