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1、第二章 恒定电场第1页，本讲稿共54页 通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电电荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定恒定），），它与静电场有相似之处。本章要求:熟练掌握静电比拟法和电导的计算。理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。第2页，本讲稿共54页基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第3页，本讲稿共54页2.1.1
2、 电流(Current)2.1 导电媒质中的电流三种电流：传导电流，运流电流，位移电流传导电流电荷在导电媒质中的定向运动。位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。定义：单位时间内通过某一横截面的电量。A运流电流带电粒子在真空中的定向运动。可以存在于非导体区域。例如：阴极电子发射第4页，本讲稿共54页电流形式及电流密度：线电流（沿截面可忽略的导线流动）面电流（沿厚度可忽略的面上流动）体电流（在体积中流动）2.1.2 电流密度和元电流第5页，本讲稿共54页 1.电流面密度 J电流体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。电流密度（又称为电流面密度）图2.1.1 电流面密度矢量图2.1.2 电流的计
3、算第6页，本讲稿共54页2.电流线密度 K电流en 是垂直于 dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。图2.1.3 电流线密度及其通量电流线密度第7页，本讲稿共54页3.元电流的概念元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流工程应用媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。图2.1.4 媒质的磁化电流元电流段第8页，本讲稿共54页2.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律 微分形式。由电路理论图2.1.5 J 与 E 之关系电导率与电阻率的关系：，（电阻率），（电导率）。在场论中第9页，本讲稿
4、共54页J 与 E 共存，且方向一致。简单证明：对 两边取面积分左边右边欧姆定律 积分形式。所以图2.1.5 J 与 E 之关系第10页，本讲稿共54页2.1.4 焦尔定律的微分形式导体有电流时，必伴随功率损耗（dt时间内，导体每一单元体积dV内，由于电子运动而转换成得热能），其功率体密度为焦耳定律微分形式单位体积的功率，单位：瓦特/米3 W/m3移动元体积内的所有电子做功第11页，本讲稿共54页 W焦耳定律积分形式第12页，本讲稿共54页 提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。2.2.1 电源 (Source)2.2 电源电动势与局外场强图2.2.1 恒定电流的形成第13页，本讲
5、稿共54页电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。2.2.2 电源电动势(Source EMF)1、局外力 ：电源中使正、负电极之间的电压维持恒定，而使得正、负电荷分离开来的力正、负电荷分离开来的力，称为局外力 (注意：“分开的力分开的力”的方向）。2、局外场强 ：电源中单位正电荷所受的局外力局外力假设为一个等效场强等效场强，这个场强称为局外场强 。区别于库仑场强 。的方向由电源的负极指向正极，与库仑场强 方向相反。第14页，本讲稿共54页3、电源电动势：4、电源外的场强：库仑场强5、电源内的场强：库仑场强 与局外场强 两种场强之和（两种场强大小相等，方向相反），电源内的合成场强：第15页
6、，本讲稿共54页因此，对闭合环路积分局外场 Ee 是非保守场。图2.2.2 电源电动势与局外场强总场强恒定电场的研究：导体周围介质中的恒定电场(同静电场的求解方法);以及导电媒质中的电场(本章所讨论的内容).第16页，本讲稿共54页2.3.1 基本方程2.3 基本方程分界面衔接条件 边值问题 一、积分形式的基本方程：（两个基本场量的面积分和线积分）1、恒定电场传导电流连续性方程：电荷守恒定律：（任一闭合面流出的电流等于闭合面内自由电荷减少率）电荷守恒原理亦称电流连续性方程第17页，本讲稿共54页恒定电场传导电流连续性方程恒定电场传导电流连续性方程：（恒定电场电荷分布恒定，闭合面内自由电荷减少率
7、为0）恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。故散度定理第18页，本讲稿共54页2、电场强度的环路线积分电场强度的环路线积分：环路经过电源：环路不经过电源：第19页，本讲稿共54页二、微分形式的基本方程：（由积分形式的基本方程利用散度定理和斯托克斯公式推导出）1、电源外导电媒质的恒定电场基本方程的微分形式：2、场量之间的关系（或构成方程或辅助方程）：第20页，本讲稿共54页结论：恒定电场是无源无旋场。三、恒定电场（电源外）的基本方程积分形式微分形式构成方程第21页，本讲稿共54页2.3.2 分界面的衔接条件 说明 分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。图2.3.1 电流线的折射由得在分
