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1、2 0 1 4 年4 月解法题激起千层浪万流归宗能力成对充分挖掘题目教学功能的案例剖析与反思浙江省绍兴市建功中学曹青全日制义务教育数学课程标准(2 0 1 1 年版)强调四基四能(四基，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；四能，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力)，关注学生的学习兴趣与习惯，倡导创新型和应用型人才的培养要实现这些目标，离不开过程与方法教学，没有充分展开问题教学的时间和空间是不行的，在中考系统复习阶段时间紧任务重的情况下更是如此本文深入分析一例，从中获得教学启示一、教学案例出于问题引领系统复习教学的考虑，在充分研究的基础上，我们设计了一节以一题多解为特征的几
2、何复习课，达到了良好效果问题：在直角三角形中，如果一个锐角等于3 0 0，那么它所对的直角边等于斜边的一半首先把问题符号化：已知，如图l 所示，在R t A 曰C 中，A C B=9 0。，鲋C=R13 0o 求证：B C=二A 曰图1C在学生眼里，此定理应用广泛，早已了然于胸中考复习时施以“多证”，学生们切人容易，方法众多，堪称“一题激起千层浪”由之理顺解题规律，水到渠成，自然流畅(一)截长补短法顾名思义，“截长法”即在长线段上截下一段，使之是上述思想中的“数形结合”在学生求解过程中，只有将压轴问题中的文字语言与图形信息结合起来分析，充分利用“以形助数”和“以数解形”两种策略，将问题的情境不
3、断“提纯”，才劁颐利获得问题解决的思路，让压轴问题的“压轴价值”真正实现本文中所述的这道压轴题，蕴含着丰富的数学思想，每一个问题的解决，都涉及路径的化归和模型的建构作为例题，笔者突出了其中的数形结合思想，让学生的探究在这一思想的引领下不断深入下去提纯的过程，不断巩固着学生对题中蕴含思想方法的认知，学生经历了问题情境的提纯，对解题所需要的条件与最终要达成的解题目标有了深刻的认知，合适的解题方法自然会在学生脑海中及时生成四、结束语压轴问题的解答虽然棘手，但只要解题时能精心研读问题，对问题的情境进行必要的“技术处理”，做好精准的取舍整合，就一定能发现解决问题的路径情境“提纯”作为一个解题技术，需要在
4、强化训练中不断巩固提升在日常教学中，我们应借助压轴题的教学，多呈现此类范例，鼓励学生通过解题的实战演练，反复应用以促进解题经验的积累“提纯”，剔除了干扰情境，让生成的新情境直接指向解题目标，提纯过程中，很多学生能透过“复杂情境”获得问题解决的“路径”，这就是“提纯”的作用以上所述，虽然经历笔者的多轮尝试，取得了一定的教学成效，但基于不同学情进行教学应用可能会产生不同的成效，本文中所述的方法权作压轴题教学的“引玉之砖”吧，欢迎各位同行专家对笔者的做法提出意见和建议参考文献：1 印冬建设计源于需求改编呈现价值由一次例题设计评比活动说起 J 中学数学教学参考(中)，2 0 1 3(1 0)2 中华人
5、民共和国教育部制定义务教育数学课程标准(2 0 1 1 年版)M 北京：北京师范大学出版社，2 0 1 2 3 夏再迅试题改编需要理解深层结构 J 中学数学(下)，2 0 1 3(1 2)4 沈岳夫提炼基本图形妙解面积问题 J 中国数学教育(初中版)，2 0 1 3(6)5 朱广科以二次函数为背景的存在性问题例析 J 中国数学教育(初中版)，2 0 1 3(1 0)衄初中版寸7 载-?万方数据法探究2 0 1 4 年4 月等于短线段的方法；“补短法”则是在短线段上补上一段，使之等于长线段的方法如此，往往能把分散的条件给集中起来，迅速释放题目内涵1 截长法解法1：如图1，耽4 B 的中点D，连接
