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1、第八章 平差系统的统计假设检验 第八章 平差系统的统计假设检验 参数估计是指由样本来推断母体（总体）的方法，一般分为点估计和区间估计两种，衡量估计量质量优劣的标准是：无偏性、一致性、有效性。构造点估计常用的方法有：矩估计法、最大似然估计法、最小二乘法以及贝叶斯估计法等。假设检验也是一种非常重要的统计推断问题，其基本思想可以用小概率原理来解释。所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。也就是说，对总体的某个假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件在一次试验中是几乎不可能发生的；要是在一次试验中这一事件竟然发生了，我们就有理由怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。一个
2、完整的最优的平差系统，除了采用平差准则对参数进行最优估计外，还要保证观测数据的正确性和平差数学模型的合理性。这就要借助于数理统计方法，对观测数据和平差数学模型进行假设检验，以保证平差系统的质量。8.1 参数的区间估计 8.1 参数的区间估计 区间估计是依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，作为总体分布的未知参数或参数的函数的真值所在范围的估计。例如人们常说的有百分之多少的把握保证某值在某个范围内，即是区间估计的最简单应用。这种给定的概率称为置信概率或置信度，所确定的区间称为置信区间，置信区间的两端点称为置信限。求置信区间常用的三种方法是：用已知的抽样分布、利用区间估
3、计与假设检验的联系，以及利用大样本理论。进行区间估计的步骤是：1）选定分布为已知的统计量，且在此统计量中除了包含需要估计其区间的未知参数外，不再包含其它的未知参数。2）根据实际需要确定置信度，并决定是进行双侧还是单侧置信区间估计。3）根据给定的置信度和所选定的统计量所属的分布，由有关的概率统计附表查出相应的分位点值，从而计算出置信区间。一、服从正态分布随机变量的区间估计 一、服从正态分布随机变量的区间估计 设随机变量y服从标准正态分布，记为，则 N(0,1)yy出现在区间/2/2C,Cy 的概率表示为()/2/2CC1Py=(8.1.1)这里1称为置信度，/2/2C,C称为置信区间，/2C和/
4、2C分别为上、下置信限。2N(,)例题【8.1.1】：设有一系列观测值1x、2x、L、nx，它们都视为从服从正态分布总体 143中的抽样，即2 N(,)ix。请构建统计量ix、x的置信区间。解答：由于 N(ix0,1)，N(0,1)xn 那么，根据总体均值和总体方差，估计观测值的置信区间为 2ix/2C /2C+，由观测值和总体方差，估计总体均值ix2的置信区间为/2C /2C iixx+，和方差n2，估计总体均值x的置信区间为 根据样本均值/2/2nnC Cxx+，由总体均值和方差n2，估计样本均值x的置信区间为/2/2C Cnn+，6 且可知：当时，1/2C1.9=0.95=；当/2C2=
5、时，10.954=；当时，/2C=310.9973=；当时，1/2=C40.9999=。二、服从二、服从2分布随机变量的区间估计 分布随机变量的区间估计 设设1x、2x、Lvx为为x的一个子样，且，那么 的一个子样，且，那么 N(0,1)ix21x+2222xx+=L 就是服从自由度为 就是服从自由度为v的的2分布的随机变量。分布的随机变量。因此，若2 N(,)x，2 N(,ix)，则有 22(1)，221(niixn=x)即个服从分布的独立随机变量的和，仍是变量，其自由度为。n22n若随机变量2 N(,)ix，子样方差估值为=n11=niixx122)(则有)1()(1=n)1(22222=