8、界面上无电源，即一、边界条件第22页，本讲稿共54页图2.3.1 电流线的折射二、恒定电场的折射定律及特殊分界面：1、恒定电场的折射定律：2、良导体（）和不良导体（）的分界面：不良导体中体电流密度垂直于导体表面：不良导体中的电场强度也垂直于导体表面，电场强度与电流密度同方向：第23页，本讲稿共54页3、导体（第一种媒质）与理想介质（第二种媒质）分界面：理想介质的 垂直于导体表面。恒定电场的导体中的 ；与静电场的导体中的 不同。图2.3.1 电流线的折射第24页，本讲稿共54页例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件。解:在理想介质中空气中导体中不同导体分界面？提问：表明 1 分界面导体侧
9、的电流一定与导体表面平行。表明 2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。图2.3.2 导体与理想介质分界面第25页，本讲稿共54页不同导体分界面？提问：第26页，本讲稿共54页若 （理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。导体周围介质中的电场：表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。图2.3.3 载流导体表面的电场第27页，本讲稿共54页2.3.3 边值问题分界面衔接条件拉普拉斯方程得由基本方程出发由得常数恒定电场中是否存在泊松方程？思考第28页，本讲稿共54页 例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。(区域）解
10、:选用圆柱坐标系，边值问题为：(区域）图2.3.4 不同媒质弧形导电片第29页，本讲稿共54页电位 电场强度电荷面密度通解第30页，本讲稿共54页 2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟静电场恒定电场（电源外）恒定电场E静电场ED 两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。第31页，本讲稿共54页两种场可以比拟的条件微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同；媒质分界面满足 两种场，具有相同的场图及相同的等位面，且 线与 线分布一致，一种场的计算及实验结果可推广到另一种场。可将静电场的镜象法推广至恒定电场：第32页，本
11、讲稿共54页镜像法的比拟图2.4.1 静电场与恒定电流场的镜像法比拟静电场恒定电场第33页，本讲稿共54页当第一种媒质为土壤，第二种媒质为空气（）当第一种媒质为空气（），第二种媒质为土壤：特例：第34页，本讲稿共54页（1）介质内的电场例2-1：（2）分界面上的自由电荷面密度同轴电缆的内导体半径为a,外导体的内半径为c，其中填充两种漏电介质，介质分界面是同轴圆柱面，分界面的半径为b，内外两层介质的介电常数分别为 ，电导率分别为 ，当外加恒定电压 时（内导体接正极），求由于电缆内、外导体的电导率远大于其间填充媒质的电导率，所以在计算内外导体间导电媒质中心恒定电场时，可以把内外导体视为等位体。由对
12、称性可知，媒质中恒定电场仅有径向分量，且场强和电流密度只与半径有关。第35页，本讲稿共54页例2-2 球形电容器的内外半径分别为5cm,10cm，加有电压100伏，电容器内有两层均匀介质，其分界面也是同心球面，半径为8cm，电介质的电导率分别为 。求球面之间的电流密度，电场强度和电位。第36页，本讲稿共54页2.5.1 电导1.通过电流场计算电导2.5 电导与接地电阻或设思路设第37页，本讲稿共54页当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。2.比拟法即第38页，本讲稿共54页例2.5.1 求图示同轴电缆的绝缘电阻。解 设电导用静电比拟法求解由静电场根据关系式，得绝缘电阻图2.5.1 同轴电缆
13、横截面第39页，本讲稿共54页通解 ，代入边界条件，得电位函数解 取圆柱坐标系 ，边值问题电场强度图2.5.2 弧形导电片例2.5.2 已知导电片厚度为 h，当试求电导片的电导。第40页，本讲稿共54页电流电导电流密度电场强度第41页，本讲稿共54页图2.5.3 深埋球形接地器1.深埋球形接地器2.5.2 接地电阻解法一 通过电流场计算电阻解法二 比拟法接地电阻越大越好吗？如何改变R?思考 由接地器电阻、接地器与土壤之间的接触电阻、土壤电阻构成。接地电阻：第42页，本讲稿共54页2.非深埋的球形接地器解 用镜像法图2.5.5 非深埋的球形接地器第43页，本讲稿共54页接地器接地电阻 解3.浅埋
14、半球形接地器设 I 图2.5.6 浅埋半球形 接地器I第44页，本讲稿共54页例2-3：两个平行圆柱形铜棒，轴线间距离为50厘米，直径均为1厘米，垂直通过厚度为1厘米的碳质平面盘，盘面可以认为很大。已知碳盘的电导率为 ，求铜棒之间碳盘的电阻。提示：铜棒的电导率远大于碳的电导率，所以铜棒可视为等位体，其表面为等位面，当轴线间距离远大于铜棒半径时，可近似认为等效电轴就是铜棒的几何轴线。可用静电场的电轴法球壳单位长度的电容。第45页，本讲稿共54页为危险区半径2.5.3 跨步电压(接地体附近有大电流流过，在人体两足间产生的电压)以浅埋半球接地器为例人体的安全电压U040V图2.5.7 半球形接地器的
15、危险区人体电流：8mA危险,30mA危及生命。第46页，本讲稿共54页例2-4 一个半径为a的半球形接地导体埋于电导率为 的土壤中，（1）求接地电阻第47页，本讲稿共54页基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第48页，本讲稿共54页欧姆定律 微分形式。分界面衔接条件第49页，本讲稿共54页结论：恒定电场是无源无旋场。三、恒定电场（电源外）的基本方程积分形式微分形式构成方程第50页，本讲稿共54页边值问题分界面衔接条件拉普拉斯方程得由基本方程出发由得常数第51页，本讲稿共54页静电比拟静电场恒定电场（电源外）恒定电场E静电场ED 两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。第52页，本讲稿共54页电导1.通过电流场计算电导或设设 2.比拟法第53页，本讲稿共54页作业2-92-102-13第54页，本讲稿共54页