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1、微积分发展简史微积分发展简史牛牛 顿顿 艾萨克牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。莱 布 尼 茨 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿
2、并称为微积分的创立者。微积分学是微分学(Differential Calculs)和积分学(Integral Calculs)统称,英文简称Calculs,意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。在几何上，人们希望找到求一般
3、曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；求因变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。更令人惊讶的是，这二者之间竟然有着密切的联系：它们是互逆的两种运算，这个性质是由微积分学基本定理所体现的。从而微分学和积分学形成了一门统一的学科：微积分学微积分学。微积分的萌芽微积分的萌芽微积分的发展微积分的发展微积分的建立微积分的建立微积分的严格化微积分的严格化目录牛顿和莱布尼茨之争牛顿和莱布尼茨之争1.微积分的萌芽微积分的萌芽极限思想极限思想欧多克索斯欧多克索斯的穷竭法（
4、古希腊时期）的穷竭法（古希腊时期）一一个个量量如如果果减减去去大大于于其其一一半半的的量量，再再从从余余下下的的量量中中减减去去大大于于该该余余量量一一半半的的量量，这这样样一一直直下下去去，总总可可使使某某一余下的量小于已知的任何量。一余下的量小于已知的任何量。庄子庄子的的“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”（战国时期）（战国时期）阿阿基基米米德德对对抛抛物物弓弓形形的的面面积积、球球和和球球冠冠面面积积、螺线下面积和旋转双曲体体积的研究。螺线下面积和旋转双曲体体积的研究。积分思想积分思想 开普勒开普勒用无穷小微元来确定曲边形的面积和体积。用无穷小微元来确定曲边形的面
5、积和体积。第一类第一类是求瞬时速度的问题。是求瞬时速度的问题。第二类第二类是求曲线切线的问题。是求曲线切线的问题。十七世纪中叶，由于自然科学的急速发展，其他学十七世纪中叶，由于自然科学的急速发展，其他学科给数学提出如下四种亟待解决的问题：科给数学提出如下四种亟待解决的问题：第三类第三类是求函数最大值和最小值的问题。是求函数最大值和最小值的问题。第四类第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围 成的体积、物体的重心、两个非质点间的成的体积、物体的重心、两个非质点间的 引力问题。引力问题。2.微积分的发展微积分的发展 曲线的切线问题曲线的切线问题（第二类问题）（第二
6、类问题）微分思想微分思想 费费尔尔马马在在这这两两个个问问题题上上做做出出了了主主要要贡贡献献，他他先先对对自自变变量量取取增增量量，再再让让增增量量趋趋于于零零，这这就就是是微微分分学学的的本本质所在。质所在。函数的极大极小值问题（函数的极大极小值问题（第三类问题）第三类问题）费费尔尔马马也也在在积积分分学学方方面面做做了了许许多多工工作作，如如求求面面积积、体体积积、重重心心等等问问题题（第第四四类类问问题题），但但可可惜惜的的是是，他他没没有有发发现现微微分分学学和和积积分分学学这这两两类类问问题题之之间间的的基基本本联系。联系。巴巴罗罗（牛牛顿顿的的老老师师）在在光光学学和和几几何何学
7、学讲讲义义一一书书中中，已已经经把把求求曲曲线线的的切切线线与与求求曲曲线线下下区区域域的的面面积积问问题题联联系系了了起起来来，也也就就是是说说他他把把微微分分学学和和积积分分学学的的两两个个基基本本问问题题联联系系起起来来，但但可可惜惜的的是是他他没没有有从从一一般般概概念念意意义下进一步深入研究他们。义下进一步深入研究他们。除了费尔马和巴罗，除了费尔马和巴罗，十七世纪的许多著名的数学十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家也为解决上述问题作了大量家、天文学家、物理学家也为解决上述问题作了大量的研究工作，这些先驱性的工作，沿着不同的方向向的研究工作，这些先驱性的工作，沿着不同的方向向
8、微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。积分作为一门独立科学的诞生。3.微积分的建立微积分的建立 终于十七世纪后半叶，终于十七世纪后半叶，牛顿牛顿和和莱布尼兹，莱布尼兹，在不在不同的国家，几乎在同时总结前人研究成果的基础上，同的国家，几乎在同时总结前人研究成果的基础上，各自独立的创建了划时代的微积分各自独立的创建了划时代的微积分。牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系，从而将这两类运算统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，
