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1、 1第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 习题习题 1.1 1 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个 解：（1）=(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,1)，其中出现正面记为 1，出现反面记为 0；（2）=(x1,x2,x3)：x1,x2,x3=1,2,3,4,5,6；（3
2、）=(1)，(0,1)，(0,0,1)，(0,0,0,1)，(0,0,0,1)，其中出现正面记为 1，出现反面记为 0；（4）=BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW，其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R；（5）=BW，BR，WB，WR，RB，RW，其中黑球记为 B，白球记为 W，红球记为 R 2 先抛一枚硬币，若出现正面（记为 Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为 F），则再抛一枚硬币，试验停止那么该试验的样本空间是什么？解：=Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF 3 设 A,B,C 为三事件，试表示下列事件：（1）A,B,C 都发生或都不发生；（
3、2）A,B,C 中不多于一个发生；（3）A,B,C 中不多于两个发生；（4）A,B,C 中至少有两个发生 解：（1）CBAABC U；（2）CBACBACBACBAUUU；（3）ABC或CBACBACBACBABCACBACABUUUUUU；（4）ABCBCACBACABUUU 4 指出下列事件等式成立的条件：（1）AB=A；（2）AB=A 解：（1）当 A B 时，AB=A；（2）当 A B 时，AB=A 5 设 X 为随机变量，其样本空间为=0 X 2，记事件 A=0.5 X 1，B=0.25 X 1.5，写出下列各事件：（1）BA；（2）BA U；2（3）AB；（4）BAU 解：（1）5
4、.115.025.0=XXBAU；（2）=20XBA U；（3）AXXAB=215.00U；（4）BXXBA=2”，C=“X=0”，D=“X=4”解：A=(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，B=(1,1,1)，C=(0,0,0)，D=7 试问下列命题是否成立？（1）A (B C)=(A B)C；（2）若 AB=且 C A，则 BC=；（3）(AB)B=A；（4）(A B)B=A 解：（1）不成立，CBAACBAACBACBACBACBACBAUUUU)()()()(=；（2）成立，因 C A，有 BC AB=，故 BC=；（3）不成立，因ABABABBBABBABBA=UUU)()
5、(；（4）不成立，因ABABBBABBABBA=UUUUU)()(8 若事件 ABC=，是否一定有 AB=？解：不能得出此结论，如当 C=时，无论 AB 为任何事件，都有 ABC=9 请叙述下列事件的对立事件：（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B=“射击三次，皆命中目标”；（3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品”解：（1）=A“掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B“射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C“加工四个零件，皆为不合格品”10证明下列事件的运算公式：（1）BAABAU=；（2）BAABAUU=AB(A B)CCA (B C)C A B 3证：（1）AABBAB
6、AAB=)(UU；（2）BABABAAABAAUUUUU=)()(11设 F 为一事件域，若 An F，n=1,2,，试证：（1）F；（2）有限并=UniiA1F，n 1；（3）有限交=IniiA1F，n 1；（4）可列交+=I1iiAF；（5）差运算 A1 A 2 F 证：（1）由事件域定义条件 1，知 F，再由定义条件 2，可得=F；（2）在定义条件 3 中，取 An+1=An+2=，可得=UU11iiniiAAF；（3）由定义条件 2，知nAAA,21LF，根据（2）小题结论，可得=UniiA1F，再由定义条件 2，知=UniiA1F，即=IniiA1F；（4）由定义条件 2，知LL,2
7、1nAAAF，根据定义条件 3，可得=U1iiAF，再由定义条件 2，知=U1iiAF，即=I1iiAF；（5）由定义条件 2，知2AF，根据（3）小题结论，可得21AAF，即 A1 A 2 F 4习题习题 1.2 1 对于组合数rn，证明：（1）=rnnrn；（2）+=rnrnrn111；（3）nnnnn210=+L；（4）12221=+nnnnnnnL；（5）+=+nbabnanbanba0110L，n=mina,b；（6）=+nnnnnn210222L 证：（1）=rnrrnnrnnrnnrnn!)!(!)!()!(!；（2）=+=+=+rnrnrnrnrrnrnrnrnrnrnrnrn
8、)!(!)()!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nnnnynnyxnxnyx+=+L110)(，令 x=y=1，得 nnnnn210=+L；（4）当 1 r n 时，=11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!rnnrnrnnrnrnrnrnrrnr，故12111101221=+=+nnnnnnnnnnnnnnLL；（5）因aaxaaxaax+=+L10)1(，bbxbbxbbx+=+L10)1(，两式相乘，其中 x n的系数为+0110bnanbanbaL，5另一方面bababaxabaxbabaxxx+=+=+L10)1()1()1
9、(，其中 x n的系数为+nba，即+=+nbabnanbanba0110L；（6）在（5）小题结论中，取 a=b=n，有=+nnnnnnnnnnn20110L，再由（1）小题结论，知=rnnrn，即=+nnnnnn210222L 2 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率 解：样本点总数 n=23=8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为 1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为 k=8 1=7，故所求概率为87)(=AP 3 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数 n=22=4，事件“两个都是
10、偶数”所含样本点个数为 1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为 1，即事件 A=“它们的和为偶数”所含样本点个数 k=2，故所求概率为2142)(=AP 4 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为 6；（2）点数之和不超过 6；（3）至少有一个 6 点 解：样本点总数 n=62=36（1）事件 A1=“点数之和为 6”的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，即个数 k1=5，故所求概率为365)(1=AP；（2）事件 A2=“点数之和不超过 6”的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(