6、nxxnii 若根据平差结果得到 T2=ntPVV 144 则有 2T222()(ntnt)=PVV 顺便指出，服从分布的随机变量的方差为 2 倍自由度。2设随机变量是服从分布的随机变量，则出现在区间y2y1222,ppy的概率表示为()12221ppPy=(8.1.2)这里1为置信度，1222,pp为置信区间，12p和22p分别为上、下置信限。因此，如果已知一列观测结果1x、2x、L、nx和其总体均值，则的置信区间为 22122221111()()nniiiippxx=，如果已知样本方差，则总体方差的置信区间为 22212222(1)(1)ppnn，或者已知总体方差，求样本方差的置信区间 2
7、2122222 11ppnn，通常是将等分在置信区间的左右两侧。例如当05.0=时，取两侧为和。2025.02975.0三、服从三、服从t分布随机变量的区间估计 分布随机变量的区间估计 设有随机变量，并且和设有随机变量，并且和 N(0,1)y2(z)vyz在统计上独立。现组成统计量 在统计上独立。现组成统计量 ytz v=此统计量 此统计量t称为服从自由度为称为服从自由度为v的 分布的随机变量。的 分布的随机变量。t因此，若有 N(0,1)xyn=，222(1)(1nzn)=则组成的新统计量 1222(1)1(1)yxnxtnz vnn=就是服从自由度为的t分布随机变量。当总体方差未知，只知子
8、样方差时可应用上式。(1n)设随机变量t是服从 分布的随机变量，则 出现在区间tt/2/2t,tt 的概率表示为()/2/2tt1Py=(8.1.3)145这里1为置信度，/2/2t,t为置信区间，/2t和分别为上、下置信限。/2t 因此，如果已知样本均值x和样本方差，总体均值2的置信区间为/2/2t txxnn+，如果已知整体均值和样本方差，样本均值2x的置信区间为/2/2t tnn+，注意，当服从 分布的自由度很大时，分布接近或逼近于正态分布。tt四、服从分布随机变量的区间估计 四、服从分布随机变量的区间估计 F设有两个相互独立的服从分布的随机变量和设有两个相互独立的服从分布的随机变量和V
9、，它们的自由度分别为和。现组成一个新的统计量，它们的自由度分别为和。现组成一个新的统计量 2U1v2v12U vFV v=此统计量称为服从自由度的分布的随机变量。此统计量称为服从自由度的分布的随机变量。12(,)v vF设从总体211 N(,)x 和222 N(,)y 独立抽取两组子样 1x、2xL、1nx；1y、2yL、2ny 则知 1221111(niixn=)，2222212(niiyn=)以上两变量之比 1222122112222111()(,)()niinjjxnF n nyn=当总体均值1和2为未知时，知 2211121(1)(1nn)，2222222(1)(1nn)依分布定义有
10、F2221122212(1,1)F nn 以上是几个服从分布的随机变量。F设随机变量y是服从分布的随机变量，则Fy出现在区间12,ppyFF的概率表示为()121ppP FyF=(8.1.4)146 这里1为置信度，为置信区间，和分别为上、下置信限。12,ppFF1pF2pF 因此，如果已知样本方差和，总体方差之比21222122的置信区间为 1222222211 ppFF，当已知总体方差和，求子样方差之比21222221时，其置信区间为 1222112222 ppFF，另外，已知两个正态总体均值1和2，并从两总体抽样后确定方差比2122的置信区间为 221211222211112222111
11、1()()()()nniiiippnniiiiyynnFFnnxx=，以上介绍了平差中某些随机变量或其函数服从的概率分布情况，即正态分布、2分布、t分布和分布的随机变量，及其它们对应的区间估计，它们是参数假设检验的基础。F8.2 参数的假设检验 8.2 参数的假设检验 参数估计理论主要解决由子样值来确定总体分布参数问题。而统计假设检验则是依据子样来推断某些结论的可靠性及其成立的条件等，假设检验的步骤是：1）先做一个原假设或零假设，记为，以及备选假设；0H1H2）寻找一个分布为已知的统计量，以一定的置信度，确定该统计量应出现的区间；3）用子样值计算该统计量数值，如果此数值落入此置信区间内，则接受