6、C n 结合 A C 曰=9 0。，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，1可得c D 4 D=肋l 一A B 又 曰=6 0 0，则B c D 是等边三Z1角形，于是有B c=曰D=A B Z异曲同工之法，还有(只提供辅助线，不赘详解)：方法变式1 1：在A B 上取一点D，使曰D=B C，连接C n方法变式l 一2：作B C 的中垂线交A B 于点D，连接C D 方法变式l 一3：以点C 为圆心、C 8 长为半径作圆弧，劾B 于点D，连接方法变式1 4：在A 曰上取一点D，使厶B C D=6 0 0-方法变式1 5：作A C 的中垂线交A 曰于点D，连接阻方法变式1 6：在A 曰上
7、取一点D，使A c D=3 0 0，连接C n2 补短法A解法2：如图2，延长日C 到D，使B D _ A B，连接A D，结合 日=6 0。，得A B D 是等边三角形又 A c 曰=9 0。，由等腰三角形“三线曰合一”，可知B c=肋=A B CD图2异曲同工之法，还有(只提供辅助线，不赘详解)：方法变式2 一l：以A B 为一边，作 戤D=6 0。，交曰C 的延长线于点D 方法变式2 2：作A 曰的中垂线交B C 的延长线于点D，连接AD 点评：遇到线段(角)的和、差、倍、分问题，采用截长(大)补短(小)的策略往往能释放题、图信息内涵，打开思路(二)线段叠合法把一条线段叠合到另一条线段上
8、去，让它们的一端重合，观察另一端的情况，就可比较两条线段的长短，同样也是判断和证明线段大小关系的常用策略解法3：如图3，作 B 的平分线，交A C于点D，过点D 作D E 上A 曰，垂足为E 容易证。明图中分出的三个小三角形全等，从而使“问题获解C图3D异曲同工之法，还有(只提供辅助线，不赘详解)：方法变式3 1：作A 曰的中垂线肋，兖4 G 于点D，连接B D 中。7 毒蔓：7 初中版方法变式3 2：如图4，作 曰的平分线，交A C 于点D，延长日C 到点E，使雎=B A，连接D E 方法变式3 3：作 曰的平分线，交A C 于点D，以D 为圆心、册为半径作圆弧，交B C 的延长线于”点ED
9、CE图4点评：关注到两个锐角内在的数量关系和图形特征结合待证目标容易联想到借助角平分线巧妙完成线段叠合角是以其平分线所在直线为对称轴的轴对称图形我们常利用这一点把一侧的图形翻折到另一侧去。或无中生有过角平分线上的上点向角的两边引垂线完善图形成轴对称图形同时一举多得打开解证思路(三)“同一”证明法当命题的条件与结论所指的事件是唯一的，且范围相同，则原命题的逆命题一定成立这时若证明原命题不易人手，可改证其逆命题，是一种间接证法，我们称之为“同一法”运用“同一法”，一般经历如下步骤：(1)作一个具有命题所述屙|生的图形；(2)证明这个图形与已知条件符合；(3)通过推理，说明所作图形与题设要求的图形是
10、一致的；(4)判断原命题所述图形具有某种属性解法4：如图5，延长到D，使日D=曰C，以B D 为一边作等边曰朋，连接，则加=吉c D 又容易证明j 冬c 肋兰A，则有B c=丢A 曰一：A点评：从本质上说，这个办法与图5前述“截长”各法是相通的，但从思路上却各有千秋本法突出在先构造符合目标条件的图形，再证明它与原图形全等；而“截长法”则指向探究对象的变更，如解法11中由判断曰C=二A 日转为判断曰C=B D 2(四)相似推理法全等是特殊(相似比为1：1)的相似，相似是全等的深化判定图形全等离开等线段是不行的，而判定相似则不然因此，运用相似这个解证工具往往更加方便解法5：如图6，作厶4 曰C 的
11、平分线，A交A C 于点D 容易证明A D 胡D，B c D 一Ac 8，则器=笔=器设(加l=龙，曰D=|菇，则AD=|算在R t 日C D 中，得曰C-、佰矽二万=图6后戈D石万方数据2 0 1 4 年4 月解法、后2 _ l 戈同理可得A 曰矗、驴二丁戈在R t A 中，有B C 2+AC 2：一日2，则(后2-1)菇2+(而戈+石)2=(后、而算)2，整理得矗3 3|一2=0，(后3 4|)+(I|一2)=0，(矗一2)(七2+2 _|+1)=0，解得|j =2，后=1(舍去)则A B=2 B C点评：利用相似，一个典型的几何问题最终被化归为解一个代数方程虽然在方程解法上，需要分组分解