9、我们说牛顿发明了微积分。牛顿在1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了“反流数术”(积分法)1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，但他没有拿去发表。莱布尼茨在1684年发表了第一篇微分学论文一种求极大值与极小值以及求切线的新方法，在这文章中他给出了微分记号dx和一些微分运算法则，并讨论了微分学的一些应用。莱布尼茨深刻认识到同d的互逆关系，他断言：作为求和过程的积分是微分的逆这一思想的产生是莱布尼茨创立微积分的标志 1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，在这篇论文他给出了积分符号，初步论述了积分与微分的互逆关系。牛顿和莱布尼茨发现了微积分基
10、本定理，并建立 起一套有效的微分和积分算法；他们把微积分作为一种适用于一般函数的普遍方法；把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从而扩展了它的 应用范围；把面积、体积及以前作为和来处理的问题归结到反微分(积分)这样，十七世纪其他学科提出的四个主要问题速度、切线、极值、求和，便全部归结为微分和积分。微积分诞生以后，数学迎来了一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，获得了丰硕的成果；在数学本身，他们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支，大大扩展了数学研究的范围。4.微积分的严格化微积分
11、的严格化 微积分建立以后，出现了两个极不协调的情景：一方面是微积分广泛应用于各个领域，取得了辉煌的成就；另一方面是人们对于微积分基本概念的合理性提出了强烈的质疑。19世纪以前，无穷小量概念始终缺少一个严格的数学定义，因此导致了相当严重的混乱。特别地，1734年英国哲学家、红衣主教贝克莱对微积分基础的可靠性提出的强烈质疑，引发了第二次数学危机。微积分的严格化势在必行。法国数学家达朗贝尔用极限方法取代无穷小量方法；法国数学家柯西在达朗贝尔通俗的极限基础上，从变量和函数角度出发给出极限的动态定义，从而把微积分的基础严格地奠定在极限概念之上。德国数学家魏尔斯特拉斯则用静态的-语言来刻画柯西动态的极限概
12、念，使极限的定义达到了最清晰最严密的程度，直到如今人们仍然在使用他的定义。极限理论的建立极限理论的建立 由于严格的极限理论的建立，无穷小量可用极限的语言清楚地加以描述，至此才解决了有关的逻辑困难。而且由于 语言的建立，微积分的发展如虎添翼。实数理论实数理论魏尔斯特拉斯的无限十进小数表示法 戴德金分割 康托尔的柯西列方法 第一次数学危机之无理数的解决方案第一次数学危机之无理数的解决方案实数的完备性实数的完备性 确界存在定理-单调有界定理-区间套定理-有限覆盖定理-聚点定理-柯西收敛准则 从以上介绍，可以知道微积分发展的历史轨迹是 积分学微分学微积分学极限理论实数理论 但从数学分析课程来看，它的理
13、论体系应该是：实数理论极限理论微分学积分学微积分学5.牛顿与莱布尼茨之争牛顿与莱布尼茨之争 莱布尼茨发表第一篇微积分论文的时间是1684年，比牛顿早三年(牛顿的自然哲学之数学原理出版于1687年)，但牛顿早在六十年代就发明了微积分，而莱布尼茨曾于1673年访问过伦敦，并和牛顿及一些知道牛顿工作的人通过信于是就发生了莱布尼茨是否独立取得微积分成果的问题 1684 年莱布尼兹发表了他的微积分的论文。3年后，牛顿在1687年出版的原理书的初版中对莱布尼兹的贡献表示认同，但是却说：“和我的几乎没什么不同，只不过表达的用字和符号不一样。”牛顿的流数理论到莱布尼兹发表论文二十年后，即1704年作为他的著作
14、光学的附录中正式发表，附录的序言中，牛顿提到他1676年给莱布尼兹的信，并补充说“若干年前我曾出借过一份包含这些定 理(微积分)的原稿，之後就见到一些从那篇当中抄出来的东西，所以我现在公开发表这份原稿。”这话的意思就暗指他的手稿曾经被莱布尼兹看到过，而莱布尼兹 的论文就是从他的手稿中抄来的。1711 年3月4日，伦敦皇家学会的秘书斯洛（Hans Sloane）收到莱布尼兹寄来的一封信，信中抱怨其成员开尔（John Keill）指责莱布尼兹把牛顿的微积分改变了少量的符号，伪装为自己的原创发表，并且声明这不是事实，要求学会给以公正的裁决。据说这一状告正好告到了牛顿手上。后来，由于牛顿的导演和亲自出
15、马、匿名运作，形成势不两立的两派。以英国为一派包括英国著名数学家泰勒和麦克劳林都认为莱布尼兹是抄袭者。另一派是欧洲大陆的 数学家，包括著名数学家约翰伯努利等为一派认为牛顿是抄袭者。争论双方停止学了术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及整个自然科学领域，以致发展到 英德两国之间的政治摩擦。这场由牛顿导演捍卫牛顿的战斗，使英国人吃了大亏，一百年多年间在数学上大大落后于欧洲。而莱布尼兹生命中的最后年则在这场大争论中痛苦地度过的。总之，两个人都很受伤！无疑，牛顿创立了微积分。虽然莱布尼茨曾收到过牛顿关于微积分工作的信件，但是他的工作与牛顿的工作有明显的不同之处，并且有其突出之处。牛顿的出发点是力学，莱布尼茨的 出发点是几何学；牛顿的符号凌乱，除了他本人以外，其他人甚难接受，莱布尼茨的符号系统明了，今日我们仍然沿用他当时的记号。公平地说，在微积分创立方面，牛顿与莱布尼茨功绩相当。牛顿应与莱布尼茨分享创立微积分的荣誉。