12、原假设。如果此数值落于置信区间之外，则应拒绝或舍弃原假设，而接受备选假设。1H因此假设检验实际上就是要在原假设与备选假设之间作出选择。通常把置信区间称为接受域，而此区间之外称为拒绝域。拒绝域可分布在分布密度曲线的两侧或一侧，分别称为双尾检验法或单尾检验法。在假设检验中，所取的统计量不同，相应的概率分布也不同。下面介绍几种应用不同概率分布的假设检验。0H1H一、一、u检验法 检验法 设从服从正态分布的总体中抽得容量为的子样，得子样均值nx，设总体方差为已知，则可利用统计量 2 N(01)xun=，(8.2.1)对总体的数学期望进行检验。这种服从正态分布的统计量称为u变量，所进行的检验方法称u检
13、147验法。双尾检验的过程如下：原假设和备选假设：0H0=；：1H0；得接受域 02Cxun=2C (8.2.2)式中，2C为标准正态分布函数的双侧分位数，为双尾处概率之和。若u的数值在此区间之内接受原假设。反之，拒绝接受。0H0H1H对于左尾检验，有：0H0=；：1H0 对于右尾检验：0H0=；：1H0。依据=CnxP0；得到接受域0Cxun=式中，C为标准正态分布函数的上侧分位数，为右尾处概率。例题【8.2.1】：为监测 A、B 两点之间是否发生相对位移，定期复测两点之间的距离。上次精确测得的距离为 200.05m。为了检验点位是否移动，现重复观测 9 次，测得 A、B 两点之间的距离平均
14、值为 200.08m，每次测量的中误差为 0.03m，试根据测量结果检验 A、B 两点是否发生位移（取显著水平为 0.05）。解答：作原假设：0H200.05=，即点位无相对位移 由子样的平均值200.08x=，计算统计量 0200.08200.050.0330.030.019xun=再计算u的置信区间，若取置信度为 95，则有%95)96.196.1(=+uP 现在计算出，落在置信区间之外。因此，原假设不正确，认为点位发生了相对移动。3u=二、二、t检验法 检验法 t检验法是以t变量为统计量的检验方法。它主要用于检验总体均值和子样均值。由于 (1)xttnn=(8.2.3)这里为子样均方差。
15、则用t检验法的过程是：原假设：0H0=，及备选假设：1H0；按自由度（1n）及所选用的显著水平（例如为 5）由概率统计表可查得求得相应的值（pt2/1=p），从而得出接受域 ptttp +(8.2.4)计算统计量 148 nxt/=若t值落在接受域内，则接受原假设；否则拒绝原假设，接受0H0。例题【8.2.2】：在某基线边检验光速测距仪。已知基线边长为 5234.164m，用光速测距仪测量 9次，得平均值为 5234.168m，并由观测值算得子样均值的中误差为 0.009m。试检验此光速测距仪所量长度与原基线边长的差异是否显著。解答：设观测值服从正态分布，原假设：0H5234.164m=，首先
16、计算统计量 00.0041.3330.003xtn=依双尾检验取显著水平05.0=，按0.975(9 1)t可查得306.2=pt，故知接受域为 306.2306.2+，计算的t值在接受域内，故认为两者的差异在 5的显著水平下，是不显著的，接受原假设。t检验法与检验法比较可知，它不需要大子样，这在实际中是很方便的。类似地，t检验法也可以用来检验两正态总体均值是否相等。u三、检验法 三、检验法 2设从服从正态分布的总体中抽取一组子样，则可利用服从2分布的统计量对2和2进行各种假设检验。由于)1()1(222nn (8.2.5)则用检验法进行双尾检验的过程是：2设原假设：；备选假设：。因 0H20