12、因式的方法，技巧性比较强，却不需要特殊的构图技巧，对几何思考的能力放低了一些二、教学启示一题多解有利于加深对概念、命题的认识和理解，沟通数学各分支内容间的联系，以点带面地复习章节知识，找到最优解证思路，可以激发学习兴趣，促进探究学风的形成，是常用且有效的教学策略那么，上述案例达到这些目的了吗?能给我们一些什么教学启示呢?(一)推陈出新，充分挖掘经典题目的教学功能经典或说好的数学问题不一定是繁难问题，它应该是知识的交汇平台，有众多的思维切入点，能承载更多的思想方法成分本例系教材定理，学生们熟能成诵，但上述处理却似枯树生新芽，各种方法均给人以新鲜之感，教学上主要体现为以下三点：1 舍简求繁。只为领
13、悟方法教材是在学习完等边三角形以后，借助其对称性，观察局部与整体(命题对应三角形是等边三角形的一半)关系的基础上，以推论的形式自然引入该定理的，堪谓水到渠成如果单从理解和证明命题考虑的话，显然毫无再度研究的必要此处舍简求繁，在中考系统复习阶段又深入解读，目的只为在过程中感悟思想，提炼方法，积累数学活动经验Z 颠覆经典。体昧数学魅力数学是思维的艺术上述问题的解决一改传统思路，另辟蹊径，颠覆经典解法，展示了数学“道无止境，思有路径”的无穷魅力当然，上述各思路并非全部生成于课堂，也并非完全生成于学生，其中有教师充分的研究、预设、点拨与启发，有学生开放的探索、合作、尝试与顿悟，更有师生间相互的“灵犀一
14、动”13 承载思想。升华思维品质经典问题必然能承载更多的思想方法，能建立并强化学生的数学意识，升华学生的数学观念，让学生“数学地思考”的能力不断提高实际上，在本教学结束时，我们布置了一份作业，即证明上述命题的逆命题二者的结合，不仅实现了方法的类比和迁移，更对截长补短法、线段叠合法、同一证明法、相似推理法做了再次极佳的诠释不知不觉中，思维品质得到了升华(二)以点带面，充分感悟零散知识的内在联系数学是一个有机的整体，各部分内容之间有着千丝万缕的联系如何发现和感受这些联系，梳理知识网络，构建知识系统，以便在应用时“牵一发而动全身”，顺利提取和应用知识，释放题目内涵，是数学教学的追求可从以下两点考虑：
15、1 经纬分明。手提金线串珍珠学习数学的过程犹如编织一张渔网的过程网面越大，则一网下去，即可覆盖更大的范围，获取更多的捕鱼机会；网眼越细，则大小鱼儿皆入网中；经纬线越粗，则网越发牢固将之迁移到数学学习中，一张经纬分明、系统清晰的知识大网自然有助于信息的提取和应用反映到教学设计中，教师首先要找到合适的数学问题，提炼引导学生学习的思维(或问题)线索，并以之串联起散落满地的数学珍珠章节知识或数学不同领域的知识2 源流清晰。理顺脉络成网络数学知识之间不仅存在以并列为特征的经纬分明的横向联系，更存在着先与后、主与次、源与流这些纵向的辩证联系可以想象，要提起一大串葡萄，比较理想的办法是抓住果蒂理顺出数学知识
16、间的源流关系，则数学就可以成为一种结构，如因果、相关、相似、对比、相近等可实现相互推理的结构，以减少记忆量，更加容易联想如解法l 中，是线段的倍与分让我们联想到了截长补短；解法2 中，把分散的两条线段集中到一条线上，容易发现图形的内在联系；解法3 中，则先构造“理想目标”，再将之嫁接到原图形上；解法4 中，则是发现并开发了两个锐角的内在数量关系，从而联想到构造角平分线，找到一对相似三角形多种方法的实践与感悟，让学生们深入领会了作图、全等、相似、勾股定理、等腰三角形性质等诸多数学知识一方面是从源到流的发散与分类，另一方面是从流到源的收敛与概括，二者的结合让数学在纵向发展上脉络清楚如上般组织教学，对教师的专业素养和研究能力是个挑战，而且教学可能显得费时费力，但其价值却是毋庸置疑的，实现了笨中取巧望各位同仁再行深究，推广应用，服务教学，再入佳境参考文献：1 王义堂新课程理念与教学策略 M 北京：中国言实出版社2 0 0 3 2 陈明华数学教学实施指南初中卷 M 武汉：华中师范大学出版社2 0 0 3 3 苑建广信息转化问题解决的核心策略 J 中国数学教育(初中版)，2 0 1 2(3)4 苑建广激趣引思移情启智例谈教学内容的组织和引入 J 中学数学(下)，2 0 1 2(9)圃初中版十。7 擞_?一万方数据