11、2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)，即个数 k2=15，故所求概率为1253615)(2=AP；（3）事件 A3=“至少有一个 6 点”的样本点有(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)，即个数 k3=11，故所求概率为3611)(3=AP 5 考虑一元二次方程 x 2+Bx+C=0，其中 B,C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q 解：样本点总数 n=62=36，事件 A1=“该方程有实根”，即 B 2 4
12、C 0，样本点有 6(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，即个数 k1=19，故36191=nkp 事件 A2=“该方程有重根”，即 B 2 4C=0，样本点有(2,1)，(4,4)，即个数 k2=2，故1813622=nkq 6 从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色 解：样本点总数270725123449505152452
13、=n，（1）事件 A1=“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=k，故所求概率为0026.0270725715)(1=AP；（2）事件 A2=“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=k，故所求概率为0106.02707252860)(2=AP；（3）事件 A3=“没有两张同一花色”所含样本点个数 k3=13 13 13 13=28561，故所求概率为1055.027072528561)(3=AP；（4）事件 A4=“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=k，故所求概率为1104.027072529900)(4=
14、AP 7 设 9 件产品中有 2 件不合格品从中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=n，事件 A1=“全是合格品”所含样本点个数211267271=k，故所求概率为1273621)(1=AP；事件 A2=“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=k，故所求概率为1873614)(2=AP；7事件 A3=“没有合格品”所含样本点个数1223=k，故所求概率为361)(3=AP 8 口袋中有 7 个白球、3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：样本点总数4512910210=n，
15、事件 A=“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=+=+=k，故所求概率为1584524)(=AP 9 甲口袋有 5 个白球、3 个黑球，乙口袋有 4 个白球、6 个黑球从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率 解：样本点总数 n=8 10=80，事件 A=“两个球颜色相同”所含样本点个数 k=5 4+3 6=38，故所求概率为40198038)(=AP 10从 n 个数 1,2,n 中任取 2 个，问其中一个小于 k（1 k n），另一个大于 k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212=nnnN，事件 A=“其中一个小于 k，另一个大于 k”所含样本点个数
16、 K=(k 1)(n k)，故所求概率为)1()(1(2)(=nnknkAP 11口袋中有 10 个球，分别标有号码 1 到 10，现从中不返回地任取 4 个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为 5 的概率；（2）最大号码为 5 的概率 解：样本点总数210123478910410=n，（1）事件 A1=“最小号码为 5”所含样本点个数10123345351=k，故所求概率为21121010)(1=AP；（2）事件 A2=“最大号码为 5”所含样本点个数4123234342=k，故所求概率为10522104)(2=AP 12掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于 5；
17、（2）所得的最大点数等于 5 解：样本点总数 n=63=216，8（1）事件 A1=“所得的最大点数小于等于 5”所含样本点个数 k1=53=125，故所求概率为216125)(1=AP；（2）事件 A2=“所得的最大点数等于 5”所含样本点个数 k2=53 43=61，故所求概率为21661)(2=AP 13把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率 解：样本点总数 n=10!，事件 A=“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数 k=4!7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=AP 14n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率 解：样本
18、点总数 N=(n 1)!，事件 A=“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数 k=2!(n 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(=nnnAP 15同时掷 5 枚骰子，试证明：（1）P每枚都不一样=0.0926；（2）P一对=0.4630；（3）P两对=0.2315；（4）P三枚一样=0.1543（此题有误）；（5）P四枚一样=0.0193；（6）P五枚一样=0.0008 解：样本点总数 n=65=7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=Ak，故 P每枚都不一样0926.07776720=；（2）事件“一对”所含样本点个数36003451245635251
19、62=ACAk，故 P一对4630.077763600=；（3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=ACCCk，故 P两对2315.077761800=；（4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=CAk，故 P三枚一样1929.077761500=；事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=ACAk，故 P三枚一样且另两枚不一样1543.077761200=；（5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=ACAk，9故 P四枚一样0193.