17、2=1H202=1)1()1()1(22202221nnnP (8.2.6)其中)1(22n，)1(221n为上侧分位数。故接受域为)1()1()1(22202221nnn (8.2.7)当统计量落入以上置信区间内时接受原假设；反之拒绝原假设。左尾检验：；：，接受域为 0H202=1H202)1()1(21202nn (8.2.8)右尾检验：；：，接受域为 0H202=1H202 149)1()1(2202nn (8.2.9)当统计量落入置信区间内时接受原假设；否则拒绝原假设。例题【8.2.3】：设用某种类型的光学经纬仪观测角度，由过去大量统计得出此类仪器的测角中误差为1.。今用试制的同类型仪
18、器测了 9 个测回，得测角中误差为602.02。问新仪器的精度是否可以认为与原仪器的精度相同或不低于原仪器的精度。解：取，计算统计量 220(1.60)2.56=22(2.02)4.08=220(1)8 4.0812.752.56n=按查表，取显著水平为 0.05，自由度为 8，查得。由此可知统计量)1(2n5.15)8(2=2220(1)12.75(8)15.5n=21查取)1,12(1nFn的分位数的数值，从而确定接受域为（pFpF,）。3）计算统计量，若此统计量的数值落于拒绝域中，则拒绝原假设。否则接受原假设。F例题【8.2.4】：设用某台常用的光学经纬仪观测某角 9 测回，测角中误差为
19、1.。现用新试制的仪器测该角 9 测回，测角中误差为。问两个仪器的精度是可否认为相同（显著水平为 5）。802.50解答：这是在已知和的情况下，检验总体方差比。这里取中误差较大者为分子，即取212212.50=，则21.80=。设原假设：，备选假设：。计算统计量：0H2221=1H2221221222(2.50)1.93(1.80)=而按显著水平为0.05=及，1118vn=2218vn=，查表得 0.95(8 8)3.4F=,现在算得的统计量 1.93 小于此值，即在接受域内，故接受原假设，即没有足够的证据说明新仪器的 150 精度差。22检验法检等时，常常假设。而为了证明这个假设是否有8.
20、3 偶然误差特性的检验 8.3 偶然误差特性的检验 在大量的观测中，偶然真误差的特性应满足界限性、聚中性和对称性。如不满足，则表明观测值中一、误差正负号个数的检验 一、误差正负号个数的检验 设以21可用抽样的随机性来解释。在用验两正态母体的均值是否相t2221=根据，常先用F检验法检验此二方差是否相等。有某种系统误差甚至粗差的影响。因此，可以依概率统计理论对偶然误差作是否服从这些特性的检验。表示误差列中第 个误差的正负号，并约定当第 个误差为正时，取ii1=ii；为负时，取0=i。则由偶然误差的对称性知，i为 1 及为 0 的概率各为 1/2.。因而，统计n量 S+=L21 服从二项分布。其数
21、学期望及方差分别为 E()2nSnD()4nSnpq=p=，而标准化二项分布当足够大时，逼近标准正态分布。如n8=n时，两者就很接近了。而在做误差检验时，n一般很大，故可以认为 2N(01)12nSn，若取置信度为 95.45%，则有 220.954512nSPn=(8.3.1)或者 9545.02=nnSP (8.3.2)上式表明，将以 95.45的概率满足 SnnS2 (8.3.3)而不能满足上式的概率为 4.55，这是一个小概率事件。如果这个事件发生了，则否定原假设，S即不能认为正负误差出现的概率各占 1/2。151i实用中，常采用正误差个数与负误差个数的限差作为标准。为此，可将上式稍变
22、化一下。若设为这样的随机变量：当误差为负时，取1，为正时，取0=。则有 Snn+=+S=L 21也有=SnS (8.3.4)将此式代入（8.3.3）式有 nSn2 (8.3.5)由（8.3.3）和（8.3.5）相加可得 nSS2 (8.3.6)式中和分别代表正误差的个数和负误差的个数。二、正负误差分配顺序的检验 二、正负误差分配顺序的检验 如果在一系列观测误差中，其前半部分符号均为正，后半部分均为负。此时虽然（8.3.6）式能得到SS满足，但仍表明此观测有系统影响，因为偶然误差的正负号分配顺序应是随机的。将误差按约定的次序排列，以u表示第i个误差和第1+i个误差的符号交替。约定当i相邻两误差符
