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1、平面向量数量积第1页，共15页，编辑于2022年，星期六 物理上力所做的功实际上是将力分解，只有在位移方向上的力做功物理上力所做的功实际上是将力分解，只有在位移方向上的力做功sF思考思考1 1：如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s，且力且力F F与位移与位移s s的夹角为的夹角为，那么力，那么力F F所做的所做的 功功W W是多少？是多少？W=|F|s|cos 其中其中|F|cos是是F在物体位移方向上的分量的数量。在物体位移方向上的分量的数量。第2页，共15页，编辑于2022年，星期六思考思考2 2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，功是一
2、个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把数学上，我们把“功功”称为向量称为向量F F与与s“s“数量积数量积”.模仿力做功公式，我们定义向量的数量积的运算模仿力做功公式，我们定义向量的数量积的运算.一般地，对于非零向量一般地，对于非零向量a与与b的数量积是指什么？的数量积是指什么？W=|F|s|cos 第3页，共15页，编辑于2022年，星期六向量的夹角范围：向量的夹角范围：O(一一)向量的夹角向量的夹角O第4页，共15页，编辑于2022年，星期六请判断，在下列各图中 AOB是否为给出向量的夹角(1)oAB(4)oAB(3)oAB(2)oAB第5页，共15页，编辑于2022年，星期六
3、向量的夹角注意点1.在两向量的夹角的定义中，两向量 必须是同起点当时，a与b同向当时，a与b反向当2时，a与b垂直，记作a b2.,第6页，共15页，编辑于2022年，星期六通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。（3）AC与与BC的夹角。的夹角。ABC第7页，共15页，编辑于2022年，星期六(二二)平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积）
4、，记作的数量积（或内积），记作a b ，即，即规定：规定：零向量与任意向量的数量积为零向量与任意向量的数量积为0，即即 0（1）向量数量积是一个）向量数量积是一个数量数量，而，而不不是是向量向量，其值的符号，其值的符号 由夹角决定：由夹角决定：（3）a b不能不能写成写成ab，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算（2）向量数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、）向量数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质并不一定成立性质并不一定成立当,/2)时,a.b当(/,时,a.b当=/2,a.b=0第8页，共15页，编辑于2022年，星期六例题讲解例题讲解 例已知|a a|=2,
5、|b b|=3|=3分别在下列条件下分别在下列条件下求a ba b.解：解：（1）a b=|a|b|cos（1）1350（2）a b(3)ab=23cos1350（2）当a与b同向时，a ba b=23=6当a与b反向时，a ba b=2 3=6（3）a b =a b =|a|b|cos =23cos 900 =0 0第9页，共15页，编辑于2022年，星期六1.已知|p|=8,|q|=6,向量p 和 q 的夹角是 60,求 p q.2.设|a|=12,|b|=9,a b=54,求 a 与b 之间的夹角。之间的夹角。3.已知已知|a|=4,为单位向量为单位向量,它们的夹角为它们的夹角为1200
6、，求求 a 学生练习学生练习 第10页，共15页，编辑于2022年，星期六例.已知在ABC中，BC=，CA=，C=，求BC.CAC=向量BC与CA所成的角为=58 x(-1/2)=-20BC.CA=BC CA cos解：ABC学生练习学生练习 第11页，共15页，编辑于2022年，星期六讨论性质：讨论性质：（1 1）ab a b=0 (判断两非零向量判断两非零向量a、b垂直的依据垂直的依据)（2 2）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当当a 与与b 反向时，反向时，a b=-|a|b|特别地特别地（3）（4）a b|a|b|交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：
7、分配律：分配律：（5 5）运算率）运算率第12页，共15页，编辑于2022年，星期六 辨析题辨析题:2）若若a0,且且a b=a c,则则b=c.5）若若|a b|a|b|，则则ab.例题讲解例题讲解0 b=0若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为 0若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立 6）对任意向量）对任意向量 a 有有3）(a b)c=a(b c).数量积不满足结合律数量积不满足结合律数量积不满足消去律数量积不满足消去律第13页，共15页，编辑于2022年，星期六已知|a|=4,|b|=6,向量a 和b的夹角是 60,求 a .(a+b),
8、(2a-b).(a+3b)的值的值已知|a|=2,|b|=3,向量a 和b的夹角是 120,求|a+b|的值的值已知|a|=|b|=1,|3a-2b|=3，求|3a+b|的值的值例题讲解例题讲解学生练习学生练习 学生练习学生练习 第14页，共15页，编辑于2022年，星期六性质：性质：（1 1）ab a b=0 (判断两非零向量判断两非零向量a、b垂直的依据垂直的依据)（2 2）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当当a 与与b 反向时，反向时，a b=-|a|b|特别地特别地（3）（4）a b|a|b|交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：（5 5）运算律）运算律规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 两个非零向量两个非零向量 a 和和 b 的数量积的数量积定义：定义：课堂总结课堂总结第15页，共15页，编辑于2022年，星期六