20、07776150=；（6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=ACAk，故 P五枚一样0008.077766=16一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率 解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数 n=5 3=15，事件 A=“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数 k=4 2=8，故所求概率为158)(=AP 17把 n 个“0”与 n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率 解：样本点总数!)!2(2nnnnnN=，事件 A=“没有两个1连在一起
21、”所含样本点个数11+=+=nnnk，故所求概率为)!2()!1(!)(nnnAP+=18设 10 件产品中有 2 件不合格品，从中任取 4 件，设其中不合格品数为 X，求 X 的概率分布 解：样本点总数210123478910410=n，事件 X=0 所含样本点个数7011234567802480=k，故所求概率为31210700=XP；事件 X=1 所含样本点个数112212367812381=k，故所求概率为1582101121=XP；事件 X=2 所含样本点个数281127822282=k，故所求概率为152210282=XP 19n 个男孩，m 个女孩（m n+1）随机地排成一排，试
22、求任意两个女孩都不相邻的概率 解：样本点总数!)!(mnmnnmnN+=+=，10事件 A=“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1mnmnmnk+=+=，故所求概率为)2()1)()2()1()!1()!()!1(!)(+=+=nmnmnmnnnmnmnnnAPLL 20将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数 X 的概率分布 解：样本点总数 n=43=64，事件 X=1 所含样本点个数24234341=Ak，故所求概率为8364241=XP；事件 X=2 所含样本点个数363341323142=ACAk，故所求概率为16964362=XP；事件 X=3
23、所含样本点个数4143=Ak，故所求概率为1616443=XP 21将 12 只球随意地放入 3 个盒子中，试求第一个盒子中有 3 只球的概率 解：样本点总数 n=312=531441，事件 A=“第一个盒子中有 3 只球”所含样本点个数11264051212310111223129=k，故所求概率为2120.0531441112640)(=AP 22将 n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入 N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有 k 个球的概率；（2）恰好有 m 个空盒的概率；（3）某指定的 m 个盒子中恰好有 j 个球的概率 解：样本点总数为 N 取 n 次的重复
24、组合，即)!1(!)!1(1+=+=NnnNnnNM，（1）事件 A1=“某个指定的盒子中恰好有 k 个球”所含样本点个数为 N 1 取 n k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11+=+=+=NknknNknknNknknNK，故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1+=+=knNnNnNNknnnNknnNNnknNAPLL；（2）事件 A2=“恰好有 m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先 N 选 m 次的组合，选出 m 个空盒，而其余 N m 个盒中每一个都分别至少有一个球，其次剩下的 n (N m)个球任意放入
25、这 N m 个盒中，即 N m 取 n (N m)次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12+=mNNmnmNmnNmNnnmNK，11故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2+=nNmNNmnmNmNnnNAP；（3）事件 A3=“某指定的 m 个盒子中恰好有 j 个球”所含样本点个数为 m 取 j 次的重复组合乘以 N m 取 n j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13+=+=mNjnmjjmnNjmjnjnmNjjmK，故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3+=nNmNjn
26、mjNnjmnNjmAP 23在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 7/5”的概率 解：设这两个数分别为 x 和 y，有=(x,y)|0 x 1,0 y 1，得 m()=1，事件 A=“两数之和小于 7/5”，有 A=(x,y)|0 x+y 7/5，得504153211)(2=Am，故所求概率为5041)()()(=mAmAP 24甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为 x 和 y 小时，有=(
27、x,y)|0 x 24,0 y 24，得 m()=242=576，事件 A=“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，若甲先到，有 x+1 y 24；若乙先到，有 y+2 x 24；即 A=(x,y)|0 x 24,0 y 24,x+1 y 24 或 y+2 x 24，得2101322212321)(22=+=Am，故所求概率为11521013)()()(=mAmAP 25在平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为 a,b,c（均小于 d）的三角形，求三角形与平行线相交的概率 解：不妨设 a b c，三角形的三个顶点分别为 A,B,C，其对边分别为 a,b,c，相应三个角也记