23、号相同时，取1=u，相邻两误差符号相反时，取0=u则组成统计量：，121+=nuuuuSL 此仍是服从二项分布的随机变量。其数学期望和方差为 uS1E()(1)Sn=，1D()(1)4uSn=2u类似于（8.3.6）式的推导，可得出检验标准 12nW (8.3.7)式中，表示误差列中同号交替次数与异号交替次数之差三、误差数值和的检验 三、误差数值和的检验 由偶然误差的对称性，应有。作原假设：误差的均值为零。由于。若W不能满足（8.3.7）式，则否定S服Wu从二项分布的假设，即误差列中可能存在着与观测次序有关的系统影响。E()0=0H22 N(0,)i，N 0nn，则按检验法，有 u 0 N(0
24、1)nunn=，152 取置信度为 95.45%，则有 n2 (8.3.8)式中 为母体均方差，当较大时，可用子样均方差n来代，即 2 n (8.3.9)若不满足上式，则否定原假设，即不能认为偶然误差之四、正负误差平方和之差的检验 四、正负误差平方和之差的检验 正误差的平之差在理论上亦应为零。而在有限的观测抽样中，其数值常不恰为零，下面来确定其不为零的限值。为此，将误差列中的各正误差与负 和接近于零。在此处应该注意到，若n较小，则应该用t检验法。由偶然误差对称性知，方和与负误差的平方和误差各自平方，并在前面加上原来的符号，组成代数和22222211=+=kkkkSnnL 2k若误差列服从正态分
25、布，则ik为如下随机变量 1E()1(1)k1022i=+=当很大时，逼近正态分布，其数学期望与方差为 2=Sn2k()2221122EE()E()E()E()E()E()0nnkSkkk=+L()()21DDkiSk=2nii=而()()()()()2222222DE()E()E EEiiiiiiiiiikkkkk=4其中()22211E(1)(1)122ik+=，()()4444EE03ii=则有 3()()22221DDknSikiSk4in=，232nkS=故有()222N 0(3)kSn，将其标准化后有)10(322，NnSk 取 95.45的置信度，则有%45.953222=nSP
26、k 153故得置信区间为 22 2 3kn (8.3.10)用子样方差来代，即用中误差平方代总体方差，则有 2实际计算中，当n很大时，22 2 3kn (8.3.11)分布，则应以 95.45的概率满足以上两式。若不满足，这是小概率事件，应否定原假设。五、个别误差值的检验 五、个别误差值的检验 若观 若2kS服从正态测误差列服从正态分布，即2N(0)i，标准化后显然有 0N(01)i，取置信度为 95.45则有%45.952=iP 在此置信度下的置信区间为 22i，或者 2i (8.3.12)2此式表明，误差绝对值大于的概率仅为 4.55，是小概率事件。实际计算时，当观测次数很大时可用中误差代
27、替均方差。例题【8.3.1】：设在某三角锁中得出 30 个三角形闭合差，如下（单位为角秒）：-2.14 +1.42 -0.47 -0.69 +0.58 +1.13 +1.72 -0.30 +0.76 -1.02+0.16 -0.27 -2.01 +2.87 -0.03 -.14 +0.0然误差特性的检验。1.23 +128 -1.60 +1.30+0.18 -0.06 -05 +0.77 +0.14 +0.52 -0.12 +0.18 +1.70 -0.31 用上述检验方法对此误差列进行偶解答：依三角形闭合差算出W WW1.22Wn=依前述公式差 16 个；负误差 14 个；差数 2 个 则，
28、而 进行检验，并均取置信度为 95.45%。1、正负误差个数的检验 正误 2=SS22 3011n=这一项检验满足（8.3.6）式。2、正负误差分布的检验 两相邻误差同差数 6 个。即，由（8.3.7号者有 12 个，相邻误差异号者有 18 个，相212 291n=6W=1，故（8.3.7）式得到满足。）式，154 3、误差数值和的检验.9）式知 可算得 3.96w=，由（8.322 30(1.22)13.36n=此项检验得到满4、误方和为 19.38；负误差平方和为 12.45；差值为 6.93。由（式，足。差平方和的检验 正误差平8.3.11）222 32 90(1.22)28.24(2n
