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1、第二章数学工具第1页，本讲稿共15页2.1母函数定义定义：设：设为数列为数列u的指数型母函数，简称指母函数的指数型母函数，简称指母函数是一无限数列，则形式幂级数是一无限数列，则形式幂级数为数列为数列u的普通型母函数，简称普母函数或母函数；而称形式幂级数的普通型母函数，简称普母函数或母函数；而称形式幂级数相等：相等：第2页，本讲稿共15页母函数母函数分别叫做数乘法，加法，乘法，将全体形式幂级数所组成的集记为分别叫做数乘法，加法，乘法，将全体形式幂级数所组成的集记为的数乘定义的数乘定义定义：数定义：数对形式幂级数对形式幂级数形式幂级数形式幂级数和和相加、相乘相加、相乘的指母函数的指母函数对于指母函
2、数对于指母函数为数列为数列第3页，本讲稿共15页母函数母函数则则Blissard记号：记号：记记注意：注意：第4页，本讲稿共15页母函数例母函数例例例1：则则例例2：和和适合适合,则则例例3：若有一克砝码：若有一克砝码3枚，两克砝码枚，两克砝码4枚，四克砝码枚，四克砝码2枚，问可称出哪些重量？各有枚，问可称出哪些重量？各有几种称法？几种称法？第5页，本讲稿共15页又例：例：设有例：设有1，2，4，8，16，32克砝码各一个，则可称出克砝码各一个，则可称出163克中每克中每一个质量，并且称法唯一。一个质量，并且称法唯一。第6页，本讲稿共15页2.2递归关系求解称为边界条件。定义：设是函数，如果对
3、一切，均有成立，则称该式为函数的递归关系，并将第7页，本讲稿共15页两个例子例例2在n位十进制正整数中，含有偶数个5的数有多少个？反应器中有一个粒子，求r秒时反应器中粒子和粒子的数目。例1一个反应器中有两类粒子，设每秒钟一个粒子分裂成3个粒子，而每秒钟一个粒子分裂成一个粒子和两个粒子。假如在第8页，本讲稿共15页例1解答例例1解：设解：设r秒时反应器中粒子和粒子的数目分别为递归关系，则有边界条件和。第9页，本讲稿共15页例例2解：在解：在n位十进制正整数中，含有偶数个5的有个，而含有奇数个5的有个。对于，位十进制数共有个（最高位不为0），故边界条件：边界条件：例2解答n=2:奇数个奇数个515
4、,25,35,45,55,65,75,85,9550,51,52,53,54,55,56,57,58,59第10页，本讲稿共15页K阶常系数线性递归关系不为0；当常系数线性递归关系其中为常数，并且时，称它为K阶常系数线性齐次递归方程第11页，本讲稿共15页齐次方程其特征方程为：引理1：若是上式的r重根，则对每个是递归关系的一个解。是特征方程的个不同的根，其重数分别为，则是递归方程的一个通解，其中为常数，可由边界条件确定。定理：设齐次方程第12页，本讲稿共15页非齐次方程特解为幂级数形式（2）为指数函数类型A。若a不为其特征根，则特解为A.若a为r重特征根，则特解为（1）非齐次方程特解第13页，本讲稿共15页联系常系数微分第14页，本讲稿共15页例：Fibnoacci数列代入并化简后即得该线性递归关系的特征方程解得其根为从而将初值条件代入，得第15页，本讲稿共15页