28、为 A,B,C，设 O 为 BC 的中点，点 O 与最近的一条平行线的距离为 x，从点 O 向三角形外作与平行线平行的射线 OD，若 B,C 中点 C 更靠近某条平行线，则记=COD，否则记=BOD，有,20|),(=dxx，得 m()=d，事件 E=“三角形与平行线相交”，当 0 时，如果 C ，事件 E 就是 OC 与平行线相交；如果 0 C，事件 E 就是 OC 或 AC 与平行线相交；当 0 时，如果 B，事件 E 就是 OB 与平行线相交；如果B 0，事件 E 就是 OB 或 AB 与平行线相交 xy 0 11 7/5A xy 0 2424 1 2 A a bc CA B d Ox
29、Dabc CAB d Ox D 12记sin2,|),(1axCxE=，)sin(sin2,0|),(2+=CbaxCxE，sin2,|),(3axBxE=，)sin(sin2,0|),(4+=BcaxBxE，有 E=E1E2E3E4，得+=0)sin(sin2sin2)(BBdBcadaEm+0sin2)sin(sin2CCdadCba+=0000sin2)sin()sin(sin2dadCbdBcdaCB 0000cos2)cos()cos(cos2aCbBcaCB+=22coscos22aaCbbcBcaa+=cbaaacbaabcbabacbcaccba+=+=+=2222222222
30、222，故所求概率为dcbamEmEP)()()(+=方法二：设事件 A,B,C 分别表示“边长为 a,b,c 三条边与平行线相交”，事件 E 表示“三角形与平行线相交”，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即 E=ABACBC，则由三个事件的加法公式得 P(E)=P(AB)+P(AC)+P(BC)2 P(ABC)，因 ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有 P(ABC)=0，则 P(E)=P(AB)+P(AC)+P(BC)，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，有 A=ABAC，B=ABBC，C=ACBC，则 P(A)=P(AB)+P(AC)P(
31、ABC)=P(AB)+P(AC)，P(B)=P(AC)+P(BC)，P(C)=P(AC)+P(BC)，可得 P(A)+P(B)+P(C)=P(AB)+P(AC)+P(AC)+P(BC)+P(AC)+P(BC)=2P(AB)+P(AC)+P(BC)，根据蒲丰投针问题知daAP2)(=，dbBP2)(=，dcCP2)(=，故dcbaCPBPAPBCPACPABPEP)()()(21)()()()(+=+=+=26在半径为 R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于 R 的概率 xy 0
32、1d/2 A A 13解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为 x，有=x|0 x RxR，2243Rx，即230|RxxA=，得RAm23)(=，故所求概率为23)()()(=mAmAP 27设一个质点落在 xOy 平面上由 x 轴、y 轴及直线 x+y=1 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足 y 2x的概率是多少？解：=(x,y)|0 x 1,0 y 1,0 x+y 1，得21)(=m，事件 A=“满足 y 2x”，有 A=(x,y)|0 y 0，有任意两数 x,y，且 0 x a，0 y a，试求
33、 xy a 2/4 的概率 解：=(x,y)|0 x a,0 y a，得 m()=a 2，事件 A=“xy a 2/4”，有 A=(x,y)|0 x a,0 y a,xy 0，P(B)0 时，只要 A 和 B 不相容，就有 P(AB)=0；（6）正确，P(A B)=P(A)P(AB)=P(A)3 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率 解：设 A,B,C 分别表示“取到一、二、三级品”，有 P(A)+P(B)+P(C)=1，P(A)=3P(B)，)(21)(BPCP=，则1)(29)(21)()(3=+BPBPB
34、PBP，即92)(=BP，故取到二级品的概率92)(=BP 4 从 0,1,2,9 等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A1=三个数字中不含 0 和 5；（2）A2=三个数字中不含 0 或 5；（3）A3=三个数字中含 0 但不含 5 解：样本点总数1201238910310=n，（1）事件 A1所含样本点个数56123678381=k，故15712056)(1=AP；（2）事件=2A“三个数字中含 0 和 5”所含样本点个数8182=Ak，故1514120112)(1)(22=APAP；（3）事件 A3所含样本点个数281278283=k，故30712028)(3=
35、AP 155 某城市中共发行 3 种报纸 A,B,C 在这城市的居民中有 45%订阅 A 报、35%订阅 B 报、25%订阅 C 报，10%同时订阅 A 报 B 报、8%同时订阅 A 报 C 报、5%同时订阅 B 报 C 报、3%同时订阅 A,B,C 报求以下事件的概率：（1）只订阅 A 报；（2）只订阅一种报纸的；（3）至少订阅一种报纸的；（4）不订阅任何一种报纸的 解：设 A,B,C 分别表示“订阅报纸 A,B,C”，则 P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.30，P(AB)=0.10，P(AC)=0.08，P(BC)=0.05，P(ABC)=0.03，（1）)()()()