29、)=，故（8.3.11）得到满足。由于二倍中误此差值 6.93 小于 28.245、最大误差值的检验 差22 1.222.44W=，闭合差中有一个为：+2.87，此数值应予舍弃。8.4 误差分布的假设检验 8.4 误差分布的假设检验 态分布。因此，在进行布是否与理论分布相一致。或者说，检验误差列的实际分布与理论分布的差异是否属于随机性。在检验误差是否服从正态分布的方法中，常用的有直方图法，以及偏度和峰度的检验法。一、直方图法 一、直方图法 大量偶然误差应服从正一定次数的观测之后，可检验误差列的实际分计算出子样均值x和子样方差2。当子样容量n很大时，可以用x、2分别代替母体的特征参数和2。由此，
30、可绘出此正态分布的理论曲线，并可计算出各小区间的理论频数。然后，根据实际观测资料，计算各小区间的实际频数（或叫经验频数），比较各小区间的理论频数与实际频数的差异，则可以检验出观测值是否服从正态分布。现在，来讨论理论频数与经验频数的计算。已知正态分布的密度曲线为 2211()()expxf x22=(8.4.1)当以子样均值x和子样方差来代替母体均值2及母体方差时，则上式变为 2221()exf x1()p22xx=(8.4.2)此密度曲线的两个参数x及为已知。这样，就可以求出各小区间为，各小区间的中间值为，观测值总数为，则各小区间的理论频数2it的理论频数。设各小区间的间隔dnin为+111d
31、ti+=)2()2(d)(221dtFdtFnxxfnnpniidtiii (8.4.3)或标准化后变为 155+=22xdtFxdtFnnii i (8.4.4)式中的数值可由表查出。这样，就求出了各小区间的理论频数Fiinpn=。而经验频数则是根据实际观测资料，统计出位于各小区间内观测量的个数。有了各小区间的理论频数和经验频数，即可求出其相应的差值。由（8.4.3）式知，子样值落在小区间 22iiddtt+，内的频数in是一个服从二项分布的变量。为此作如下原假设：0H：观测值（子样值）为服从正态分布2N(,)x的抽样。如果原假设0H是正确的，则子样落在个小区间的概率 第i22()d22id
32、t+idiiitddpf xxF tF t=+(8.4.5)故该二项分布可记为。此二项变量的均值和方差为),(ipnbinE()iinnp=，D()(1)iinnppi=(8.4.6)当n),(逼近于()N(1)，这样，按 95 5置信度的置信区间为 很大时，.4 ipnbiiinpnpp，0.2)1(0.2+iiiipnpnpn 或)pn (8.4.7)1(0.2)1(0.2iiiiiinpnppnp+因为较小，可近似地取ip11ip，则上式变为 iiiinpnpnnp0.20.2+XX 这里为给定的值。当已知时，采用检验，步骤为：1）以0X2020E()=XX代入（8.5.7）式计算出的值
33、；22）根据显著水平查表或计算；3）若，接受原假设，否则拒绝。当)(2t22()t0H0H20未知时，采用F检验，步骤为：1591以0E()=）XX代入（8.5.9）式计算出的值；F2）根据显著水平查表或计算),(rtF；果置信椭球面上或椭球之内，就会接受原假设；如果在置信外，就会拒据探测法 据探测法 生粗差。如果不及时处理粗差，将使平差结果受到严重的歪曲。荷兰巴尔达教授在上世纪 60 年代提出了测量可靠性理论和数据探测的法，奠定了粗差理论研究的发展基础。数据探测法的基本思想是假设一个平差系统中只存在一个粗差，用统计假设检验探测粗差，从而剔除被探测到的粗差。下面以间接平差为例说明粗差探测的原理