36、()()()()(ABCPACPABPAPACABPAPCBAPCBAP+=UU=0.45 0.10 0.08+0.03=0.30；（2）)()()()(CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP+=UU，因)()()()()()()()(ABCPBCPABPBPBCABPBPCABPCBAP+=UU=0.35 0.10 0.05+0.03=0.23，)()()()()()()()(ABCPBCPACPCPBCACPCPBACPCBAP+=UU=0.30 0.08 0.05+0.03=0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=+=+=CBAPCBAPCBAPCBACBAC
37、BAPUU；（3）P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=0.45+0.35+0.30 0.10 0.08 0.05+0.03=0.90；（4）10.090.01)(1)(=CBAPCBAPUU 6 某工厂一个班组共有男工 9 人、女工 5 人，现要选出 3 个代表，问选的 3 个代表中至少有 1 个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=n，事件=A“选的 3 个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=Ak，故所求概率为1310364280364841)(1)(=APAP 7 一赌徒认为掷一颗骰子 4 次至少
38、出现一次 6 点与掷两颗骰子 24 次至少出现一次双 6 点的机会是相等的，你认为如何？解：“掷一颗骰子 4 次”的样本点总数 n1=64=1296，事件=1A“没有出现 6 点”所含样本点个数为625541=Ak，则5177.0129667112966251)(1)(11=APAP；“掷两颗骰子 24 次”的样本点总数 n2=(62)24=36 24，事件=2A“没有出现双 6 点”所含样本点个数为2424235)16(2=Ak，16则4914.036353636351)(1)(242424242422=APAP；故掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点的机会比掷两颗骰子 24 次至少出现一
39、次双 6 点的机会更大 8 从数字 1,2,9 中可重复地任取 n 次，求 n 次所取数字的乘积能被 10 整除的概率 解：样本点总数 N=9 n，因事件 A=“n 次所取数字的乘积能被 10 整除”就是“至少取到一次数字 5 并且至少取到一次偶数”，则事件=A“没有取到数字 5 或没有取到偶数”，设事件 B=“没有取到数字 5”，C=“没有取到偶数”，则事件 B 所含样本点个数为 KB=8 n，事件 C 所含样本点个数为 KC=5 n，且事件 BC=“没有取到数字 5 和偶数”所含样本点个数为 KBC=4 n，故nnnnnnnnnnnBCPCPBPCBPAPAP945899495981)()
40、()(1)(1)(1)(+=+=+=U 9 口袋中有 n 1 个黑球和 1 个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球问第 k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：样本点总数 N=n k，事件=A“第 k 次摸球时摸到白球”，此时前 n 1 次摸球时都必须是摸到黑球，则A中所含样本点个数1)1(=kAnK，故所求概率为kknnAPAP1)1(1)(1)(=10若 P(A)=1，证明：对任一事件 B，有 P(AB)=P(B)证：因 P(A)=1，且ABA，有0)(1)()(=APAPBAP，则0)()()()(=ABPBPABPBAP，故 P(AB)=P(B)11掷 2n+1 次硬币，求
41、出现的正面数多于反面数的概率 解：设 A=“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A“出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数”的可能性相同，可得)()(APAP=，又1)()(=+APAP，故 P(A)=0.5 12有三个人，每个人都以同样的概率 1/5 被分配到 5 个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）三个人分配到不同房间的概率 解：样本点总数 n=53=125，（1）事件 A1=“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为 k1
42、=5，故所求概率为2511255)(1=AP；（2）事件 A2=“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=Ak，故所求概率为251212560)(2=AP 13一间宿舍住有 5 位同学，求他们之中至少有 2 个人生日在同一个月份的概率 17解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数 n=125，事件=A“每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512AkA=，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512=AAPAP 14某班 n 个战士各有 1 支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了 1 支枪，求至少有
43、1 人拿到自己的枪的概率 解：设 Ai=“第 i 个战士拿到自己的枪”，ni,2,1L=，有=iniA1U“至少有 1 人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111nnnkjikjinjijiniiiniAAAPAAAPAAPAPAPLLU+=，且nnnAPi1!)!1()(=，)1(1!)!2()(=nnnnAAPji，)2)(1(1)(=nnnAAAPkji，故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321nnCnnnCnnCnnAPnnnnnnini=+=+=LLU 15设 A,B 是两事件，且 P(A)=0.6，P(B)=0.8，问：（1）在什么
44、条件下 P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：（1）因 P(AB)minP(A),P(B)=P(A)=0.6，故当 P(AB)=P(A)时，P(AB)取到最大值 0.6；（2）因 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)1=0.4，故当 P(AB)=1 时，P(AB)取到最小值 0.4 注：若 A B，有 AB=A，可得 P(AB)=P(A)，但不能反过来，由 P(AB)=P(A)，得出 A B；若 AB=，可得 P(AB)=1，但不能反过来，由 P(AB)=1，得出 AB=16已知事件 A,B 满足)()(BAPAB
45、PI=，记 P(A)=p，试求 P(B)解：因)()()(1)(1)()()(ABPBPAPBAPBAPBAPABP+=UUI，有 1 P(A)P(B)=0，故 P(B)=1 P(A)=1 p 17已知 P(A)=0.7，P(A B)=0.4，试求)(ABP 解：因 P(A B)=P(A)P(AB)，有 P(AB)=P(A)P(A B)=0.7 0.4=0.3，故7.0)(1)(=ABPABP 18设 P(A)=0.6，P(B)=0.4，试证)()(BAPABPI=证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(ABPABPABPBPAPBAPBAPBAP=+=+=UUI 19对任意的事
46、件 A,B,C，证明：（1）P(AB)+P(AC)P(BC)P(A)；（2）P(AB)+P(AC)+P(BC)P(A)+P(B)+P(C)1 证：（1）因 P(ABAC)=P(AB)+P(AC)P(ABC)，且(ABAC)A，ABC BC，有 P(ABAC)P(A)，P(ABC)P(BC)，故 P(AB)+P(AC)P(BC)=P(ABAC)+P(ABC)P(BC)P(ABAC)P(A)（2）因 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)，18故 P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)+P(B)+P(C)+P(ABC)P(ABC)P(A)+P(
47、B)+P(C)+P(ABC)1 P(A)+P(B)+P(C)1 20设 A,B,C 为三个事件，且 P(A)=a，P(B)=2a，P(C)=3a，P(AB)=P(AC)=P(BC)=b，证明：a 1/4，b 1/4 证：因 P(BC)=P(B)+P(C)P(BC)=5a b，且 a=P(A)P(AB)=b，则 P(BC)=5a b 4a，即 4a 1，故 a 1/4 且 b a 1/4 21设事件 A,B,C 的概率都是 1/2，且)()(CBAPABCPII=，证明：2 P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)1/2 证：因)(1)()()(CBAPCBAPCBAPABCPUUUUI
48、I=1 P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)，故 2 P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)+1 P(A)P(B)P(C)=P(AB)+P(AC)+P(BC)1/2 22证明：（1）P(AB)P(A)+P(B)1；（2）P(A1 A2 An)P(A1)+P(A2)+P(An)(n 1)证：（1）因 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)，故 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)1；（2）用数学归纳法证明，当 n=2 时，由（1）小题知结论成立，设当 n=k 时，结论成立，即 P(A1 A2 Ak)P(A1)+P(A2)+P(
49、Ak)(k 1)，则 P(A1 A2 Ak Ak+1)P(A1 A2 Ak)+P(Ak+1)1 P(A1)+P(A2)+P(Ak)(k 1)+P(Ak+1)1=P(A1)+P(A2)+P(Ak)+P(Ak+1)k，即当 n=k+1 时，结论成立，故由数学归纳法知 P(A1 A2 An)P(A1)+P(A2)+P(An)(n 1)23证明：41|)()()(|BPAPABP 证：因)()()(1)()()()()()()()(BAPAPAPABPBAPABPAPABPBPAPABP=+=，且 0 P(AB)1 P(A)P(A)1 P(A)，)(1)()()()()(0APAPAPAPBAPAP=
50、，故)()(),(1)(max|)()()(1)(|)()()(|BAPAPAPABPBAPAPAPABPBPAPABP=4121)(41)()()(1)(22=APAPAPAPAP 19习题习题 1.4 1 某班级学生的考试成绩数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，这两门课都不及格的占 3%（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设 A=“数学不及格”，B=“语文不及格”，有 P(A)=0.15，P(B)=0.05，P(AB)=0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(=APABPABP；