34、。一、观测值误差和改正数之间的关系 一、观测值误差和改正数之间的关系 ，；3）若)，接受原假设0H，否则拒绝0H。,(rtFF从上面的检验步骤可以看出，如0在X椭球之绝原假设。8.6 粗差检验的数8.6 粗差检验的数在许多情况下，只要采取适当的措施，粗差是可以避免的。但在现代化的测量数据采集、传输和自动化处理的过程中，由于种种原因可能产间接平差的函数模型和随机模型分别是=+BVxl0=+BlXdL22100=LLDQPTbb 1T=bbN B P 法矩阵为B，其解为：=NB Pxl，0=+XXx；=+BVxl，=+LL V 主要的协因素阵有，1=QN，=Q bbXX1TVVbbQBN B=VV
35、LLQQQ 单位权方差的估值是 T20nt=PVV 现在对改正数的表达式进行改化()1TT=+=bbBBN B PIBNVxlll 1=+bbB P ll这里令。下面讨论一下阶方阵的性质：()1T=bbVVQBN BPQPRll VVR=QPnR()()21T=VVVVbbbbR=QPQPQBN BP QBN BP 1T()()1T1T=bbbbIBN B PIBN B P 1T1T1T1T=+bbbbbbbbIBN B PBN B PBN B PBN B P()1T1T=bbbbVVIBN B PQBN BPQPR 160 可见为幂等阵。对于幂等阵则有其秩等于其迹，即 R()()1Ttntr
36、rk()trrn n=bbQB P VVR=P=IBN可见方阵表示为，则有度），其秩等于自由度R111212122212nnnnnnrrrrrrrrr=RLLLLLLL=niiirr1 说明方阵R的对角线元素之和等于多余观测次数（自由nr，所以方阵是降秩阵，其逆不存在。若第 个观测值存在粗差Rii，则平差模型的改正数变为：()iie=+RVl 这里表示的是一个列向量，且第 行的值为 1，其余的为零。则 iei111112122122212nnnnnnnnlvrrrvrrrvrrrliil=+LMLMLMLLLLV 那么在第 个观测值存在粗差ii时，改正数的变化是 111112122212221
37、200nninnnnnnrvvrrrvvrrrvvrr=MLMLLLLMLVVV L或者：iiiiivvr=，ijjjivvr=这样表明第i个观测值存在粗差i时，不仅对第i个观测值的改正数产生影响，也会对其它观测值的改正数产生影响。二、数据探测法 二、数据探测法 根据方阵的定义，也知有如下关系成立 Q12R 0()()()iiiiii=VVLLQQQ 0()()iiiiiir=VVQPQP 假设Q是对角阵，则由方阵R计算改正数的方差为 22200()()ivii=VVVVQQPiiQ2200()()()iiiiiiiiir=RQRQ 现在假设只有一个粗差，且单位权方差已知，是对角阵。这时可求出
38、标准化残差，即 20Q 161 N(0,1)162 iivvw=iviiiir 由此可构建统计量 A11h2hh4h5h3iivuw=iiir=做检验。对于Pu0.05=，如果则认为E(1.961.96w ，ii)0v=，即第iB个观测值不存在粗差；反之，则认为iLE()iv0，即第值存在粗差。图（8-6-1）所示的水准网，A、B 是已知点，i个观测iL 图（8-6-1）AH=m例题【8.6.1】：如13.000m、10.000AH=03mm，、为待定点，各点间的距离均为每公里观测高差的1P2P3km，中误差是=，观测高差为，121.495mh=1.500h=31.495mh=，4hm，1.5
39、05m=，50.030mh=001.0=若，试用数据探测法判断哪些观测值中含有粗差。解：设，则误差方程是 由此可有 1505.11xmX+=22495.11xmX+=11105mm010 x=V，P=I 21000101120 x53112511215328524=53VVQ，112511215328524=VVRQP 03 35.2mmiiS=，（5,2,1L=i），（4,2,1L=i5.2 5 84.10mmiviiir=）55555.2 4 83.68mmvr=813mm9921=V，1.953.172.192.195.71iviivw=当，有00(3.293.29)199.9iPw001.0=，所以含有粗差，此观测值应当剔除。5h